Grundlegendes Paradoxon mit Newtons Gravitationsgesetz?

Question

Grundlegendes Paradoxon mit Newtons Gravitationsgesetz?

Kelvin

Dies ist mein erster Beitrag hier, aber ich kämpfe mit diesem Problem in meinem Kopf, seit ich mit 14 (vor 30 Jahren!) Physik in der Schule studiert habe.

Es scheint ein grundlegendes Paradoxon mit Newtons Gravitationsgesetz (NLG) zu geben, aber es kann nichts mit der allgemeinen Relativitätstheorie zu tun haben, weil die beteiligten Massen und Geschwindigkeiten vernachlässigbar sein können und Sie immer noch das Paradoxon bekommen ...

Stellen Sie sich zwei Körper vor, A und B mit Masse $M_a$ Und $M_b$ jeweils durch einen Abstand von getrennt $r$ . Jetzt laut NLG:

Wenn Sie auf A stehen, beschleunigt B auf Sie zu

(G M_{A} M_{B} / R^{2}) / M_{B} = G M_{A} / R^{2} .

$(G M_a M_b / r^2) / M_b = G M_a / r^2.$

Und wenn du auf B stehst, dann beschleunigt A auf dich zu

(G M_{A} * M_{B} / R^{2}) / M_{A} = G M_{B} / R^{2} .

$(G M_a * M_b / r^2) / M_a = G M_b / r^2.$

Aber $M_a \ne M_b$ .

Wie können also zwei verschiedene Beobachter auf A und B eine Beschleunigung zueinander mit sehr unterschiedlichen Raten sehen, selbst wenn die beteiligten Massen und Geschwindigkeiten vernachlässigbar sind (kaum von der Relativitätstheorie beeinflusst)?

Und warum hat Newton selbst dieses Paradox nicht gesehen?

Schließlich, wie kann/sollte NLG modifiziert werden, um dieses Paradoxon zu lösen und trotzdem für Beobachtungen bei geringen Massen und Geschwindigkeiten geeignet zu sein?

John Duffield

Es ist wie Gert sagte, Kelvin. Es gibt überhaupt kein Paradoxon. Wenn Sie auf einem fallenden Ziegelstein stehen, beschleunigen Sie mit 9,8 m/s² auf die Erde zu. Gleichzeitig stehe ich auf dem Boden und beschleunige überhaupt nicht. Aber unsere Annäherungsgeschwindigkeit zueinander ist dieselbe.

Javier

Ihre Frage ist in Ordnung, aber Sie möchten vielleicht etwas berücksichtigen. Was ist wahrscheinlicher, dass es ein Paradoxon gibt, das in den letzten 350 Jahren niemand gelöst hat, oder dass Sie einfach etwas falsch verstanden haben?

Brionius

Ich möchte hinzufügen, was Javier gesagt hat – es wäre respektvoller gegenüber der lebenslangen Arbeit, die in die Entwicklung der verschiedenen Rahmenbedingungen geflossen ist, die die moderne Physik ausmachen, wenn Sie dies ohne die Annahme angehen würden, dass Sie entdeckt haben, dass Newtons Gravitationsgesetz falsch ist.

Ján Lalinský

@ Kelvin, die relative Beschleunigung ist nicht so zu berechnen, wie Sie es oben getan haben. So erhält man absolute Beschleunigungen der beiden Körper in Bezug auf den absoluten Raum. Die relative Beschleunigung der beiden Körper ist die Differenz ihrer absoluten Beschleunigungen.

Kelvin

@Javier, Bronius: Ich fürchte, es liegt in meiner Natur, etwas in Frage zu stellen, wenn es für mich keinen Sinn ergibt, aber ich habe dies nur getan, indem ich Fragen gestellt habe. So lerne ich. Und nur so können wir als Gesellschaft lernen, ob und wann mit unseren Ideen etwas nicht stimmt. Andernfalls könnten Sie genauso gut sagen: „Wie kann es Einstein wagen, Newtons Arbeit in Frage zu stellen!“, und dann würden wir nirgendwo hinkommen. PS. Bronius, ich habe deine direkte Antwort gelesen und sie ergibt für mich absolut Sinn, danke, dass du mich aufgeklärt hast! :-)

Gert

Ich denke, Sie sollten hier ein wenig Demut walten lassen. Sie weisen auf ein nicht existierendes Paradoxon hin und behaupten doch, was Sie tun, sei etwas vergleichbar mit Einstein in Bezug auf Newton. Das ist doof. Hier haben Sie etwas in Frage gestellt, das Sie nicht verstanden haben , nicht etwas , das keinen Sinn ergab . Sie sind nicht dasselbe. Das hat Einstein nicht getan.

Antworten (3)

Grundlegendes Paradoxon mit Newtons Gravitationsgesetz?

Es ist wie Gert sagte, Kelvin. Es gibt überhaupt kein Paradoxon. Wenn Sie auf einem fallenden Ziegelstein stehen, beschleunigen Sie mit 9,8 m/s² auf die Erde zu. Gleichzeitig stehe ich auf dem Boden und beschleunige überhaupt nicht. Aber unsere Annäherungsgeschwindigkeit zueinander ist dieselbe.
Ihre Frage ist in Ordnung, aber Sie möchten vielleicht etwas berücksichtigen. Was ist wahrscheinlicher, dass es ein Paradoxon gibt, das in den letzten 350 Jahren niemand gelöst hat, oder dass Sie einfach etwas falsch verstanden haben?
Ich möchte hinzufügen, was Javier gesagt hat – es wäre respektvoller gegenüber der lebenslangen Arbeit, die in die Entwicklung der verschiedenen Rahmenbedingungen geflossen ist, die die moderne Physik ausmachen, wenn Sie dies ohne die Annahme angehen würden, dass Sie entdeckt haben, dass Newtons Gravitationsgesetz falsch ist.
@ Kelvin, die relative Beschleunigung ist nicht so zu berechnen, wie Sie es oben getan haben. So erhält man absolute Beschleunigungen der beiden Körper in Bezug auf den absoluten Raum. Die relative Beschleunigung der beiden Körper ist die Differenz ihrer absoluten Beschleunigungen.
@Javier, Bronius: Ich fürchte, es liegt in meiner Natur, etwas in Frage zu stellen, wenn es für mich keinen Sinn ergibt, aber ich habe dies nur getan, indem ich Fragen gestellt habe. So lerne ich. Und nur so können wir als Gesellschaft lernen, ob und wann mit unseren Ideen etwas nicht stimmt. Andernfalls könnten Sie genauso gut sagen: „Wie kann es Einstein wagen, Newtons Arbeit in Frage zu stellen!“, und dann würden wir nirgendwo hinkommen. PS. Bronius, ich habe deine direkte Antwort gelesen und sie ergibt für mich absolut Sinn, danke, dass du mich aufgeklärt hast! :-)
Ich denke, Sie sollten hier ein wenig Demut walten lassen. Sie weisen auf ein nicht existierendes Paradoxon hin und behaupten doch, was Sie tun, sei etwas vergleichbar mit Einstein in Bezug auf Newton. Das ist doof. Hier haben Sie etwas in Frage gestellt, das Sie nicht verstanden haben , nicht etwas , das keinen Sinn ergab . Sie sind nicht dasselbe. Das hat Einstein nicht getan.

Brionius · Answer 1

Ihr Missverständnis hat nichts mit der Schwerkraft zu tun - Sie geraten nur ein wenig durcheinander in Bezug auf Beschleunigung und relative Beschleunigung.

Verzichten wir auf die Schwerkraft, denn die ist hier ein Ablenkungsmanöver. Angenommen, es gibt zwei Autos. Auto A beschleunigt auf $+3 ~\rm m/s/s$ (Nach rechts). Auto B beschleunigt auf $-5 ~\rm m/s/s$ (also nach links). So weit, so gut, oder? Es ist kein Paradox, dass zwei Autos unterschiedlich schnell beschleunigen.

Angenommen, Sie sitzen in Auto B. Wenn Sie die scheinbare oder relative Beschleunigung von Auto A relativ zu Ihnen messen möchten, nehmen Sie einfach die Differenz der Beschleunigungen: $(3) - (-5) = 8 ~\rm m/s/s$ . Auto A beschleunigt also um $8 ~\rm m/s/s$ gegenüber Auto B.

Wenn Sie der Fahrer von Auto A sind und die scheinbare Beschleunigung von Auto B relativ zu Ihnen messen möchten, gehen Sie genauso vor: $(-5) - (3) = -8 ~\rm m/s/s$ . Auto B beschleunigt also um $-8 ~\rm m/s/s$ gegenüber Auto A.

Das erscheint mir vollkommen intuitiv und widerspruchsfrei. Die Größe der relativen Beschleunigung jedes Autos ist gleich, wie es sein muss, da die relative Beschleunigung jedes Autos relativ zum anderen die Rate darstellt, mit der der Abstand abnimmt, der für beide gleich sein muss.

Zurück zu Ihrem Beispiel, die Größe der relativen Beschleunigung der Massen ist $G M_a / r^2 + G M_b / r^2$ †. Obwohl sie in dem Referenzrahmen, den Sie zu Beginn des Problems gewählt haben , unterschiedliche Beschleunigungen haben , ist ihre relative Beschleunigung dieselbe.

† Wenn Sie sich über das Pluszeichen wundern, bedenken Sie, dass die Schwerkraft in den beiden Körpern Beschleunigungen in entgegengesetzter Richtung erzeugt, die wir darstellen müssen, indem wir einer der beiden Beschleunigungen ein negatives Vorzeichen geben. Wenn wir die Differenz zwischen den Beschleunigungen nehmen, wird das negative Vorzeichen zu einem Plus.

Wenn Sie eine Begründung für das Verfahren "Differenz der Beschleunigung nehmen" möchten, da dies das Herzstück meiner Argumentation ist, hier ist es:

Lassen $x_a$ Und $x_b$ die Positionen der beiden Autos sein. Die Trennung der Autos muss sein

S = X_{A} - X_{B}

$s = x_a - x_b$ Wenn wir die Änderungsrate der Trennung der Autos wissen wollen, können wir die Ableitung dieser Gleichung nehmen:

\frac{D S}{D T} = \frac{D X_{A}}{D T} - \frac{D X_{B}}{D T}

$\frac{ds}{dt} = \frac{dx_a}{dt} - \frac{dx_b}{dt}$ Wenn wir die Ableitung erneut nehmen, sollte sie uns die Änderungsrate der Änderungsrate der Trennung geben, die die relative Beschleunigung ist:

\frac{D^{2} S}{D T^{2}} = \frac{D^{2} X_{A}}{D T^{2}} - \frac{D^{2} X_{B}}{D T^{2}}

$\frac{d^2s}{dt^2} = \frac{d^2x_a}{dt^2} - \frac{d^2x_b}{dt^2}$ Die beiden Größen auf der rechten Seite sind einfach die Beschleunigungen zweier Objekte,

a_{a}

$a_a$ Und

a_{b}

$a_b$ , So

\frac{D^{2} S}{D T^{2}} = A_{A} - A_{B}

$\frac{d^2s}{dt^2} = a_a - a_b$

Danke, das ist sehr hilfreich und macht viel Sinn. Ich denke, mein Problem bestand darin, NLG als auf die relative Beschleunigung und nicht auf die absolute Beschleunigung anzuwenden zu betrachten. Tatsächlich ist die relative Beschleunigung also gegeben durch G * (Ma + Mb) / r ^ 2, wie Sie angegeben haben, und NICHT G * Ma / r ^ 2 ODER G * Mb / r ^ 2, wie ich gedacht hatte.
Und das beantwortet auch meine letzte Frage ("wie kann/sollte NLG modifiziert werden, um dieses Paradoxon zu lösen?"): Relative Beschleunigung = G * (Ma + Mb) / r^2

Gert · Answer 2

Es muss nichts geändert werden, es ist gut so wie es ist. Es gibt überhaupt kein Paradoxon.

Die Kraft, die beide anzieht, ist in der Tat $F=G\frac{M_A M_B}{r^2}$ .

Aber die Beschleunigung, die sie erfahren, ist nicht dieselbe (zumindest vorausgesetzt $M_A \neq M_B$ ), weil ihre Trägheiten (Massen) nicht gleich sind. Für eine $F=M_A a_A$ , für die anderen $F=M_B a_B$ .

Es gibt kein Paradoxon oder Widerspruch und nichts zu „reparieren“.

In diesem Diagramm $F=G\frac{M_A M_B}{r^2}$ .

Erde beschleunigt bei $a_A=G\frac{M_B}{r^2}$ , Jupiter bei $a_B=-G\frac{M_A}{r^2}$ .

Das Minuszeichen erklärt den Sinn des $x$ Achse und dass die Beschleunigungen gegenläufig sind.

Dies beantwortet jedoch nicht meine Frage: Wie können zwei verschiedene Beobachter auf A und B eine Beschleunigung zueinander mit sehr unterschiedlichen Raten sehen? Sicherlich müssen sie sehen, dass sie mit der gleichen Geschwindigkeit aufeinander zu beschleunigen , und sich auf ihre relative Beschleunigung einigen, oder?
Weil sie anders sind. Das ist keine Sache der Wahrnehmung: A und B beschleunigen unterschiedlich schnell aufeinander zu , weil sie unterschiedliche Massen haben. Gleiche Kraft aber andere Masse.
Kevin, du lehnst eine richtige Antwort ab. Das ist nicht fair.
Gert, ich spreche nicht von absoluter Beschleunigung im absoluten Raum, was meiner Meinung nach anders sein könnte (wenn es so etwas wie absoluten Raum gäbe). Ich spreche von relativer Beschleunigung - zueinander . Sie müssen die Frage nur richtig lesen, damit sie fair ist.
@Kelvin Sie verwechseln zwei verschiedene Referenzsysteme: Sie nehmen A in Ruhe. Wenn A ruht, bewegt sich B. Wenn B ruht, bewegt sich A. Nur im Impulszentrumssystem bewegen sich die Teilchen mit gleichem Impuls gegeneinander en.wikipedia.org/wiki/… und daher muss die Beschleunigung gleich sein
Welche relative Beschleunigung würden sie also zueinander messen ? sie müssen zustimmen...
Wenn wir auf der Erde in Ruhe beobachten, gibt es einen g-Standard für alle Körper. Bei einem fallenden Teilchen wird die Erde wegen des großen Massenunterschieds als bewegungslos angesehen
Kevin, sie sehen unterschiedliche Beschleunigungen aufeinander WEGEN der Beschleunigungen $a_A$ Und $a_B$ SIND unterschiedlich, weil ihre Massen unterschiedlich sind. Hier gibt es kein Paradoxon oder Mysterium.
Jupiter würde also genauso schnell auf die Erde zubeschleunigen wie der Mond, bei g??? Tut mir leid, aber das macht keinen Sinn, denn wenn ich auf dem Jupiter wäre, würde ich messen, wie die Erde viel schneller als g auf mich zubeschleunigt.
g steht für die Erde. Wenn die Größen ähnlich sind, treten die Unterschiede auf, wie Gert sagt
Doch wie könnte jemand auf Jupiter sehen, wie die Erde viel schneller auf sie zu beschleunigt, als jemand auf der Erde sieht, wie Jupiter auf sie zu beschleunigt? Das ergibt keinen Sinn! Und noch immer hat niemand eine Formel angegeben, bei der sich beide Beobachter einig wären...
"Also würde Jupiter genauso schnell auf die Erde zubeschleunigen wie der Mond, bei g???" NIEMAND hat so etwas gesagt, Kevin, du bist jetzt Strohmann. Jupiter würde bei einem Wert von beschleunigen $a_J$ das ist viel niedriger als der Mond sagen würde $a_m$ , weil die Masse des Jupiter viel größer ist als die des Mondes. Laut meiner Antwort.
Gert, bitte beantworte diese einfache Frage mit 2 konsistenten Formeln: Wie schnell würde jemand auf dem Jupiter messen, dass die Erde auf ihn zu beschleunigt? Und wie schnell würde jemand auf der Erde messen, wie Jupiter auf sie zu beschleunigt ? Sie müssen zustimmen, denn wir betrachten die relative Beschleunigung.
Kevin, wir betrachten NICHT die "relative Beschleunigung". Jede Masse im Bezugsrahmen (zum Beispiel eine $x$ Achse, die durch die Schwerpunkte beider Planeten und mit Ursprung verläuft $0$ im Erdmittelpunkt) ABSOLUTE Beschleunigung in entgegengesetzte Richtungen erfahren. Die Beschleunigungen werden wie in meiner Antwort angegeben berechnet und sind proportional zum Kehrwert der Masse jedes Planeten. Der leichtere beschleunigt also schneller als der schwerere.
Ich werde meiner Frage ein Diagramm hinzufügen, um dies zu veranschaulichen.

guest_coll · Answer 3

Die Beschleunigung, die sie lokal erfahren, ist aufgrund der unterschiedlichen Massen unterschiedlich, während die Beschleunigung, die sie untereinander erfahren, natürlich gleich ist (oder zumindest bei jeder Annäherung synchronisiert wird), sonst würde A später oder B treffen (wenn die Planeten zusammenstoßen). eher als B A treffen würde.

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