Gitter-Boltzmann/Automaten-Ableitung für ωt+v⋅∇ω=μΔωωt+v⋅∇ω=μΔω\omega_{t}+ v\cdot \nabla \omega=\mu \Delta \omega

Vorwort

1. Ich hoffe, Sie sind mit einer LB-Ableitung einverstanden (Ihr Titel deutet darauf hin, dass Sie es sind).
2. Ich gehe davon aus, dass Sie mit den Grundlagen von LB vertraut sind: Diskretisierung, BGK-Kollision, Gewichte$w_i$, Geschwindigkeit eingestellt$\boldsymbol{e}_i$, Symmetriebedingungen an Momenten usw.
3. Ich werde die Konvektions-Diffusions-Gleichung unter Verwendung einer Verteilungsfunktion ableiten$g_i$unter der Annahme, dass das Geschwindigkeitsfeld aus einer hydrodynamischen Gleichung folgt, die oft durch eine Verteilungsfunktion beschrieben wird$f_i$. Daraus folgt kein Geschwindigkeitsfeld$g_i$und dass alle Momente von$g_i$höher als null sind undefiniert.
4. Ich versuche mich kurz zu fassen, denn das Einbeziehen aller Details wird viel Zeit kosten. Wenn jedoch etwas unklar ist, lassen Sie es mich wissen und ich werde versuchen, es zu erklären, indem ich Änderungen vornehme.

Einführung

Die LB-Gleichung beschreibt die Entwicklung einer Verteilungsfunktion$g_i$gemäß folgender spezieller Diskretisierung der Boltzmann-Gleichung:

$$\frac{g_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_i\Delta t, t+\Delta t)-g_i\left(\boldsymbol{x},t\right)}{\Delta t}=\Omega_i+w_i\phi\qquad\Omega_i=-\frac{g_i-g_i^{(eq)}}{\tau}$$

Wo$\Omega_i$ist der BGK-Kollisionsoperator,$\phi$ist ein Quell-/Senkenterm,$\tau$ist eine Relaxationskonstante und$g_i^{(eq)}$ist eine Gleichgewichtsverteilung, die wir definieren als:

$$g_i^{(eq)}=w_i\rho\theta\left[1+\frac{\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{v}}{c_s^2}+\frac{1}{2}\frac{\left(\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_i-c_s^2\boldsymbol{I}\right):\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}}{c_s^4}\right]$$

in Bezug auf makroskopische Größen; Dichte$\rho$, skalare Variable$\theta$und Geschwindigkeit$\boldsymbol{v}$. Momente nehmen$g_i^{eq}$Erträge:

$$\sum_i g_i^{(eq)}=\rho\theta \quad \sum_i \boldsymbol{e}_i g_i^{(eq)}=\rho\theta\boldsymbol{v} \quad \sum_i \left(\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_i-c_s^2\boldsymbol{I}\right)g_i^{(eq)}=\rho\theta\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}$$

Multiskalenanalyse

Als nächstes wenden wir eine Mehrskalenanalyse an, um die Kontinuumsgleichungen aus der diskretisierten Gleichung zu bestimmen. Zuerst wandeln wir die diskretisierte Gleichung in eine kontinuierliche LB-Gleichung um, indem wir eine Taylorentwicklung bis zu Termen zweiter Ordnung verwenden:

$$g_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_i\Delta t, t+\Delta t)\approx g_i\left(\boldsymbol{x},t\right)+Dg_i\left(\boldsymbol{x},t\right)\Delta t+\frac{1}{2}D^2g_i\left(\boldsymbol{x},t\right)\Delta t^2$$ $$Dg_i+\frac{1}{2}D^2g_i\Delta t\approx\Omega_i+w_i\phi$$

Wo$D=\partial_t+\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{\nabla}$ist das materielle Derivat.

Als nächstes ein Kleinheitsparameter$\epsilon$eingeführt, was anzeigt, wie weit wir vom Gleichgewicht entfernt sind:

$$g_i=g_i^{(eq)}+\epsilon g_i^{(neq)}=g_i^{(eq)}+\epsilon g_i^{(1)}+\epsilon^2 g_i^{(2)}$$

Hier$(neq)$bezieht sich auf „Nichtgleichgewicht“, dh alle Begriffe, die daraus resultieren, dass das System aus dem Gleichgewicht gerät, sind hier enthalten. Diese Nichtgleichgewichtsterme werden weiter in eine konvektive Skala unterteilt$g_i^{(1)}$und eine Diffusionsskala$g_i^{(2)}$.

Hinweis : Ein System mit niedrigen Geschwindigkeiten garantiert, dass wir immer nahe am Gleichgewicht sind und ist für die Stabilität in BGK erforderlich. Manchmal$\epsilon$wird auf die Knudsen-Zahl bezogen und/oder gleichgesetzt$\Delta t$, so oder so sollte es klein sein.

Gleiches gilt für die zeitliche und räumliche Skala:

$$\partial_t=\epsilon\partial_t^{(1)}+\epsilon^2\partial_t^{(2)}\qquad\boldsymbol{\nabla}=\epsilon\boldsymbol{\nabla}^{(1)}$$

Die hier getroffene Annahme ist, dass die Zeitskala der Diffusion viel kürzer ist als die Zeitskala der Konvektion. Andererseits wird angenommen, dass konvektiver und diffusiver Transport auf der gleichen räumlichen Skala stattfinden, daher werden nur Terme erster Ordnung beibehalten. Die Materialableitung wird zu:

$$D=\epsilon D^{(1)}+\epsilon^2 D^{(2)} \qquad D^{(1)}=\partial_t^{(1)}+\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\qquad D^{(2)}=\partial_t^{(2)}$$

Ebenso werden der Einfachheit halber der Kollisionsoperator und der Quellterm wie folgt erweitert:

$$\Omega_i=\epsilon\Omega_i^{(1)}+\epsilon^2\Omega_i^{(2)}\qquad \Omega_i^{(k)}=-\frac{g_i^{(k)}}{\tau}\qquad \phi=\epsilon^2 \phi^{(2)}$$

Wir setzen nun in die kontinuierliche LB-Gleichung ein, wo nur Terme bis zu sind$O\left(\epsilon^2\right)$bleiben erhalten:

$$\left(\epsilon D^{(1)} + \epsilon^2 D^{(2)}\right)\left(g_i^{(eq)}+\epsilon g_i^{(1)}\right) + \frac{1}{2}\epsilon^2D^{(1)2}g_i^{(eq)}\Delta t\approx\epsilon\Omega_i^{(1)}+\epsilon^2\Omega_i^{(2)}+\epsilon^2 w_i\phi^{(2)}$$

Sammeln gleichwertiger Bestellungen in$\epsilon$Renditen bzw.:

$$O\left(\epsilon\right):\quad D^{(1)}g_i^{(eq)} = \Omega_i^{(1)}$$ $$O\left(\epsilon^2\right):\quad D^{(2)}g_i^{(eq)} + D^{(1)}g_i^{(1)} + \frac{1}{2}D^{(1)2}g_i^{(eq)}\Delta t= \Omega_i^{(2)}+w_i\phi^{(2)}$$

Die letztere Gleichung kann mit der ersteren "vereinfacht" werden:

$$D^{(2)}g_i^{(eq)} + D^{(1)}\left[g_i^{(1)} + \frac{\Delta t}{2}\Omega_i^{(1)}\right] = \Omega_i^{(2)}+w_i\phi^{(2)}$$

Als nächstes nehmen wir den nullten Moment der$O\left(\epsilon\right)$Gleichung:

$$\partial_t^{(1)}\sum_i g_i^{(eq)} + \nabla^{(1)}\cdot\sum_i\boldsymbol{e}_i g_i^{(eq)} = \sum_i\Omega_i^{(1)}$$ $$\partial_t^{(1)}\rho\theta + \boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\theta\boldsymbol{v} = 0$$

Jetzt nehmen wir den nullten Moment der$O\left(\epsilon\right)$Gleichung:

$$\partial_t^{(2)}\sum_i g_i^{(eq)} + \partial_t^{(1)}\sum_i\left[g_i^{(1)} + \frac{\Delta t}{2}\Omega_i^{(1)}\right] + \boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\sum_i\boldsymbol{e}_i\left[g_i^{(1)} + \frac{\Delta t}{2}\Omega_i^{(1)}\right]= \sum_i\Omega_i^{(2)}+\sum_i w_i\phi^{(2)}$$ $$\partial_t^{(2)}\rho\theta + \boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot \boldsymbol{j}^{(1)} = \phi^{(2)}$$

wobei der Diffusionsfluss identifiziert wird als:

$$\boldsymbol{j}^{(1)} = \sum_i\boldsymbol{e}_i\left[g_i^{(1)} + \frac{\Delta t}{2}\Omega_i^{(1)}\right]$$

Dies wird weiter vereinfacht zu:

$$\begin{aligned} \boldsymbol{j}^{(1)} &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}\Omega_{i}^{(1)} \\ &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}D^{(1)}g_i^{(eq)} \\ &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\left[\partial_{t}^{(1)}\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}g_{i}^{(eq)}+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\sum_{i}\boldsymbol{e}_{i}\boldsymbol{e}_{i}g_{i}^{(eq)}\right] \\ &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\left[\partial_{t}^{(1)}\rho\theta\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\left(\rho\theta\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}+\rho\theta c_{s}^{2}\boldsymbol{I}\right)\right] \\ &= -\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)\left[\rho\theta\left(\partial_{t}^{(1)}\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\boldsymbol{v}\right)+\boldsymbol{v}\left(\partial_{t}^{(1)}\rho\theta+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\theta\boldsymbol{v}\right)+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\rho\theta c_{s}^{2}\right] \\ &= -\rho \mathcal{D}\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\theta\end{aligned}$$

was als Fick/Fourier-Diffusionsgesetz mit einer Diffusivität identifiziert werden kann, die definiert ist als:

$$\mathcal{D}=c_{s}^{2}\Delta t\left(\frac{\tau}{\Delta t}-\frac{1}{2}\right)$$

Hinweis : Aus jeder kanonischen LB-Literaturreferenz kann entnommen werden, dass:

$$\partial_t^{(1)}\rho+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\boldsymbol{v}=0$$ $$\partial_t^{(1)}\rho\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}=-\boldsymbol{\nabla}\rho c_s^2$$ Dies wird in der obigen Ableitung verwendet, um die vorletzte Zeile zu vereinfachen mit: $$\rho\left(\partial_{t}^{(1)}\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}^{(1)}\boldsymbol{v}\right)=-\boldsymbol{\nabla}\rho c_s^2$$ Um dies zu zeigen, wäre eine weitere Analyse erforderlich, die dieser in Kontext und Länge ähnlich ist und außer diesem Ergebnis keine neuen Informationen hinzufügt. Auf die Analyse wird daher verzichtet.

Abschluss

Wir kombinieren jetzt die$O\left(\epsilon\right)$Und$O\left(\epsilon^2\right)$Waage:

$$\epsilon\partial_t^{(1)}\rho\theta + \epsilon^2\partial_t^{(2)}\rho\theta + \epsilon \boldsymbol{\nabla}^{(1)}\cdot\rho\theta\boldsymbol{v} + \epsilon^2 \boldsymbol{\nabla}^{(1)} \cdot \boldsymbol{j}^{(1)} = \epsilon^2 \phi^{(2)}$$ geben: $$\partial_t\rho\theta + \boldsymbol{\nabla}\cdot\rho\theta\boldsymbol{v} = -\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho \mathcal{D}\boldsymbol{\nabla}\theta\right) + \phi$$

das ist genau die Advektions-Diffusions-Gleichung mit einem Quellterm. Die Kombination mit der Kontinuitätsgleichung ergibt:

$$\rho\left[\partial_t\theta + \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\theta\right] = -\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho \mathcal{D}\boldsymbol{\nabla}\theta\right) + \phi$$

Das ist, soweit ich sehen kann, die Gleichung, die Sie suchen. Dies schließt natürlich den Fall der Vorticity nicht ein, da dies eine skalare Gleichung ist. Wenn Sie sich jedoch auf inkompressible 2D-Strömungen beschränken, dann ist die Vorticity ein Skalar, der durch die z-Komponente der Vorticity definiert ist. In diesem Fall kann dieser Ansatz verwendet werden.