Hängt die apsidale Präzessionsrate vom Argument der Periapsis ab? Vielleicht höhere Ordnung?

Ja, es gibt viele andere Begriffe, die höhere Potenzen von beinhalten$\omega$, obwohl die Befugnisse von$\omega$sind häufiger anzutreffen als$\cos 2 \omega$,$\sin 3 \omega$, etc. , und die Größe der meisten von ihnen ist normalerweise vernachlässigbar, da sie mit kleinen Dingen multipliziert werden, wie z$J_2$gewürfelt bzw$J_5$. Es gibt Rezepte zum Generieren beliebig vieler Terme, die Sie verwenden möchten, mit beliebig hohen Potenzen aller Orbitalelemente, aber sie sind kompliziert zu erklären. Für den ersten Teil der Herleitung können Sie Robert Battins An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics (1999) lesen, wo dieses Material den größten Teil von Kapitel 10 ausmacht. Es ist auch in so ziemlich jedem anderen soliden astrodynamischen Text zu finden, der Ihnen gefallen könnte , allerdings alle mit leicht unterschiedlicher Notation. Der zweite Teil wird in Battin, Vallado oder anderen Büchern, die ich gelesen habe, nicht gut behandelt, mit Ausnahme von William Kaulas Theorie der Satellitengeodäsie , daher empfehle ich Ihnen, zu versuchen, eine Kopie davon zu finden.

Ich habe versucht, die Ableitung auf etwas herunterzukochen, das ich hier posten könnte, aber ich habe es nicht geschafft. Die Algebra ist einfach zu dicht. Die Hauptidee besteht darin, die vollständige Dynamik als einfache keplersche Zweikörperlösung plus etwas anderes zu schreiben, wobei alle zusätzlichen Beschleunigungen bekannt sind und die Aufgabe darin besteht, die Änderung der Zweikörperbewegung zu finden, die diesen Störungen entspricht. Dies wird als Variation von Parametern bezeichnet, die eine allgemeine Methode zur Lösung bestimmter Arten von Differentialgleichungen ist, die von Euler erfunden und von Lagrange und Gauß erweitert wurde, um dieses Problem speziell bei der Bestimmung der Umlaufbahnen von Jupiter und Saturn zu behandeln. Sie haben die Gleichungen herausgefunden, die beschreiben, wie sich die Orbitalelemente mit der Zeit ändern, basierend auf all den anderen Dingen als der einfachen keplerschen Zwei-Körper-Punktmasse, die Sie berücksichtigen möchten. Daraus ergeben sich die Planetengleichungen von Lagrange . Von den sechs ist die, nach der Sie gefragt haben

in Lagrange-Form, wo$R$ist die „Störfunktion“, deren Ableitungen die zu untersuchenden Beschleunigungen ergeben. Falls die Störung durch einen dritten Gravitationskörper wie Sonne oder Mond verursacht wird,$R$gleich

Wo$m$ist die Masse des dritten Körpers,$\rho$ist seine Entfernung vom Zentralkörper,$d$ist seine Entfernung von dem umkreisenden Körper, und$\alpha$ist der Winkel zwischen den Vektoren$\r$Und$\rho$. Ein finden$R$das zu der Beschleunigung führt, die Sie untersuchen möchten, kann eine Schwierigkeit sein, daher verwendet die alternative Form von Gauß die Beschleunigungen direkt, aber ich werde sie hier nicht vorstellen. Schauen wir uns stattdessen an, wo wir hinkommen$R$und wie wir seine Ableitungen nehmen. Wenn wir den Effekt betrachten, dass der zentrale Körper keine Punktmasse ist, dann ist es traditionell zu schreiben$R$als

wie in dieser Antwort beschrieben . Denken Sie daran, dass wir es nicht so machen mussten . Wir haben uns dafür entschieden, weil dies tatsächlich viel einfacher ist als viele andere Möglichkeiten, die wir hätten wählen können ! Die Koeffizienten$\bar{C}_{nm}$Und$\bar{S}_{nm}$sind definiert als das Ergebnis der Integration geeigneter Gewichtungsfunktionen multipliziert mit dem Gravitationspotential, wobei die Domäne die Massenverteilung des Zentralkörpers ist, aber sie werden tatsächlich gemessen, indem diese Formel mit der beobachteten Bewegung von Satelliten verglichen wird. Dieser Prozess ist die "Satellitengeodäsie" von Kaulas Titel.

Was ich oben "den zweiten Teil" genannt habe, ist der nächste Schritt, der tatsächlich darin besteht, die Ableitungen der Störfunktion zu nehmen und dann herumzuspielen, bis wir eine Annäherung finden, die wir lösen können. Ein Großteil der Arbeit an diesem Punkt ist die klassische Mechanik auf der Ebene von Herbert Goldsteins Buch , die eine Reihe von "kanonischen" Transformationen durchführt , was wirklich bedeutet, Variablen zu ändern, bis Sie den Hamilton-Operator in etwas mit nur trivialen Lösungen transformieren. Dies ist der Ursprung von Theorien über mittlere Elemente wie Brouwers Arbeit , die mit Delaunay-Variablen begannen und weitergingenvon dort. Die andere Hälfte, die ich nur bei Kaula bis zu diesem Detailgrad ausgearbeitet gesehen habe, besteht darin, verschiedene Teile der störenden Funktion als Dinge umzuschreiben, deren Ableitungen leichter genommen werden können. Es kommt also vor, dass der Sinus des Breitengrades$\phi$gleich$\sin i \sin(\omega + f)$, Wo$f$ist die wahre Anomalie, und$\sin \phi$ist das Argument der zugehörigen Legendre-Polynome! Außerdem kann man die Begriffe in sin und umschreiben$\cos m \lambda$(Längengrad) als Polynome in sin und cos von ($m(\Omega-\theta)+c(\omega+f)$), wobei c eine ganze Zahl ist, die von der Potenz von cos oder sin abhängt, und$\theta$ist der Greenwich-Stundenwinkel. Das bedeutet, dass jeder Begriff in der Erweiterung enthalten ist$\omega$explizit, mit Ausnahme der wenigen, die symmetrisch um die Rotationsachse des sphärischen Koordinatensystems sind.

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Übrigens, was ich noch interessanter finde, passiert bei der sogenannten kritischen Neigung : wenn$\cos^2 i = 1/5$, was bei ungefähr 63,435 Grad passiert, dann nach dieser Formel$\dot{\omega}$genau Null ist, egal welchen Wert$J_2$nimmt , und somit ändert sich das Argument des Perigäums nicht, egal welcher Körper umkreist wird.

Dies wird praktisch für die sogenannte Molniya-Umlaufbahn verwendet , eine stark exzentrische (typischerweise$e$ist 0,6 bis 0,75) Umlaufbahn mit Argument des Perigäums bei 270 Grad (in der Nähe des Südpols), so dass das Apogäum in der Nähe des Nordpols liegt und somit eine viel bessere geografische Abdeckung der Sowjetunion bieten könnte als eine (notwendigerweise nahe am Äquator liegende ) geostationäre Umlaufbahn. Die hohe Exzentrizität nutzt Keplers Gesetz zur gleichen Fläche und zur gleichen Zeit aus, um es so anzuordnen, dass der Satellit den größten Teil seiner 12-stündigen Umlaufbahn sehr langsam über den nördlichen Himmel bewegt und dann sehr schnell um die südliche Hälfte des Globus herumzoomt, bevor er wieder über der Erde auftaucht nach Norden, wo es sein will, und wieder langsamer. In einer solchen Umlaufbahn braucht man$\dot{\omega}$zu verschwinden, damit das gesamte Konzept funktioniert, oder Ihr Satellit, der sich zunächst über der Nordhalbkugel aufhält, beginnt sich herumzudrehen, sodass das Apogäum zuerst äquatorial und dann über der Südhalbkugel wird, wo Sie die Kommunikationsabdeckung nicht benötigen.

Jetzt natürlich$\dot{\omega}$ist nie genau null, also müssen diese Fahrzeuge ihre eigene Art von Positionshaltung durchführen, aber die Kräfte, die sie manövrieren, um sie aufzuheben, sind sehr verschieden von denen, die in anderen Arten von benannten Umlaufbahnen zu finden sind. Die genaue Natur dieser Kuriosität hat im Laufe der Jahre großes Forschungsinteresse auf sich gezogen, einige mit einem ziemlich beängstigenden Grad an mathematischer Raffinesse. Um einen Vorgeschmack auf das zu geben, was man finden kann, hier sind Links zu drei sehr unterschiedlichen Artikeln, die interessante Teile des Themas berühren.

• da Costa, de Moraes, Carvalho und Prado, "Künstliche Satelliten, die Planetensatelliten umkreisen: kritische Neigung und sonnensynchrone Umlaufbahnen" , Journal of Physics: Conf. Serie 911 (2017) 012018 ist modern, zugänglich und behandelt den Erdmond, Io und Europa.

• Jupp, "Das kritische Neigungsproblem - 30 Jahre Fortschritt" , Celestial Mechanics 43 (1989) 127-138, ist eine einnehmend gesprächige Geschichte der Arbeit in den 60er und 70er Jahren, die eine etwas sanfte Einführung in einige der erforderlichen fortgeschrittenen Mathematik bietet Um mein drittes Beispiel zu verstehen,

• Coffey, Deprit und Miller, "The Critical Inclination in Artificial Satellite Theory" , Celestial Mechanics 39 (1986) 365-406, das mit den Worten beginnt

"Die kritische Neigung im Hauptproblem der künstlichen Satellitentheorie ist eine intrinsische Singularität. Ihre Bedeutung ergibt sich aus zwei geometrischen Ereignissen im reduzierten Phasenraum auf den Mannigfaltigkeiten des konstanten polaren Drehimpulses und der konstanten Delaunay-Wirkung. In der Nähe der kritischen Neigung, entlang der Familie der kreisförmigen Bahnen erscheinen zwei Hopf-Verzweigungen, an denen jeweils zwei Bahnfamilien zusammenlaufen ..."

und wird von da an härter.