Gilt die Kontinuitätsgleichung für einen Diffusionsstrom?

Auf der einen Seite haben wir die Diffusionsgleichung:

∂ ρ ∂ T = D ∇ 2 ρ
und auf der anderen Seite haben wir Ficks erstes Gesetz:
J → = − D ∇ ρ .
Wenn wir uns bewerben ∇ nach dem Fickschen Gesetz:
∇ J → = − D ∇ 2 ρ
und setzen dies in die Diffusionsgleichung ein, finden wir
∂ ρ ∂ T = ∇ J → .
Wenn wir jetzt davon ausgehen, dass der Strom J → kann durch ein Geschwindigkeitsfeld beschrieben werden u → :
J → ≡ ρ u → ,
dies ergibt genau die Kontinuitätsgleichung:
∂ ρ ∂ T = D ∇ ( ρ u → ) .
Gibt es einen Fehler in den obigen Schritten? Ich bin etwas verwirrt über das Ergebnis, da die Kontinuitätsgleichung normalerweise mit Advektion und nicht mit Diffusion verbunden ist.

Sollte Ihre dritte Gleichung nicht eine Divergenz und keinen Gradienten anwenden? Dann sollte die 4. Gleichung auf der RHS negativ sein, was sie zur Kontinuitätsgleichung macht (dh die Zeitänderung einer Dichte plus die Divergenz eines Flusses ist gleich Null, wenn keine Quellen oder Senken vorhanden sind).
Verwandte: (durchschnittliche Geschwindigkeit in der Fokker-Planck-Gleichung) physical.stackexchange.com/q/556859/226902 , physical.stackexchange.com/q/559653/226902 , physical.stackexchange.com/q/566778/226902

Antworten (1)

Ja, die Diffusionsgleichung ist im Wesentlichen eine Kontinuitätsgleichung. Allgemeinere Gleichung vom Fokker-PLanck-Typ (dh eine Diffusionsgleichung mit einem Driftterm),

∂ T ρ ( R , T ) = ∇ ⋅ [ F ( R ) ρ ( R , T ) ] + D ∇ 2 ρ ( R , T )
kann als Kontinuitätsgleichung geschrieben werden
∂ T ρ ( R , T ) = − ∇ J ( R , T ) ,
wobei der Strom definiert ist als
J ( R , T ) = − F ( R ) ρ ( R , T ) − D ∇ ρ ( R , T ) .
Daher ist die Umwandlung einer diffusionsähnlichen Gleichung in eine Kontinuitätsgleichung eine Frage der korrekten Definition des Stroms.

Gilt die Kontinuitätsgleichung für einen Diffusionsstrom?
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