Gibt es keine zwei gleichen Schneekristalle?

Ich erinnere mich lebhaft daran, dass ich, als ich noch jung war, den Schnee untersuchte, als er auf meine Winterkleidung fiel. Jedes Mal war ich erstaunt über die schönen Texturen, die ich entdeckte. Jetzt, viele Jahre später, frage ich mich, ob es eine Möglichkeit gibt, dass Kristalle genau gleich sein können.

Aus " Alltagsgeheimnisse " habe ich gelernt, dass es jeden Winter viele Schneekristalle gibt (eine Billion Billionen). Wie Sie sich vorstellen können, ist es nicht wirklich möglich, alle durchzugehen. Daher schlagen sie vor, sich auf Wolkenphysiker, Kristallographen und Meteorologen zu verlassen.

Die Frage ist also nicht: Sind alle Kristalle verschieden, sondern hat es schon mal einen Fall gegeben, dass Menschen 2 identische Kristalle gefunden haben? Und wenn nicht, gibt es einen Beweis dafür, dass sie nicht identisch sein können?

Es gibt keinen a priori Grund, warum sie nicht identisch sein können. Es ist nicht so, dass die Formen in ein kosmisches Register eingetragen werden und eine Schneeflocke in Aspen prüft, ob es vor 100 Jahren eine Schneeflocke in Hokkaido gab, die dieselbe Form hatte. Es ist nur sehr unwahrscheinlich.
Ist es möglich, dass zwei Schneekristalle genau gleich sind? Ja sicher! Es ist nur SEHR unwahrscheinlich!
@Lagerbaer - also Snow crystal = GUID?
Natürlich müssen wir wirklich identisch definieren. Reicht ein Molekül mehr oder weniger oder anders organisiert aus, um es als nicht identisch zu quantifizieren? Wenn ja ... Ich könnte vorschlagen, dass keine Dinge, die wir jemals sehen, identisch sind ???

Antworten (2)

Von Kenneth Libbrecht ( Professor für Physik , Caltech)

Die Anzahl der Möglichkeiten, eine komplexe Schneeflocke herzustellen, ist überwältigend groß.

Um zu sehen, wie viel das ist, stellen Sie sich eine einfachere Frage:
Auf wie viele Arten können Sie 15 Bücher in Ihrem Bücherregal anordnen?

Nun, es gibt 15 Auswahlmöglichkeiten für das erste Buch, 14 für das zweite, 13 für das dritte usw.

Multiplizieren Sie es aus: 15 * 14 * 13 * ...

... und es gibt über eine Billion Möglichkeiten, nur 15 Bücher zu arrangieren.

Bei hundert Büchern geht die Zahl der möglichen Anordnungen auf knapp darunter
Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein(das ist eine 1 gefolgt von 158 Nullen).

Diese Zahl ist etwa um Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein ein Vielfaches größer als die Gesamtzahl der Atome im gesamten Universum!

Wenn Sie sich nun einen komplexen Schneekristall ansehen, können Sie bei genauem Hinsehen oft hundert verschiedene Merkmale erkennen. Da all diese Merkmale anders gewachsen sein oder an etwas anderen Stellen gelandet sein könnten, ist die Mathematik ähnlich wie bei den Büchern.

Daher ist die Anzahl der Möglichkeiten, einen komplexen Schneekristall herzustellen, absolut riesig. Und daher ist es unwahrscheinlich, dass zwei komplexe Schneekristalle von allen, die in der gesamten Geschichte des Planeten hergestellt wurden, jemals völlig gleich ausgesehen haben.

Theoretisch können also zwei (oder mehr) Schneeflocken gleich aussehen, aber die Wahrscheinlichkeit ist unglaublich gering.

(Dies ist ähnlich wie bei Menschen und ihren Fingerabdrücken)

Schneeflocken( Bildquelle )

Die Formen der Schneeflocken hängen von Temperatur und Luftfeuchtigkeit ab.

Die zitierte Quelle steckt hinter einer Paywall, aber laut Wikipedia wurden 1988 in Wisconsin zwei gleiche Schneeflocken gefunden .
Hier ist ein Foto dieser beiden gleichen Schneeflocken
Das abgebildete Argument widerspricht Ihren theoretischen Behauptungen, was uns dem näher bringt, was ich für die Wahrheit halte. Die Form einer Schneeflocke wird wahrscheinlich von vielen Faktoren bestimmt, die nicht völlig zufällig sind, sondern auf einer Normalverteilung leben. Das Anordnen eines Bücherregals ist für die meisten Menschen kein zufälliger Prozess, da wir dazu neigen, zuerst Bücher zu alphabetisieren oder bevorzugte Bücher zu gruppieren. Es wäre nicht unangemessen, zwei Personen mit ähnlichen Interessen eine kleine Anzahl von Büchern auf die gleiche Weise gruppieren zu sehen. Nur weil ich nicht weiß, wie eine Schneeflocke entscheidet, wie sie aussieht, heißt das nicht, dass der Prozess völlig zufällig ist.
@Joshua- Ich stimme zu, das Wachstum ist nicht "zufällig". Zwei Schneeflocken, die unter genau denselben Bedingungen wachsen, sollten genau gleich aussehen. Die Frage ist, wie empfindlich das Wachstum auf Temperatur- und Feuchtigkeitsänderungen reagiert. Würde ein Unterschied in den Bedingungen von sagen wir 0,001 % bereits zu einem sichtbar anderen Wachstumsmuster führen?
10^158 ist eine enorme Unterschätzung. Eine typische Schneeflocke enthält 1 x 10^20 Wassermoleküle. hypertextbook Es sind die relativen Positionen all jener, die alle identisch sein müssen, nicht einige 100 willkürliche großräumige Merkmale. Diese Zahl dient lediglich dazu, zu zeigen, wie schnell die Unwahrscheinlichkeit der Identität mit zunehmender Zahl besetzbarer Staaten wächst.
@Jason @Oliver Diese Sichtung / dieses Foto kann mit ziemlicher Sicherheit als Fälschung verworfen werden. Die Wahrscheinlichkeit ist einfach zu gering. Tatsächlich ist „zu klein“ völlig irreführend. Bei so großen Zahlen ist die Wahrscheinlichkeit praktisch nicht vorhanden. Oder anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeit, zwei identische Schneeflocken zu beobachten, ist unvorstellbar geringer als die Wahrscheinlichkeit einer Fälschung.
Die Sache mit diesem Foto ist, dass sie ähnlich sind , nicht identisch . Man könnte sagen, dass zwei beliebige Schneeflocken "gleich" sind, wenn man eine lockere Definition verwendet. Man könnte auch sagen, dass keine zwei Schneeflocken mit einer streng genug definierten Definition identisch sind.

Dies ist zu lang, um in einen Kommentar zu Oliver_Cs Antwort zu passen , also bekommt es seine eigene Antwort. Nehmen wir an, die Analyse von Professor Libbrecht ist richtig und es gibt 10 158 mögliche Schneeflockenkonfigurationen. Etwa 10 23 Schneekristalle fallen pro Jahr auf die Erde .

Wenn 10 23 Schneeflocken pro Jahr fallen, dann müssen nach dem Schubladenprinzip bis zum Erreichen des Alters der Erde von 10 158 / 10 23 = 10 135 Jahren zwei gleichartige Flocken fallen, was in absehbarer Zeit nicht der Fall sein wird.

Nachdem das gesagt worden ist...

Nehmen wir nun an, dass jede der 10 158 möglichen Schneeflockenkonfigurationen gleichwahrscheinlich ist (ich bin mir nicht sicher, ob dies eine vernünftige Annahme ist, aber fahren wir fort). Wenn es n mögliche Arten von Schneeflocken gibt und i-1 < n Schneeflocken gefallen sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die i -te Schneeflocke anders ist, ( n - ( i - 1))/ n . Wenn also k Schneeflocken gefallen sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie alle unterschiedlich sind, das Produkt von ( n - ( i - 1))/ n für i im Bereich von 1 bisk . Da n und k positiv sind, vereinfacht sich dies zu (-1) k n - k (- n ) k , wobei "( x ) n " das Pochhammer-Symbol bezeichnet . Setzen wir 10 158 für n und 10 23 t für k ein, kommen wir zu

(-1) 10 23 Tonnen (10 158 ) -10 23 Tonnen (-10 158 ) 10 23 Tonnen .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass t Jahre Schneefall von 10 23 Flocken/Jahr, die gleichmäßig aus einem Satz von 10 158 möglichen Flockenkonfigurationen gezogen wurden, keine doppelten Flocken erzeugt haben. Selbst das Einstecken von t = 1 erzeugt einen Unterlauffehler bei allen numerischen Analysesystemen, die ich verwendet habe (kann jemand anderes das Ergebnis berechnen?), was Ihnen sagen sollte, dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle Flocken selbst in einem einzigen Jahr unterschiedlich sind ist sehr niedrig. Das Alter der Erde beträgt etwa 4,54 Milliarden Jahre .

Aktualisieren :

Nachdem ich eine Weile darüber nachgedacht hatte, wurde mir klar, dass dies alles nur ein Beispiel für das Geburtstagsproblem ist: Das Problem ist genau das gleiche wie das Finden der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen in einem Raum voller 4,54 x 10 9 Geburtstag haben x10 23 Personen bei 10 158 möglichen Geburtstagen. Es gibt bekannte Näherungen zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit, die zu einem Wert unglaublich nahe bei Null führen. Die Herleitung ist ein bisschen lang und mathematisch beladen, also habe ich sie auf meiner Website veröffentlichtwenn Sie interessiert sind. Wenn also die Konfigurationen von Schneeflocken gleichmäßig verteilt sind, besteht eine äußerst geringe Wahrscheinlichkeit, dass zwei beliebige Schneeflocken in der Erdgeschichte ähnlich waren.

Aber warte! Treten Schneeflocken wirklich nach einer gleichmäßigen Verteilung auf? Ich könnte mir vorstellen, dass einige Konfigurationen seltener sind als andere . Wie bei vielen anderen Naturphänomenen könnte ich vermuten, dass die Verteilung von Konfigurationen eher einer Zipf-Verteilung (auch bekannt als "Power Law") entspricht. Die Verwendung dieser Verteilung zwingt uns leider dazu, die praktische Annäherung aufzugeben, die wir im einheitlichen Fall verwendet haben; wir müssen die Wahrscheinlichkeit von Grund auf neu ableiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Schneeflocken mindestens zwei gleich sind, ist dieser fiese Ausdruck:

1 - 1/n! sum_{x 1 =1}^{10 158 } sum_{x 2 =x 1 +1}^{10 158 } sum_{x 3 =x 2 +1}^{10 158 } ... sum_{x n = x n-1 +1}^{10 158 } product_{i=1}^nx i -2 / sum_{j=1}^kj -2 .

(Eine hübschere Darstellung in MathJax , zusammen mit zusätzlichen Schritten in der Ableitung, finden Sie auf meiner Website .)

Dieser Ausdruck kann unten durch 1 - 10 158 / n begrenzt werden! ζ (2) n . Setzt man n = 10 23 , liegt diese untere Grenze extrem nahe bei 1. Wenn die Schneeflocken also gemäß einer Zipf-Verteilung konfiguriert sind, besteht eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Schneeflocken in einem einzigen Jahr ähnlich sind ! Dasselbe gilt, wenn die Schneeflocken binomial verteilt sind (diese Herleitung ist auch auf meiner Website).

Die Wahrscheinlichkeit muss nicht summiert werden. Wenn p die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei Schneeflocken gleich sind, und n die Anzahl der Schneeflocken, und p fast Null ist (1E-158), können wir die Möglichkeit von mehr als einer Übereinstimmung vernachlässigen. Die Anzahl der zu untersuchenden Paare ist n(n +1)/2, was nahe genug an n^2/2 liegt. Wenn wir das einstecken, erhalten wir 1E46/2 = 5E45 Paare pro Jahr, also ist (1 - 1E-158)^5E45 die Wahrscheinlichkeit von zwei Übereinstimmungen pro Jahr, was schwer zu berechnen sein wird. 1E-158 * 5E45 wird dann nahe genug sein, was 5E-113 ist. Damit bleibt 5E-113 * 5E9 = 2,5E-103 für die ungefähre Wahrscheinlichkeit von Zwillingen.
@ David +1 für Ihre Annäherung. Wenn die Verteilung der Flockenkonfigurationen normal verteilt ist, wie in der anderen Antwort vorgeschlagen, sollte dies die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass zwei Flocken ähnlich sind.
@ESultanik: Gute Antwort! Zwei Dinge: 1. Vor dem Update schreiben Sie „die Wahrscheinlichkeit, dass alle Flocken auch in einem einzigen Jahr unterschiedlich sind, ist sehr gering“, dann sagen Sie im Update: „Es besteht eine äußerst geringe Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei beliebige Schneeflocken im Jahr ähnlich waren Geschichte der Erde" - das erscheint mir eher widersprüchlich. 2. In Ihrem Blog schreiben Sie: „Wenn mindestens 365 Personen im Raum sind, muss mindestens ein Personenpaar einen Geburtstag haben“. Sie meinen 366 (oder sogar 367 , wenn Sie Schaltjahre berücksichtigen möchten).
@Hendrik: Gute Punkte. 1. Ich glaube, ich habe tatsächlich einen Fehler (entweder typografischer oder mathematischer Art) in meiner vorherigen Analyse (es ist eine Weile her, seit ich sie zum ersten Mal geschrieben habe); Ich werde diesen Text schwärzen, da er durch die neue Analyse ersetzt wird. 2. Guter Punkt, ich werde das erwähnen.
@Esultanik::-)
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