Gibt es eine One-True-Set-Theorie?

Oder ist dies ein Hinweis darauf, dass es tatsächlich mehr als eine Mengenlehre gibt, so wie das Leugnen des parallelen Postulats in der nichteuklidischen Geometrie zu mehreren unterschiedlichen Geometrien führte: elliptisch und sphärisch, wobei die euklidische Geometrie einen besonderen Platz einnimmt, weil sie flach ist

Ja, so etwas in der Art: Es werden viele Mengentheorien untersucht, und jede hängt davon ab, was die "Menge" sein soll.

Das Problem mit Mengen ist, dass wir sie in so vielen verschiedenen Kontexten verwenden. Die Frage lautet also: Ist die gegebene Mengenlehre T für den gegebenen Kontext geeignet? Was wir bei einer Gelegenheit als „Set“ bezeichnen, hat möglicherweise (fast) nichts mit der Verwendung bei einer anderen Gelegenheit gemeinsam. Nun geht es in der Mathematik darum, Systeme zu bauen, die (hoffentlich) intern konsistent sind, ohne dass sie einen externen Sinn ergeben oder einem tatsächlichen Teil der Natur (des Universums) entsprechen müssen.

Aber als Philosophen könnten wir uns fragen: Wenn dieses Ding, das hier Menge heißt, und das Ding, das dort Menge heißt, so viel gemeinsam haben (Elemente enthalten und so), könnten sie dasselbe sein? Wenn Sie ein Platoniker (oder zumindest ein mathematischer Platonist) sind, dann scheint es bei Occams Rasiermesser vernünftig anzunehmen, dass dieses "Set" -Ding ein und dasselbe ist. Es könnte einige Probleme geben, über Mengen zu sprechen (die Logik, die wir kennen, ist voller Probleme, wie die Unvollständigkeit der Logik zweiter Ordnung, und alle unsere Theorien basieren auf dieser Logik), aber die von Ihnen erwähnte Idee - die Darstellung derselben Sache durch unterschiedliche Ansichten - zur Rettung kommt (verschiedene Ansichten geben unterschiedliche Ideen, vielleicht manchmal sogar "unwahr", aber das Wesentliche spiegelt sich in allen Ansichten wider).

Ich persönlich bin kein Platonist, und ich glaube nicht, dass Mengen in irgendeiner Form unabhängig von uns existieren, und ich glaube, dass „Menge“ in verschiedenen Kontexten verschiedene Dinge bedeutet, und ich denke, dass es kaum eine Verbindung zwischen ihnen geben kann diese Verwendungen.

Sie haben hier zwei Fragen: eine zur Einzigartigkeit der Mengenlehre und eine andere zu den Grundlagen der Mathematik.

• Es gibt eine naive Mengenlehre. Elemente, Vereinigungen, Potenzmengen, Unendlichkeiten und andere Operationen und viele kleine und große Theoreme, ziemlich genau das, was Sie von einer Mengenlehre erwarten. Aber es hält nicht einmal einer kleinen Prüfung stand (die Sammlung von Sets, die keine Mitglieder von sich selbst sind, was sind das für Dinge?) . Und sobald Sie beginnen, es zu axiomatisieren, erhalten Sie fragwürdige Axiome (wie das Axiom der Wahl) und mehrere semantische Interpretationen. Die erste Situation ist, wie Sie bemerken, so etwas wie die euklidische Geometrie, die eines von vielen geometrieähnlichen Dingen ist. Sie wählen, welche Theorie Sie wollen, um Ihnen bei den Dingen zu helfen, über die Sie sprechen möchten (von der Arithmetik zweiter Ordnung bis hinunter zum Ultrafinitismus) .) entweder durch Entfernen oder Modifizieren eines der üblichen Axiome für ZFC . Sie können ein vernünftiges System AF (Anti-Foundation) erhalten , das ist ZFC mit der Negation des Foundation-Axioms. Es bringt dir Set-ähnliche Dinge, aber mit etwas anderem

• Was die Grundlagen betrifft, so sind Mengenlehre und Kategorientheorie nicht die gleiche Art von Grundlagen. Die Mengenlehre ist eine Grundlage für die Beweisbarkeit für den gesamten Bereich der Mathematik, wie Sie für einen bestimmten Inhalt (Gruppentheorie oder algebraische Geometrie) wissen , dass Sie Beweise in diesen Bereichen auf Beweise in der Mengenlehre reduzieren können. Die Kategorientheorie hingegen ist eine Grundlage für Konzepte, wie Konzepte in einem Bereich wie die in einem anderen Bereich aussehen können (oder nicht). Sie können Mengenlehre in Kategorienlehre „machen“ und umgekehrt, aber der Punkt ist in den verschiedenen Systemen unterschiedlich.

Angesichts der Tatsache, dass es jetzt zwei Ansätze für Grundlagen gibt, kann man argumentieren, dass die „wahre“ Mengenlehre etwas ist, das nur in den beiden Ansätzen vertreten ist? Sagen Sie auf die gleiche Weise, dass die Zahl „9“ als neun oder 1001 dargestellt wird?

Wenn wir bei Ihrem Beispiel bleiben, verstehen wir leicht, dass unterschiedliche Darstellungen eines Objekts unterschiedliche Eigenschaften haben. Daher verwenden Ihre drei Darstellungen des "gleichen Objekts" jeweils 1, 3 und 2 Disnctints-Symbole.

Natürlich wollen Sie das Objekt und seine Repräsentationen nicht verwechseln, aber wenn Sie an „Wahrheit der Grundlagen der Mathematik “ und „ Isomorphie zwischen verschiedenen Grundlagensystemen“ denken, manipulieren Sie Repräsentationen. Und Sie möchten wissen, ob verschiedene Darstellungen ein gleichwertiges Beweissystem bieten. Das heißt, wenn Sie ein Repräsentationsobjekt eines tatsächlichen Objekts in einem System konstruieren können, können Sie auch eine Repräsentation desselben tatsächlichen Objekts in dem anderen Repräsentationssystem konstruieren, und zwar alle Eigenschaften, an denen Sie interessiert sind und die Sie von einem System induzieren können Darstellung, man kann sie auch aus der vermeintlichen isomorphen Darstellung induzieren.

Ihre Frage könnte also wie folgt umformuliert werden:

• Können wir beweisen, dass alle Grundlagen der Mathematik isomorph sind?
• Wenn ja, können wir diese isomorphe Struktur eine "Eine wahre Theorie" nennen?

Für die erste Frage kann man Gödels Unvollständigkeitstheoreme dokumentieren, die "weitgehend, aber nicht allgemein so interpretiert werden, dass sie zeigen, dass es unmöglich ist, einen vollständigen und konsistenten Satz von Axiomen für die gesamte Mathematik zu finden".

Zum anderen geht es um die persönlichen Kriterien, die man anlegt, um Wahrheit zu definieren.

Ich konnte nicht alle relevanten Links angeben, die ich hinzufügen wollte, da ich derzeit nicht über genügend "Guthaben" verfüge, aber hier sind einige nützliche Schlüsselwörter, nach denen man suchen sollte, wenn man an dieser Frage interessiert ist:

• Strukturelle Induktion
• Beweissystem
• Konsistenz
• Vollständigkeit
• Solidität
• Gödels Unvollständigkeitssätze

Nein, es gibt keine wahre Mengenlehre (mit Ausnahme der endlichen Teile). Das wichtigste und interessanteste Merkmal der Mengenlehre ist die Existenz unzähliger Mengen. Aber diese Existenz steht im Widerspruch zu den Axiomen.

Es kann bewiesen werden, dass alle definierbaren Elemente von Mengen zu einer abzählbaren Menge gehören. Daher sind die meisten Elemente von überabzählbaren Mengen undefinierbar. Andererseits sagt Zermelos Extensionalitätsaxiom: "Axiom 1: ... . Oder kurz: Jede Menge ist durch ihre Elemente bestimmt. (Axiom der Bestimmtheit)" Da unzählige Mengen undefinierbare Elemente enthalten, sind die Mengen auch undefinierbar, also nicht unterscheidbar und nicht vorhanden.

Aber es gibt einen noch einfacheren Widerspruch zur tatsächlichen Unendlichkeit, die für die Mengenlehre erforderlich ist. Sie basiert auf einem in der Mengenlehre häufig verwendeten Argument, bereits von Cantor in seiner ersten Anwendung der transfiniten Induktion:

"Wenn es Ausnahmen gab, dann war eine davon die kleinste, nennen Sie sie a, so dass der Satz für alle x < a, aber nicht für x = < a gilt, im Widerspruch zum Beweis." [G. Kantor: "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre 2", Math. Annalen 49 (1897) S. 207-246, § 18]

Warum nicht auf die Tatsache anwenden, dass keine natürliche Zahl ausreicht, um die Menge |N tatsächlich unendlich zu machen?

Satz: Die Folge der natürlichen Zahlen ist nicht wirklich unendlich.

Beweis: Die natürlichen Zahlen 1, 2, ..., n ergeben keine eigentlich unendliche Menge. Wenn es natürliche Zahlen gäbe, die eine tatsächlich unendliche Menge erzeugen könnten, dann wäre eine von ihnen die kleinste, nenne sie a, so dass der Satz für alle x < a gilt, aber nicht für x = < a. Widerspruch.

Natürlich sind die natürlichen Zahlen potentiell unendlich. Dies kann nicht widerlegt werden. In Anbetracht dieser Tatsache wären Beweise wie der vorliegende urkomisch – und sie wurden oft so genannt. Aber wenn die Kritiker zum Schweigen gebracht würden, dann würde die Bedeutung von Unendlichkeit im Stillen und unbemerkt von potenziell zu tatsächlich geändert werden. – Eine wirklich perfide Prozedur.

Aus diesem Grund weigern sich Mengentheoretiker, den Unterschied zwischen potentieller und tatsächlicher Unendlichkeit zu verstehen. Ihre Standardprozedur würde offensichtlich werden.

Viele weitere Widersprüche sind in Kapitel VI von https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf gesammelt