Gravitations-Rotverschiebung um ein Schwarzschild-Schwarzes Loch

Hier sind einige Ideen zu Ihrer Frage:

Betrachten wir den Weg, den die Fackel in Gegenwart eines Schwarzen Lochs nimmt, und nehmen wir an, der Beobachter befindet sich außerhalb des Horizonts. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Lichtquelle (die Taschenlampe) geradlinig fällt.

Etwas Algebra und ziemlich viel Physik , die das Äquivalenzprinzip und einige Aspekte der speziellen Relativitätstheorie kombinieren, können zeigen, dass die Geometrie des Fackelpfads durch die Gleichung gegeben ist (wobei nur geradlinige Bewegung berücksichtigt wird):

$ds^2=\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right) c^2dt^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right)}$.

Wobei r der Abstand der Fackel vom Mittelpunkt des BH und M die Masse des BH ist. Die Koeffizienten von$dt^2$Und$dr^2$sind die metrischen „Tensorkomponenten“ der Raum-Zeit-Geometrie für diese spezielle Fragestellung. Für das Licht der Fackel ist der Weg jedoch eine geodätische Kurve – Linie des kürzesten Weges, den das Licht in einer enorm gekrümmten Raumzeit nimmt, und die obige Gleichung wird$ds^2=0$somit:

$\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right) c^2dt^2-\frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM/c^2}{r}\right)}=0$.

Die letztere Gleichung gibt die Geschwindigkeit der Lichtquelle, der Fackel, an, wenn sie von außerhalb des Horizonts auf den BH fällt und vom Beobachter in einer sehr großen Entfernung vom BH beobachtet wird

$v(r)=c(1-2GM/c^2r)$.

Die Frequenzverschiebung$z=\frac{f-f_0}{f_0}$bezieht sich über die Gleichung auf die Geschwindigkeit der Lichtquelle

$v(r)=c\frac{z^2+2z}{z^2+2z+2}.$

Die letzte Gleichung gibt an, wie sich die Frequenzverschiebung in Abhängigkeit von ändert$r$, und wie sie von der Masse M des BH beeinflusst wird. Hier,$f$ist die vom Beobachter empfangene Frequenz, während$f_0$ist die tatsächliche Frequenz, die von der Lichtquelle (der Taschenlampe) ausgestrahlt wird.

Es wäre hilfreich gewesen, wenn das OP einen Hinweis darauf hätte geben können, wo dieses Material in Carroll vorkommt. Ich habe die kostenlose arxiv-Version durchgesehen (es gibt auch eine kostenlose HTML-Version ) und konnte sie nicht finden. Die Frage ist auch ein wenig weit gefasst und vage, was der Hintergrund des OP ist. Die Frage besteht im Wesentlichen aus zwei Teilen: (1) Begründung und Interpretation der bei Carroll angegebenen Form für den Rotverschiebungsfaktor und (2) Anwendung dieser auf das Problem der fallenden Glühbirne.

Zu Nr. 2, ich denke, das Folgende funktioniert als heuristische Ableitung der Form der von Carroll angegebenen Beziehung und kann helfen, ihren physikalischen Inhalt und die Bedeutung der Mathematik zu erklären. Der Energie-Impuls-Viervektor eines Teilchens$p$ist proportional zu seinem Geschwindigkeitsvierervektor$v$. Das liegt im Grunde daran, dass es eine andere Richtung geben könnte, in die es zeigen könnte? (Es macht auch Sinn, um der Newtonschen Beziehung korrekt zu entsprechen$p=mv$.) Nun, ein Lichtstrahl hat eigentlich keinen normalisierbaren Geschwindigkeits-Vier-Vektor, aber das ist in Ordnung, weil wir nur mit Proportionalitäten arbeiten. Wir brauchen keine Normalisierung. Wir wissen auch, dass die Frequenz vier Vektor ist$\omega$ist proportional zu$p$. Das hat rein klassische Gründe, ist aber für den modernen Menschen einfacher zu begründen, weil die Proportionalitätskonstante bei einem einzelnen Photon die Plancksche Konstante ist.

In Indexschreibweise angegeben, haben wir$\omega^a \propto v^a$. Dies bezieht sich auf die kontravariante Form der Frequenz, aber normalerweise arbeiten wir mit ihrer Kovektorform, die so definiert ist, dass für einen Beobachter mit Geschwindigkeit$U$, die Rate$\omega$(Skalar), an dem Wellenfronten ankommen, ist$\omega=U^a\omega_a$. Wir haben daher$\omega \propto U_a v^a$, was im Wesentlichen Carroll zu sagen scheint (obwohl der Kontext fehlt).

Der$-$sign in Carroll ist nur eine Proportionalitätskonstante, also können wir sie ignorieren. Vermutlich hat er es da, weil er in der arbeitet$-+++$metrisch und er möchte, dass dies positiv herauskommt. Der$g_{\mu\nu}$ist da, weil er einen Index senkt. Die Tatsache, dass der Beobachter stationär ist, wirkt sich in keiner Weise auf das Argument der Proportionalität aus, aber vermutlich ist diese Annahme für den Fall, den er betrachtet (möglicherweise eine Dopplerverschiebung, die sich auf einen stationären Beobachter im Unendlichen bezieht), notwendig, um die Proportionalität zu machen beständig sei derjenige, den er gibt. Die Wahl des affinen Parameters$\lambda$ist willkürlich, und wieder ist es ein wenig schwer zu wissen, wie Carroll beabsichtigt, diese Mehrdeutigkeit aufzulösen, wenn er die Konstante der Proportionalität angibt, da jede Neudefinition des affinen Parameters$\lambda\rightarrow a\lambda+b$ändert das Ergebnis um den Faktor$a$. (Und da dies eine Null-Geodäte ist, gibt es keine natürliche Wahl für den affinen Parameter, wie z. B. eine Eigenzeit.)

Zu Nr. 1, ich denke, wir müssten die tatsächliche Beschreibung des Problems sehen, da einige Dinge ausgelassen zu werden scheinen. Insbesondere ist mir nicht klar, ob die Taschenlampe aus der Ruhe bei Unendlich oder aus der Ruhe bei gefallen ist$r_\text{obs}$. In beiden Fällen müssen Sie wahrscheinlich den Geschwindigkeits-Vier-Vektor finden, wenn er erreicht wird$r_e$, aber das wäre eine separate Berechnung. Auch wird nicht angegeben, ob der Beobachter ruht oder sich relativ zum Schwarzen Loch bewegt. Im Ruhezustand muss sich der Beobachter außerhalb des Horizonts befinden, und der Blitz kann nicht beobachtet werden, wenn er von innerhalb des Horizonts emittiert wurde.

Lassen Sie mich auf Ihre Teilfrage eingehen. An früherer Stelle im Text sagt Carroll, dass ein Beobachter mit Geschwindigkeit$U^{\mu}$misst die Energie eines Teilchens entlang einer Geodäte$E = -p_{\mu}U^{\mu}$. Wir können diese Beziehung ableiten, indem wir zu lokal flachen Koordinaten mit Metrik wechseln$\eta_{\mu\nu}$und unter der Annahme eines stationären Beobachters$U^{\mu} = (1,0,0,0)$. Hier,$-p_{\mu}U^{\mu} = -\eta_{\mu \nu} p^{\mu}U^{\nu} = -\eta_{0 0} p^{0}U^{0}$. Verwenden$E = p^{0}$Und$\eta_{00} = -1$liefert uns das gewünschte Ergebnis. Da es sich um eine Tensorgleichung handelt, muss sie in allen Koordinatensystemen gelten. Jetzt verwenden wir$p^{\nu} = \frac{dx^{\nu} (\lambda)}{d \lambda}$,$E = \hbar\omega = -g_{\mu\nu}U^{\mu} \frac{dx^{\nu} (\lambda)}{d \lambda}$und einstecken$\hbar = 1$um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.