Kritik an kategorialen Grundlagen in der Logik

Ich weiß nicht viel über die Debatte, aber ich weiß zum Beispiel, dass Solomon Feferman ein paar Artikel zu diesem Thema geschrieben hat, zB "Categorical Foundations and the Foundations of Category Theory". Auch John Bell hat sich in „Category Theory and the Foundations of Mathematics“ kritisch mit dieser Frage auseinandergesetzt.

Besser noch, ich bin sicher, Sie könnten mehr in der Bibliographie des SEP-Eintrags zur Kategorientheorie finden .

Es gab eine Menge heftiger Kritik von Mengentheoretikern, die vielleicht mehr Hitze als Licht erzeugen, da sie kategoriale Grundlagen als Eingriff in ihr eigenes Revier ansehen.

Die meisten an Stiftungen interessierten Philosophen sind in Stiftungen im ZFC-Stil geschult. Die Kategorientheorie hat hier nicht viel Einzug gehalten - aber das wird sich wahrscheinlich in Zukunft ändern, da die Bedeutung der Kategorientheorie als Strukturierungsmittel in der Mathematik nur noch deutlicher geworden ist und immer mehr Philosophen in der Kategorientheorie geschult werden.

Während ZFC im Allgemeinen im ersten Jahr eines Grundstudiums gelehrt wird, lernt man die kategoriale Sichtweise erst zu schätzen, nachdem eine beträchtliche Menge anspruchsvoller Mathematik aufgenommen wurde, sagen wir bis zum Ende eines ersten Jahres eines Aufbaustudiums.

Lawvere hat sicherlich viel gute Arbeit in kategorialen Grundlagen geleistet, aber das Schlüsselkonzept ist das eines Topos , der eine verallgemeinerte Mengentheorie ist, an die eine implizite Logik gebunden ist (über ihre interne Sprache, die normalerweise eine Form der Typentheorie ist). ) und geometrische Interpretation (über Garben).

Eine wichtige Beobachtung ist, dass die Logik nicht boolesch, sondern intuitionistisch ist, dass das Axiom der Wahl nicht immer aufrechterhalten wird und dass sie nicht unbedingt ein unendliches Objekt haben. Wenn diese behauptet werden, dann haben wir natürlich einen viel mehr mengenartigen Topos. Natürlich gibt es eher einen riesigen Zoo von Topos als das einzigartige ZFC, von dem man annimmt, dass man es hat.

Das n-lab, eine Sammlung kategorietheoretischer Arbeiten von höherdimensionalen Kategorietheoretikern, hat eine Referenz auf Foundations .

Man sollte annehmen, dass die als Strukturalismus bekannte philosophische Schule viel über die Kategorientheorie zu sagen hätte, da Struktur ein Begriff ist, der beide Bereiche durchdringt. Aber Strukturalismus wird mehr mit Architektur, Wissenschaft, Linguistik (seiner ursprünglichen Heimat), Literaturwissenschaft und Anthropologie assoziiert als mit Mathematik, so dass die wesentliche Überschneidung zwischen den beiden Bereichen eigentlich gleich Null ist.

Während ZFC das Endspiel des Reduktionalismus in der Mathematik ist - die gesamte Mathematik auf Mengen reduziert und dann Mengen auf Logik + Axiome; Die Kategorientheorie geht davon aus, dass jede mathematische Aktivität ihre natürliche Heimat, ihren eigenen Platz hat – statt einer streng hierarchischen Sichtweise richtet sie sich auf eine umfassendere relationale, intrinsische und natürliche Sichtweise – sie ist nicht descartisch.

Das Papier, auf das Sie sich beziehen, ist eher Mathematik als Philosophie - die strukturelle Ähnlichkeit bestimmter Argumente in den Paradoxien, die Lawvere erneut untersucht, wurde bereits festgestellt und zu Ehren von Cantors erster Verwendung dieser Art von Argument allgemein als diagonales Argument bezeichnet um zu zeigen, dass das Kontinuum eine größere Kardinalität hatte als die ganzen Zahlen. Nach der Erfindung der Kategorientheorie durch Maclane war es möglich, diese Argumente in einer Vielzahl von verschiedenen Kontexten in einem systematischen Format zu platzieren.

Die Verwendung geschlossener kartesischer Kategorien ist wahrscheinlich auch ein Ablenkungsmanöver - im Wesentlichen sind dies Kategorien, in denen der Begriff eines Exponentials natürlich vorkommt und den üblichen Gesetzen genügt. In Anbetracht dessen, wie weit verbreitet die Exponentialfunktion in der gewöhnlichen Mathematik ist, scheint es „offensichtlich“, dass derselbe Begriff in allgemeineren Kontexten, in denen Mathematik betrieben wird, genauso nützlich wäre, wie z. B. in der Kategorie der Gruppen oder der Ringe usw. Dies hat sich als der Fall erwiesen. Von dort aus ist es nur noch ein Schritt, um zu untersuchen, welche Art von Bestie eine kartesische geschlossene Kategorie ist. Es ist nicht wirklich, denke ich, ein grundlegendes Problem.