Wie können wir für komplexe Zahlen eine „natürliche Existenz“ haben? [geschlossen]

Für diejenigen, die nicht wissen, was eine komplexe Zahl ist, einfach ausgedrückt: Eine komplexe Zahl ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl! Beispielsweise wird die Quadratwurzel von -1 als komplexe Zahl bezeichnet. Diese Zahlen erscheinen in Gesetzen, die reale Phänomene beschreiben. Daher meine Frage, wie können wir die Tatsache rationalisieren, dass komplexe Zahlen existieren?

Ich habe ein gewisses Gespür dafür, wie man mit rationalen oder reellen Zahlen arbeitet, aber komplexe Zahlen scheinen von Magie nicht zu unterscheiden! Warum denken wir, dass es in Ordnung ist, sich für physikalische Theorien auf solche Zahlen zu verlassen? Ist das nicht ein großes Problem, dass die meiste Physik darauf basiert?

** Ende der Frage von NoChance **

Kommentar: Das ist etwas ungenau . ... "Komplexe Zahlen"-s sind die 'Obermenge' der reellen Zahlen: Sie 'erweitern' die Menge der reellen Zahlen, um die Menge der 'imaginären' Zahlen 'einzuschließen'. .. Jede positive Zahl im reellen Zahlensystem hat zwei Quadratwurzeln - positive und negative Quadratwurzel (ich vernachlässige hier die Null, weil sie weder positiv noch negativ ist, sondern eine Zahl, die selbst unabhängig von Addition (an sich) oder Multiplikation ist ). Aber was ist mit negativen Zahlen? -- Um dieses System der Quadratwurzeln für ALLE (bis dahin bekannten) Zahlen zu 'vervollständigen', wurde das Konzept der imaginären Zahl "&i$" eingeführt [Referenz: http://jeff560.tripod.com/ ich.html]: definiert als die "Zahl", wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, ergibt die Zahl -1. Danach ist der Rest – wie man so schön sagt – Geschichte! ... Per Definition ist eine komplexe Zahl also definiert als eine 'Zahl' der Form $a + bi$, wobei $a$, $b$ $\in$ $\mathbb{R}$ [die Menge aller reellen Zahlen ist Nummern]. ... (Solche Zahlen, die von vielen betrachtet werden, sind ihre eigenen mathematischen Objekte - nicht dasselbe wie reelle Zahlen, aber auf subtile Weise mit ihnen verwandt (über einige sehr tiefe Eigenschaften der Mathematik, die ich nicht kenne)). Sie sind nicht weniger "Zahlen" als die "realen" oder "rationalen". ... Plus, aus der Philosophie: Was wir "Realität" nennen, kann nur durch unsere Erfahrung(en) durch unsere fünf Sinne erkannt werden: Ohne sie gibt es für uns KEINEN Weg, etwas von "Realität" zu wissen (Sie hätten einen Philosophieprofessor zu fragen, warum.. ich weiß es nicht ich weiß nicht genau warum). Daher kann/muss das, was wir „intuitiv“ nennen, die „ontologische“ Natur der „physischen „Realität““ nicht ohne weiteres widerspiegeln: Daher gibt es viele [mathematische] Konzepte und Konstrukte, die in der Physik verwendet werden, die nicht ohne weiteres menschlich „intuitiv“ sind [ etwas mit "Positivismus" zu tun und so ... wieder, ich könnte Ihnen nicht sagen, was] - aber sie sind nichtsdestotrotz zentral, um die messbaren und experimentell zugänglichen Merkmale unserer "Welt" zu untersuchen.]

Sie stellen die Frage, wenn Sie sagen, dass es auf dieser Welt keine Zahl geben kann, deren Quadrat -1 ist. Genau das ist die imaginäre Einheit i ! Und wenn Sie anerkennen, dass die komplexen Zahlen eine Grundlage im Elektromagnetismus haben, warum scheint es Ihnen, dass diese Zahl als Instrument, um über die Realität zu sprechen, nicht sinnvoll ist, oder dass die Realität auch irgendwie die Algebra verbietet, die komplexe Zahlen beinhalten?
Angesichts der Tatsache, dass Euler Probleme mit imaginären Zahlen hatte, scheint dies eine berechtigte Frage zu sein. Darüber hinaus ist es nicht immer so, dass das Setzen eines neuen Elements / Axioms in ein formales System es konsistent hält. Daher ist die Frage, ob das Hinzufügen von i mit der Algebra schrauben wird, eine legitime Frage.
Wähler @Close/Reopen. Ich habe eine Bearbeitung ausstehend, um diese Frage grundlegend zu ändern, sodass ich denke, dass es sich um eine echte Frage handelt, die die Antworten ansprechen. Fühlen Sie sich frei, alle Probleme in meiner Bearbeitung zu erwähnen!
@Discretelizard, danke für deine Bearbeitung. Ich empfehle Ihnen, die Änderungen in Ihrer Bearbeitung als weitere Klarstellung an die ursprüngliche Frage anzuhängen, anstatt die ursprüngliche Frage selbst zu ändern.
@NoChance Ich dachte, es wäre unnötiges Geschwätz, aber sehr gut.
@NoChance Obwohl ich fürchte, ich kann es nicht verstehen, bleibt es mir einfach zu unklar. (Antworten Sie Kommentatoren? Versuchen Sie, das etwas klarer zu machen.) Fühlen Sie sich frei, sich zu verbessern.
Was ist an der Ausgangsfrage unklar?
Sie sind bereit, die reellen Zahlen zu akzeptieren, die eine Konstruktion zweiter Ordnung erfordern, aber nicht die komplexen Zahlen, die eine algebraische Erweiterung der reellen Zahlen sind? Sie haben Probleme mit einer Quadratwurzel von $-1$ (die, sobald Sie die reellen Zahlen haben, einfach zu addieren ist), aber nicht mit einer Quadratwurzel von $2$ (deren Konstruktion eine ganze Menge harter Arbeit erfordert)? Was für eine seltsame Reihe von Prioritäten.
@WillO, ich bin nicht allein! Komplexe Zahlen werden auch als imaginäre Zahlen bezeichnet. Die Frage lautet einfach: Wenn etwas der Algebra, wie wir sie kennen, widerspricht, wie kann es dann mit unserem logischen System harmonieren? Hier gibt es überhaupt keine seltsamen Prioritäten.
Inwiefern steht die Existenz einer Quadratwurzel aus 2 weniger im Widerspruch zur "Algebra, wie wir sie kennen" als die Existenz einer Quadratwurzel aus -1?
@WillO Die Quadratwurzel aus 2 als Zahlenwert gehorcht allen Regeln des "echten" Wortes. Zum Beispiel ist es die "sehr genaue" Länge einer Seite eines Quadrats, dessen Fläche 2 beträgt. Für mich ist das real. Dass wir es nicht bis zur letzten Dezimalstelle messen können, liegt daran, dass unser Messgerät ineffizient ist.

Antworten (4)

Zunächst einmal tauchen komplexe Zahlen (und imaginäre Zahlen) in realen Phänomenen auf; Sie haben viele praktische Anwendungen.

Aber nun zum philosophischen Teil des Problems.

Zahlen sind Abstraktionen. Sie existieren nicht auf die gleiche Weise, wie beispielsweise physische Objekte existieren. Du kannst mir zwei Äpfel geben, aber du kannst mir nicht einfach zwei geben.

Als Abstraktionen folgen sie bestimmten konzeptuellen Mustern. Für positive ganze Zahlen sind diese Abstraktionen ziemlich intuitiv; für andere Arten von Zahlen (wie negative Zahlen oder rationale Zahlen oder irrationale Zahlen) sind sie es weniger.

Ihre Frage erwähnt die Quadratwurzel von -1, aber nehmen wir die Quadratwurzel von 2. Existiert diese Zahl auf sinnvolle Weise "in der Welt"? Können Sie mir die Quadratwurzel von 2 Äpfeln geben?

Glücklicherweise behindert dies nicht unsere Fähigkeit, die Quadratwurzel von 2 zu verwenden; Aus philosophischer Sicht können wir dies tun, indem wir eine Position einnehmen, die als Fiktionalismus bekannt ist – kurz gesagt, wir können Zahlen als fiktive Objekte behandeln und sie in Formeln einsetzen, ohne irgendwelche ontologischen Verpflichtungen hinsichtlich ihrer Existenz einzugehen. Solange die Substitution die Einschränkungen erfüllt (das heißt, in einem breiteren Kontext den Phänomenen angemessen ist), sind wir goldrichtig.

Um Ihre Frage zu beantworten: Wir müssen nicht erklären, dass komplexe Zahlen existieren. Es spielt keine Rolle, ob sie existieren oder nicht.

BEARBEITEN: Ich habe einen SEP-Artikel gefunden, der sich speziell mit Fiktionalismus in der Mathematik befasst . es ist eine schöne Referenz für den spezifischeren Fall.

Nun, die Quadratwurzel aus 2 kann man sich als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Schenkeln der Größen 1 und 1 vorstellen. Aber das lenkt ab. Wie aus der Galois-Theorie bekannt ist, können die meisten reellen Zahlen nicht auf diese Weise konstruiert werden.
Aber ich muss etwas widersprechen. Ich denke, inspiriert von Gödels Vollständigkeitssatz (obwohl er im Gegensatz zu diesem Satz auf eine Logik nicht erster Ordnung angewendet wird), sollten wir "existieren" als konsistent definieren. Es ist sicherlich wichtig, dass die reellen Zahlen konsistent sind. Tatsächlich ist das ihr ganzer Punkt. Auch komplexe Zahlen sind konsistent. Der Beweis ist nicht offensichtlich, aber ich habe ihn in den Kommentaren zur Frage skizziert.
Ich kann Ihnen sicherlich ungefähr sqrt (2) Äpfel geben - Ihnen eine komplexe Anzahl von Äpfeln zu geben, wäre definitiv eine interessante Leistung
Es ist wahr, dass die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen dicht sind. Tatsächlich sind die reellen Zahlen die Vervollständigung der rationalen Zahlen. Dies hat jedoch keinerlei Auswirkungen auf irgendetwas. So wie ich dir keine sqrt(2) Äpfel geben kann, kann ich dir keine i Äpfel geben. So wie ich Ihnen ungefähr sqrt(2) (=|sqrt(2)|) Äpfel geben kann, kann ich Ihnen ungefähr 1 (=|sqrt(i)|) Äpfel geben. Dies hat keinen Einfluss darauf, ob die tatsächliche Nummer „existiert“ oder nicht.
@Rom: Warum sollten wir "vorhanden" als konsistent definieren? Ich stimme zu, dass es wichtig ist, dass die reellen Zahlen konsistent sind; Dabei spielt es keine Rolle, ob sie tatsächlich existieren oder nicht. Die Ablehnung des Platonismus beeinträchtigt in keiner Weise die Fähigkeit, Mathematik effektiv zu nutzen.
@Rom: Nur zur Verdeutlichung: Mein Argument in meiner Antwort lautet nicht "Da Sie mir nicht die Quadratwurzel von 2 Äpfeln geben können, existiert die Quadratwurzel von 2 nicht"; mein Punkt war eher, dass, obwohl positive ganze Zahlen mit Äpfeln leicht darzustellen sind, die Tatsache, dass einige andere Zahlen nicht so einfach mit Äpfeln darzustellen sind, keinen Einfluss darauf hat, ob die Zahlen existieren oder nicht. Und in der Tat, wenn man in Bezug auf Zahlen ein Fiktionalist ist, spielt es keine Rolle.
Vorhanden bedeutet Konsistenz. Im Fall der Logik 1. Ordnung, was bei den Axiomen der reellen Zahlen nicht der Fall ist, gilt auch das Umgekehrte (Gödelscher Vollständigkeitssatz). Im Fall der Logik nicht erster Ordnung ist praktisch jeder Beweis, den ich jemals für die Konsistenz eines Objekts gesehen habe, dass es existiert (konstruiert es unter Verwendung der Annahme der Konsistenz von ZF), sodass es in der Praxis fast keinen Unterschied gibt. Aber die Leute haben Probleme mit dem Wort „bestehend“, und wir brauchen eine funktionierende Definition. Warum also nicht Konsistenz?
@Rom: Ich glaube, ich sehe keinen Zusammenhang zwischen Konsistenz und Ontologie. Ich sehe keinen Grund, warum inkonsistente Dinge nicht existieren können und warum konsistente Dinge nicht existieren können. Aber um auf den Punkt dieser Frage zu kommen, sehe ich keinen Grund, zwischen verschiedenen Klassen mathematischer Objekte zu unterscheiden, wenn es um die Existenz geht - es gibt keinen Grund, komplexen Zahlen einen anderen ontologischen Status zuzuschreiben als beispielsweise ganzen Zahlen oder real.
"Ich sehe keinen Grund, warum inkonsistente Dinge nicht existieren können" - nun, dann ist Ihre Definition von Existenz eindeutig viel zu freizügig.
Nicht alle von uns glauben an Fiktionalismus. Der profunde Nutzen komplexer Zahlen bei der Beschreibung bestimmter physikalischer Phänomene ist tatsächlich eines von vielen guten Argumenten dagegen. (Nach Ihrem Artikel falle ich in das Lager der Platonisten.)
@codebolt: Wenn Sie ein Platoniker in Bezug auf komplexe Zahlen sind, umso besser - dann haben Sie überhaupt kein Problem mit der Frage. Der Fragesteller ging von der Prämisse aus, dass die Quadratwurzel aus der negativen Eins nicht existiert , also habe ich versucht, eine Antwort auf diese Weise zu geben.
@Michael Dorfman Vielen Dank für das Hinzufügen des Links, ich werde ihn lesen.

Vergessen Sie für einen Moment, dass Sie jemals etwas über sogenannte „komplexe“ oder „imaginäre“ Zahlen gelernt haben. Beginnen wir mit den Zahlen, die als "echte" Zahlen bekannt sind. Wir wissen, wie man damit rechnet. Aber was ist mit Paaren von reellen Zahlen? Angenommen, ich hätte zwei Elemente (a, b)und (c, d), wobei a, b, c und d alle reelle Zahlen sind. Wenn es reelle Zahlen gibt, dann gibt es sicherlich geordnete Paare reeller Zahlen. (a, b)Kann ich mit und sinnvoll rechnen (c, d)?

Ich werde versuchen, die Arithmetik folgendermaßen zu definieren:

  • (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
  • (a, b) * (c, d) = (ac - bd, bc + ad)

Meine Mittel zur Definition der Multiplikation sehen vielleicht etwas seltsam aus, aber ich denke nicht, dass das ein Problem für das Verständnis sein sollte.

Bisher haben wir uns nur mit reellen Zahlen und Paaren von reellen Zahlen beschäftigt ... die gibt es sicherlich. Machen wir eine seltsame Beobachtung über diese Zahlenpaare und ihre Arithmetik:

(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)

Also können wir das Element (0, 1)die Quadratwurzel des Elements nennen (-1, 0). Sicherlich existiert dieser Typ, (0, 1), im gleichen Sinne wie die reellen Zahlen ... er ist nur ein geordnetes Paar reeller Zahlen in einem System mit einer verrückten Art, Arithmetik zu machen.

Jetzt scheinen diese Elemente (a, b)genauso existieren zu müssen wie normale reelle Zahlen, aber sie sind etwas komplizierter. Sie brauchen einen Namen ... da sie komplizierter sind, wie wäre es, wenn wir sie "komplexe" Zahlen nennen. Lassen Sie uns auch vorschreiben, dass komplexe Arithmetik so funktioniert, wie ich es beschrieben habe.

Also haben wir einfach ein Zahlensystem eingerichtet, das wir "komplexe Zahlen" nannten, das nicht auf Dinge verweist, die nicht existieren. Wir mussten nur auf lustige Weise multiplizieren. Erinnern wir uns jetzt an unseren alten Freund (0, 1)... geben wir ihm einen Namen. Ich bin faul und möchte ihm keinen langen Namen geben, also nennen wir ihn einfach i. Ich denke, Sie können sehen, dass jede komplexe Zahl (a, b)jetzt stattdessen als umgeschrieben werden kann a + bi. Die komplexen Zahlen sind also Zahlen der Form, a + biwobei a und b reelle Zahlen sind und iunser alter Freund sind (0, 1). Nichts an ihm ist eingebildet ... er existiert genauso wie sein Cousin (1, 0).

Dies ist eine brillante Art, imaginäre Zahlen zu erklären. Ich hoffe, dass Autoren zu diesem Thema einen ähnlichen Ansatz verfolgen. Ich habe kein Problem damit, mit einer def zu beginnen. und eine Theorie aufbauen, die damit konsistent ist, egal wie seltsam die Ergebnisse aussehen mögen. Tatsächlich ist dies in vielen mathematischen Fächern der Fall. Ob diese mathematischen Abstraktionen existieren oder nicht, ist nicht ganz das, worum es in meiner Frage geht. Das wirklich Besondere an (i) ist, dass es verwendet wird, um reale Dinge in diesem Universum darzustellen. Das heißt, wir verwenden diese (seltsame und imaginäre) Größe, um (reale) Dinge zu messen, die in diesem Universum existieren.
Die „Brillanz“ hier ist als „abstrakte Algebra“ bekannt! Versuchen Sie, einige Bücher darüber zu lesen, wenn Ihnen das gefällt! Ich denke, es ist ziemlich machbar für Philosophen mit ein wenig Hintergrund (z. B. einem einzelnen Kurs) in grundlegender Logik. Die Hauptidee ist folgende: Wenn wir mit Zahlen arbeiten, kümmern wir uns nur darum, welche 'Operationen' wir zulassen. Also ignorieren wir alles außer den Operationen und ignorieren sogar, wie die Operationen in der Praxis funktionieren und definieren sie einfach mit ein paar „logischen“ Axiomen! Dies ist ein sehr schönes Feld, das wirklich die Kraft der Abstraktion in der Mathematik zeigt!

Geometrie wurde vor 2500 Jahren axiomatisiert. Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts gab es die Arithmetik. Zahlen sind einfach so „offensichtlich“, dass es schwer ist, darüber nachzudenken.

Wenn Sie in der Schule mit komplexen Zahlen vertraut gemacht werden, sind sie normalerweise ziemlich obskur. Negative Zahlen wurden zu einem Zeitpunkt in der Geschichte (des mathematischen Denkens in Europa) nicht als Zahlen betrachtet. Davor gab es Kontroversen über Null und sogar darüber, dass „Eins“ eine Zahl ist.

Man kann all diese Dinge hinterfragen (und es ist gut, sie zu hinterfragen), aber irgendwann hört das Hinterfragen auf, weil man merkt, was man kann und was nicht. Nein, ich kann keine 2+3i-Äpfel halten, aber das ist in Ordnung, die formalen Regeln, die für solche Zahlen gelten, gelten nicht für Situationen, in denen Äpfel gehalten werden. Ich kann 5 Äpfel sehen, aber nicht -5 davon, aber das ist in Ordnung, '-5' ist nichts, was man sehen kann (na ja, wenn Sie sie in den Händen einer anderen Person sehen, könnten Sie davon ausgehen, dass Sie '-5' sehen Äpfel'). Aber sehen Sie wirklich '-5' allein oder sogar '5' allein. Ich glaube nicht. Die Existenz von Zahlen ist nicht wie die Existenz von realen Wortobjekten.

Wie auch immer, 5, -5, 3+2i existieren nicht wirklich „da draußen“, aber wir können sie verwenden, wenn wir über „da draußen“-Objekte sprechen.

Ihr letzter Satz ist wichtig, wie können wir die Realität mit nicht-realen Abstraktionen (komplexen Zahlen) beschreiben? Warum verwenden wir keine realen Abstraktionen, um die reale Welt zu beschreiben?
Denn jedes Polynom hat eine komplexe Nullstelle, aber nicht nec. sind alleine.
@Emmad: Was ist deiner Meinung nach der Unterschied zwischen einer nicht-realen und einer realen Abstraktion? In der Mathematik ist das Etikett lediglich historisches Gepäck, kein ontologischer Qualifizierer. Wäre die symmetrische Gruppe auf n Objekten eine echte Abstraktion? Was ist mit der Gruppe von ganzen Zahlen modulo n ?

Wie andere bereits erwähnt haben, sind Zahlen natürlich Abstraktionen. Sie könnten jedoch zumindest behaupten, dass ganze Zahlen eine Bedeutung haben, da sie in der realen Welt Darstellungen von Mengen sind. Sie haben zum Beispiel fünf Äpfel vor sich.

Wenn ich jetzt einen Apfel nehme, ihn in zwei Hälften schneide und den Rest lasse, hast du weder vier noch fünf Äpfel. Daher können reelle Zahlen auch die reale Welt darstellen.

Wenn ich jetzt alle Äpfel wegnehmen würde, was bleibt dir übrig? Auch die Null ist abstrakt, aber ohne sie könnten Sie keine repräsentative Größe für keine Äpfel darstellen. Das Gleiche gilt für negative Zahlen, die ansonsten keine Bankschulden oder einen Rückgang der Marktpreise darstellen könnten.

Wenn Sie diese Argumentation fortsetzen, würden Sie verstehen, dass komplexe Zahlen einfach eine weitere Erweiterung der Darstellung in der realen Welt sind, wenn auch ein bisschen technisch. Nur weil Sie die Anwendung selbst nicht sehen können, heißt das nicht, dass es keine gibt.

Ein Spitzfindigkeit: Wenn Sie einen Apfel nehmen und ihn in zwei Portionen schneiden, haben Sie eine Demonstration von rationalen Zahlen, nicht von reellen Zahlen.
Rationale Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, da sie nur eine Zahl sind, die in Bruchform geschrieben werden kann. Ich bezog mich auf die Fähigkeit, eine Größe haben zu können, die nicht in ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann. Sie zählen beispielsweise die Pulverkörner von Mehl nicht, wenn Sie eine Menge ausdrücken möchten. Es kann ein irrationales Gewicht sein, mit dem Sie umgehen müssen. Außerdem sieht es praktisch aus wie ein halber Apfel, ist aber tatsächlich ein Wert, der nicht als rationale Zahl ausgedrückt werden kann.
Da ein Apfel eine endliche Anzahl von Atomen hat und die Anzahl der Atome in jedem Teil der geteilten Zahl eine ganze Zahl ist, sieht er aus wie ein halber Apfel, ist aber in Wirklichkeit eine rationale Zahl. Ebenso bilden die Mehlkörner immer ein vernünftiges Gewicht. Irrationale Zahlen tauchen in Beispielen aus der realen Welt nicht oft auf (wenn wir Messungen bis zu ihrem endgültigen Ergebnis durchführen). Aber wie gesagt, dies ist nur eine kleine Spitzfindigkeit, und Ihre Antwort war ziemlich gut.
Wie können wir für komplexe Zahlen eine „natürliche Existenz“ haben? [geschlossen]
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