Wie erscheint der Stern, der zu einem schwarzen Schwarschild-Loch kollabiert ist, einem Beobachter, der in das Schwarze Loch fällt?

Sie müssen viel vorsichtiger sein , wenn Sie den Begriff Rotverschiebung verwenden, da die Frequenz in der Allgemeinen Relativitätstheorie gemessen wird. Grob gesagt wird ein Photon durch seinen Wellenvektor charakterisiert$k$, was ein lichtähnlicher Vierervektor ist. Die von einem Beobachter gemessene Frequenz ist$g(\tau,k)$Wo$g$ist der metrische Tensor, und$\tau$ist der Einheitsvektor, der die Weltlinie des Beobachters tangiert.

Ein bisschen grundlegende Lorentzsche Geometrie sagt Ihnen das für jedes gegebene Photon$k$, augenblicklich kann es Beobachter geben, die dieses Photon mit beliebig hoher und beliebig niedriger Frequenz sehen.

Also: Beginnen Sie mit Ihrer Raumzeit. Legen Sie einen Punkt am Ereignishorizont fest. Korrigieren Sie ein Photon, das dieses Raum-Zeit-Ereignis passiert. Für jede Frequenz, die Sie sehen möchten , können Sie bei diesem Raum-Zeit-Ereignis einen zeitähnlichen Vektor auswählen, der diese Frequenz realisiert. Da der Vektor zeitähnlich und der Ereignishorizont null ist, muss die von diesem Vektor erzeugte Geodäte außerhalb des Ereignishorizonts beginnen und sich innerhalb des Ereignishorizonts kreuzen. Als Geodäte repräsentiert sie einen freien Fall. Das Fazit lautet also:

Für jede Frequenz, die Sie sehen möchten, können Sie einen frei fallenden Beobachter finden, der außerhalb des Schwarzen Lochs beginnt, so dass er den Ereignishorizont beim gegebenen Raum-Zeit-Ereignis kreuzt und die Frequenz beobachtet, die er sehen soll.

---

Sie fragen also, was soll diese ganze Sache mit der gravitativen Rotverschiebung von Schwarzschild-Schwarzen Löchern? Ich habe vor einiger Zeit einen längeren Blogbeitrag zu diesem Thema geschrieben und werde hier nicht so ausführlich sein. Aber der Punkt ist, dass man bei den Schwarzschild-Schwarzen Löchern (und im Allgemeinen bei jeder kugelsymmetrischen Lösung der Einstein-Gleichungen) die durch die lokale Lorentz-Invarianz gegebene Freiheit brechen kann, indem man die globale Geometrie verwendet.

Auf Schwarzschild haben wir, dass die Lösung stationär ist . Daher können wir das zeitähnliche Killing-Vektorfeld * für die Zeittranslationssymmetrie als "globales Lineal" verwenden, in Bezug auf das die Frequenz von Photonen gemessen wird. So ist es in den meisten Lehrbüchern der Allgemeinen Relativitätstheorie (siehe zB Wald) mit „Gravitationsrotverschiebung“ gemeint. Beachten Sie, dass, da wir ein Hintergrundlineal festgelegt haben, die Frequenz, über die gesprochen wird, sich von der Frequenz unterscheidet, "wie sie von einem willkürlich einfallenden Beobachter gesehen wird".

(Es gibt noch einen anderen Sinn, in dem oft über Rotverschiebung gesprochen wird, bei dem es um zwei einfallende Beobachter geht, von denen einer "zuerst abfliegt" und der zweite "folgt". In diesem Fall benötigen Sie erneut die Zeitverschiebungssymmetrie, um die Aussage zu verstehen das der zweite Beobachter „ist von demselben räumlichen Punkt wie der erste Beobachter abgereist, aber zu einem späteren Zeitpunkt.)

Es stellt sich heraus, dass es für allgemeine kugelsymmetrische Lösungen ein sogenanntes Kodama-Vektorfeld gibt , das zufällig mit dem Killing-Vektorfeld auf Schwarzschild zusammenfällt. Außerhalb des Ereignishorizonts ist das Kodama-Vektorfeld zeitähnlich und kann daher als Ersatz für das globale Lineal verwendet werden, in Bezug auf das die Rotverschiebung gemessen wird, wenn angenommen wird, dass die Raumzeit kugelsymmetrisch ist, aber nicht unbedingt stationär. Auch dieser Begriff der Rotverschiebung ist beobachterunabhängig . Und es hat eine wichtige Rolle gespielt (obwohl es sich manchmal auf eine Weise manifestiert, die nicht unmittelbar offensichtlich mit der Rotverschiebung zusammenhängt, durch die Wahl von Koordinaten und so weiter) bei der Untersuchung des dynamischen, kugelsymmetrischen Gravitationskollaps in der mathematischen Physikliteratur.

---

Zusammenfassen:

Wenn man einfach die Frequenz des Lichts vergleicht, die (a) bei seiner Emission an der Oberfläche des Sterns im Ruhesystem, das mit dem Kollaps verbunden ist, und (b) von einem beliebigen frei fallenden Beobachter gemessen wird, kann man im Grunde alle gewünschten Werte erhalten. (Grundsätzlich, weil der Doppler-Effekt von der Geschwindigkeit des Beobachters abhängt und Sie dies beliebig ändern können, indem Sie geeignete Anfangsdaten für den freien Fall wählen.)

---

Noch eine Anmerkung zu deiner letzten Frage:

Sie haben gefragt, was im Inneren des Schwarzen Lochs passiert. Auch hier kann jede Frequenz von zeitähnlichen Beobachtern lokal realisiert werden . Die Frage läuft dann darauf hinaus, ob man solche zeitähnlichen Beobachter so konstruieren kann, dass sie aus dem freien Fall stammen und außerhalb des Schwarzen Lochs beginnen. Wenn Sie mit einem zeitähnlichen Vektor bei einem durch Gravitationskollaps entstandenen Raumzeitereignis innerhalb des Schwarzen Lochs beginnen und entlang der zeitähnlichen Geodäte, die vom Vektor erzeugt wird, rückwärts gehen, werden Sie nach grundlegenden Kausalitätsüberlegungen entweder die Oberfläche Ihres Sterns treffen , oder verlassen Sie das Schwarze Loch. Wie genau die beiden getrennt werden, hängt jedoch von der genauen Natur des Gravitationskollaps ab.

Ich sollte hinzufügen, dass, wenn Sie den Standpunkt des "globalen Herrschers" verwenden, Argumente vorgebracht wurden, die analog zu der erwarteten Rotverschiebung in der Nähe des Ereignishorizonts auch Blauverschiebungen in der Nähe eines Cauchy-Horizonts, der existieren sollte, erwarten sollten . Dies wurde (mathematisch) in den Reissner-Nordstrom- (und ähnlichen) Schwarzen Löchern demonstriert. Da aber auch die Rotverschiebung manchmal auf Probleme stoßen kann (extrem geladene Schwarze Löcher), sollte man nicht erwarten, dass die Aussage über Blauverschiebungen in der Nähe der Cauchy-Horizonte für alle Raumzeiten gilt.

Ich kann anscheinend keine Schaltfläche "Kommentar bei Antwort hinzufügen" finden. aber unter Bezugnahme auf die Kommentare der vorherigen Antwort, tu es, Ron, und zweifellos wird jemand anderes kommentieren, worüber du dir nicht sicher bist. So lernen wir alle.

Als sich der Stern dem Ereignishorizont näherte, würde nicht "fast radiales" (zum Loch) Licht um das Loch herum gebogen und sowohl nah als auch fern als Halo sichtbar sein?

Dies ist eine subtile Frage, denn was Sie sehen, hängt von konkurrierenden Effekten ab. Die Antwort hängt davon ab, wie Sie genau in das Schwarze Loch fallen, da das Erscheinen von Objekten sehr stark von Ihrem Boost abhängt. Wenn Sie sich von einem Objekt entfernen, verschiebt sich das Objekt rot, breitet sich in Ihrem Sichtfeld aus und wird dunkler, und wenn Sie darauf zu schießen, verschiebt es sich blau, komprimiert sich in Ihrem vorderen Sichtfeld und wird heller. Das bedeutet, was Sie sehen, hängt davon ab, ob Sie auf das Schwarze Loch zu beschleunigen, um schnell hineinzukrachen, oder ob Sie vom Schwarzen Loch weg beschleunigen, so dass Sie beim Überqueren stark nach außen getrieben werden (die typische Situation für einen spät fallenden Beobachter). )

Die Lichtstrahlen im Moment des Überquerens des Horizonts vom Stern bleiben für immer am Horizont, sodass Sie immer (klassisch) etwas Strahlung vom Stern sammeln können, egal wie spät Sie überqueren. Aber die Bildgröße, Formhelligkeit und Verschiebung hängt von Ihrem Boost so ab, dass Sie zu später Zeit nie zu viel vom Stern sehen. Wenn Sie sich sehr schnell auf das Zentrum des Schwarzen Lochs zubewegen, sehen Sie ein kleines helles Bild des Sterns direkt vor Ihnen in Richtung der Singularität, deren Größe umgekehrt proportional zu der Zeit ist, zu der Sie es überqueren (der affine Parameter von Ihre Kreuzungsstelle). Wenn Sie auf natürliche Weise hineingehen, das heißt, Sie verbringen eine Weile damit, in der Nähe des Horizonts zu beschleunigen, um nicht hineinzufallen, und sich dann loslassen, dann sehen Sie ein ausgebreitetes, schwach rotverschobenes Bild (dasselbe Bild wie zuvor in einem anderen Rahmen).

Near-Horizon-Lösung

Die horizontnahe Form der Schwartschild-Lösung kann durch Schreiben gefunden werden$r=2M+u^2$in der üblichen r-Koordinate, wie hier beschrieben: Warum ist die Raumzeit in der Nähe eines Quantenschwarzen Lochs ungefähr AdS? . Sie erhalten (Wählen Sie die Einheiten so, dass 2M = 1, und rufen Sie die Schwartschild-Zeit auf$\theta$):

$$ds^2 = - u^2 d\theta^2 + du^2 + (1 + {u^2\over 4} ) d\Omega^2$$

Dies ist ein Rindler-Raumkreuz, eine Kugel, damit Sie es in ein Minkowksi-Raumkreuz verwandeln können$S_2$unter Verwendung der Koordinaten$t=u \sinh(\theta)$ $x=u \cosh(\theta)$

$$ds^2 = - dt^2 + dx^2 + (1 + {x^2 - t^2\over 4} ) d\Omega^2$$

Dies ist die horizontnahe Form, einschließlich der Änderung führender Ordnung im Kugelradius mit der Entfernung vom Horizont. Der Horizont ist der Lichtweg$x=t$. Die Region$t>x$Innerhalb des vorderen Lichtkegels des Ursprungs befindet sich die Region, in der sich der Kugelradius zusammenzieht, und dies ist das Innere des Schwarzen Lochs, während die Region$t<x$raumartig und rechts vom Ursprung ist das Äußere des Schwarzen Lochs

Das Problem ist die Strahlverfolgung in einer Schwarzschild-Geometrie, also muss man Lichtstrahlen berücksichtigen, die an einem Kreuzungspunkt beginnen$x=t=t_0$am Horizont. Der nach hinten gerichtete Lichtkegel von diesem Punkt aus kann parametrisiert werden, indem in M_2 ein nach hinten zeigender Vektor gewählt und die entsprechende Längenkomponente entlang der Kugel hinzugefügt wird.

Keine Wicklung

Das Hauptproblem bei der Lösung des Problems ist, ob Sie mehrere Bilder sehen. Die Lichtstrahlen in der Nähe des Horizonts, die fast nach außen gehen, bewegen sich langsam um die Oberfläche des Schwarzen Lochs herum, und Sie könnten denken, dass Sie viele Bilder des Sterns sehen können, da die Strahlen langsam um das Schwarze Loch herumkriechen, um Sie vom Stern nach a zu erreichen Wicklung.

Dem ist nicht so, denn die Zeit für eine Windung ist immer vergleichbar mit der Zeit, die das Licht braucht, um von der Oberfläche des Schwarzen Lochs wegzukommen. Dies ist am einfachsten in der Near-Horizon-Lösung des Produkts zu sehen.

Angesichts eines Lichtstrahls, der in einem kleinen Winkel in Ihr Auge fällt$\theta$Von direkt in Richtung des Zentrums des Schwarzen Lochs ist der Ausfall des Strahls, um der Horizontgenerator zu sein, proportional$\theta^2$, während die Komponente entlang des Sphärenfaktors der horizontnahen Lösung proportional zu ist$\theta$.

Aber wenn man sich die Menge anschaut$x^2-t^2$, welches ist$u^2$,die quadrierte Differenz der radialen Schwarzschild-Koordinate von 2M, entlang der ungefähren Geodätischen, ist es

$$(t-s)^2 - (t - s\cos(\theta))^2 = s(t-s)\theta^2$$

Diese Menge erhöht sich auf maximal$(t\theta/2)^2$. Wenn dieses Maximum vergleichbar mit 1 ist, tritt der zurückverfolgte Lichtstrahl aus dem Gravitationsproduktbereich aus. Diese Heuristik zeigt, dass die Fluchtzeit für ist$\theta\propto 1/t$, bis hin zu kleinen Faktoren der Ordnungseinheit.

Da ist die Wickelzeit auch$t\propto 1/\theta$, gibt es keine Windungen – der Lichtstrahl verlässt den horizontnahen Produktbereich, bevor er einmal herumlaufen kann.

Größe des Sternbildes

Die Winkelgröße des Sternbildes wird durch den affinen Parameter bestimmt, um den Horizontbereich für einen zurückverfolgten Strahl unter einem Winkel zu verlassen$\theta$weg von der Linie zum Zentrum des Schwarzen Lochs.

Da die Lösung direkt am Horizont (fast) wie ein Produkt aussieht, sind die Geodäten einfach gerade Linien im Minkowski-Raum, die sich gleichzeitig um die Kugel winden. No-Winding zeigt, dass die Winkelverteilung des Bildes des Sterns (vorausgesetzt, Sie kommen im selben Boost-Frame wie der Stern herein, wenn der Stern den Horizont überquert) kleiner ist als der Winkel, der eine volle Umdrehung des affinen Parameters aufwickelt$t$wo du kreuzt.

Das bedeutet, dass die Winkelausbreitung des Sterns sinkt$1/t$. Dies ist das Bild im unverstärkten Rahmen, der durch Verschieben des Rahmens des einfallenden Sterns ohne Erhöhung des Minkowksi-Raumfaktors des Produkts definiert wird

Boostende Effekte

Der Effekt des Boostens ist eine konforme Transformation der Sphäre der einfallenden Lichtstrahlen. Dies wird sehr schön in Penrose's Spinors and Space-Time Vol.1 beschrieben. Der qualitative Effekt ist klar – wenn Sie sehr schnell in eine bestimmte Richtung gehen, hat das Licht in Ihrem Rahmen einen zusätzlichen Impuls in die entgegengesetzte Richtung, wodurch das Licht in Ihr vorderes Sichtfeld konzentriert und blau verschoben wird. Licht hinter dir wird rotverschoben und ins Vergessen gestreut.

Für ein Schwarzes Loch ist die Zeitverschiebung entlang des Horizonts ein Schub, da der externe Zeitparameter$\theta$ist ein Boost-Parameter. Das bedeutet, wenn Sie lange in den externen Koordinaten warten und dieselbe Geschwindigkeit betrachten, die mithilfe des Time Killing-Vektors in die Zukunft übersetzt wird, wurde diese Geschwindigkeit vom Zentrum des Schwarzen Lochs um einen Betrag proportional zur Zeit erhöht.

Das sichtbare Bild des Sterns ist nur ungedimmt und um einen Betrag proportional zu t im "Ruhebild" des kollabierenden Sterns geschrumpft (ich habe das Ruhebild in Anführungszeichen gesetzt, weil es ein Referenzbild der horizontnahen M_2 x S_2-Metrik ist). Sie ist ungedimmt, weil die Produktnatur der Lösung die Lichtstrahlen nicht ausbreiten lässt, aber sie ist auf eine Winkelgröße von 1/t geschrumpft, weil die meisten Strahlen den Stern verfehlen.

Aber wenn Sie zu späten Zeiten mit der gleichen Geschwindigkeit t einfallen, verstärken Sie um einen Betrag, der proportional zu t ist. Eine Erhöhung um einen zu t proportionalen Betrag wird den Winkelbereich dahinter um einen exponentiell wachsenden Betrag in t spreizen. Das führt dazu, dass das Bild exponentiell abdunkelt, sodass man wirklich gar nichts mehr sieht, wenn man zu spät auf natürliche Weise hineinfällt.

Die Rotverschiebung wird zu einer Blauverschiebung, wenn sich der einfallende Beobachter dem Ereignishorizont nähert. Ich weiß nicht genau, ob die Photonen, die er sieht, wenn er den Ereignishorizont überquert, überhaupt keine Verschiebung aufweisen oder ob es immer noch eine Netto-Rotverschiebung oder sogar eine Blauverschiebung geben würde - weiß das jemand?

Aber die Oberfläche des Sterns wird dunkler und dunkler aussehen, wenn sich der einfallende Beobachter dem Ereignishorizont nähert. Auch wird der Beobachter in radialer Richtung direkt unter ihm nur einen immer kleiner werdenden Fleck auf der Oberfläche des Sterns sehen können, wenn er sich dem Ereignishorizont nähert.

Der Grund dafür ist, dass bei Annäherung des ursprünglichen Sterns an den Ereignishorizont nur Photonen, die in einem immer schmaler werdenden Kegel entlang der radialen Richtung emittiert werden, dem Einsturz in das Schwarze Loch entgehen können. Am Ereignishorizont bleiben nur Photonen, die genau entlang der radialen Richtung emittiert werden, am Horizont eingefroren und warten darauf, dass der einfallende Beobachter sie sieht.

Sobald der Beobachter den Ereignishorizont passiert, sieht er überhaupt nichts, da der vordere Lichtkegel nach innen in eine "räumliche" Richtung auf die Singularität zeigt.

Schließlich beeinflussen diese Überlegungen, was der Beobachter im Unendlichen sieht – wenn sich die Sternoberfläche dem Ereignishorizont nähert, werden nicht nur die Photonen mehr und mehr rotverschoben, sondern auch der Fleck des Sterns, den der Beobachter im Unendlichen sehen kann eine immer kleinere Scheibe, die in unendlicher Zeit zu einem Punkt schrumpft.