Gleichgewichtspunkte in der Lagrange-Mechanik

Die Gleichgewichtsbedingung lässt sich eigentlich am besten mit dem Hamiltonoperator verstehen. Wenn der Lagrange-Operator zeitunabhängig ist, bleibt der Hamilton-Operator erhalten (wenn auch nicht unbedingt die Energie) und die Entwicklung muss auf einer Kurve von stattfinden$H=$Konstante.

Gegeben ein Hamiltonian$H(p,q)$(eindimensional, um es einfach zu halten), dann ist die Bedingung für eine Gleichgewichtslage

$$\left(\frac{\partial H}{\partial p},\frac{\partial H}{\partial q}\right)=0=(\dot{q},-\dot{p})\, .$$ Geometrisch sind die Punkte, die dies erfüllen, Extrema in $H$Landschaft, dh beim Denken an $H(p,q)$als Oberfläche in 3D. Mathematisch sind nach den Hamilton-Gleichungen der Impuls und die Position an diesen Punkten genau extremal.

Mathematisch knüpft diese Formulierung, die erste Ableitungen beinhaltet, an das reichhaltige Thema des qualitativen Verhaltens gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung an, die auf eine Vielzahl von Systemen anwendbar sind: die Untersuchung von Räuber-Beute-Systemen, Lanchesters Modell der Kriegsführung usw (Die Liste ist sehr lang).

Ein Beispiel, für das dies gilt, ist der Flyball-Regler . Die Lagrangedichte für das System ist

$$L=\ell^2(m_1+2m_2\sin^2\alpha)\dot{\alpha}^2+ m_1\ell^2\Omega^2\sin^2\alpha +2(m_1+m_2)g\ell\cos\alpha\, .$$ und es ist schwierig, ein "Potenzial" zu identifizieren $V(\alpha)$da der Termkoeffizient in $\dot{\alpha}^2$ist eigentlich eine Funktion von $\alpha$.

Das Momentum$p_\alpha=\partial L/\partial \dot{\alpha}=2\ell^2(m_1+2m_2\sin^2\alpha)\dot{\alpha}$, also ergibt sich nach einfachen Manipulationen der Hamiltonoperator

$$\begin{align} H&= \frac{p^2_\alpha}{4\ell^2(m_1+2m_2\sin^2\alpha)}-m_1\ell^2\sin^2\alpha\,\Omega^2 -2(m_1+m_2)g\ell\cos\alpha\, . \end{align}$$

Die Fixpunkte sind leicht zu erhalten. Deutlich$\partial H/\partial p_\alpha=0$impliziert$p_\alpha=0$. Andererseits:

$$\frac{\partial H}{\partial \alpha}\vert_{p=0}= 2\ell\sin(\alpha)\left(m_1\ell \cos(\alpha)\Omega^2-(m_1+m_2)g\right)=0\, ,$$ was gibt $\alpha=0$aber auch ein nicht trivialer Gleichgewichtspunkt, wenn man ihn erfüllen kann $m_1\ell \cos(\alpha_0)\Omega^2-(m_1+m_2)g=0$für irgendeinen Winkel $\alpha_0$. Siehe hier für ein weiteres Beispiel.

Wenn das System natürlich ist, so dass$H=T+V_{\hbox{eff}}$mit$T=p^2/(2m)$, reduziert sich dies automatisch auf eine Bedingung für die Ableitung des effektiven Potentials.