Was ist die optimale Neigungsänderungsstrategie?

Stellen Sie sich einen Transfer zwischen zwei Kreisbahnen mit ähnlichem Radius vor, wobei der einzige Unterschied der Neigungsunterschied ist. a . Was ist das Minimum Δ v erforderlich, um diese Übertragung durchzuführen?

Neigungsänderungsstrategien, die ich bisher betrachtet habe:

  1. Eine einzige Änderung der Brennneigung. Das ist einfach genug, nur die Differenz zwischen zwei Geschwindigkeitsvektoren, was sich wie folgt auswirkt:

Δ v 1 ( a ) = 2 Sünde ⁡ ( a / 2 )

(gemessen in Einheitsgeschwindigkeiten der Kreisbahn)

einfacher Neigungswechsel

  1. Allerdings wann a > 48.9 ∘ , kostet es weniger, fast bis zur Fluchtgeschwindigkeit zu beschleunigen, die Neigungsänderung an einer beliebig weit entfernten Apoapsis durchzuführen und dann zu konstanten Kosten rückläufig in die Zielbahn zurückzubrennen 2 2 − 2 unabhängig von a

zwei Neigungsänderungsstrategien

  1. Wie 2), aber die Änderung der Neigung bei einer endlichen Apoapsis, wobei niedrigere Beschleunigungs- und Verzögerungskosten gegen höhere Neigungsänderungskosten an der Apoapsis eingetauscht werden.

Δ v 3 ( a , A ) = 2 ( 2 − 2 1 + A − 1 ) + 2 Sünde ⁡ ( a / 2 ) 2 A − 2 1 + A

Dies schneidet nur geringfügig die Ecke zwischen 1) und 2)

Strategie 3

  1. Wie 3), aber auch einen Teil der Neigungsänderung übernehmen, β , kombiniert mit den Beschleunigungs- und Verzögerungsverbrennungen.

Δ v 4 ( a , A , β ) = 2 ( cos ⁡ ( β ) 2 − 2 1 + A − 1 ) 2 + ( Sünde ⁡ ( β ) 2 − 2 1 + A ) 2 + 2 Sünde ⁡ ( ( a − 2 β ) / 2 ) 2 A − 2 1 + A

Eine numerische Optimierung für A Und β ist im Diagramm unten rot eingezeichnet.

Numerische Optimierung

Es ist offensichtlich, dass die Strategien 3) und 4) in dem Bereich, in dem 2) 1) übernimmt, etwas effizienter sind. Darüber hinaus ist 3) als Spezialfall von 4) nie effizienter, daher ist es immer vorteilhaft, die Neigungsänderung auf alle Verbrennungen aufzuteilen.

Gibt es andere Neigungsänderungsstrategien, die für einige Werte effizienter sind? a ?

Haben die Strategien 3) und 4) eine einfache geschlossene Form, die keine numerische Optimierung ihrer Parameter erfordert?

Bearbeiten: Ich konnte ein geschlossenes Formular für 3 finden)

Die optimale Apoapsis ist

A ( a ) = max ( 1 , Sünde ⁡ ( a / 2 ) 1 − 2 Sünde ⁡ ( a / 2 ) )

Was nachgibt

Δ v 3 ( a ) = 2 ( 2 − 2 1 + A ( a ) − 1 ) + 2 Sünde ⁡ ( a / 2 ) 2 A ( a ) − 2 1 + A ( a )

Keine wirklichen Informationen, aber wenn die Aufteilung der Neigungsänderung auf die anfängliche und die letzte Verbrennung eine Verbesserung darstellt, würde ich den Fall mehrerer Neigungsänderungen während des Kurses prüfen, nur um zu sehen, ob es dort einen weiteren Gewinn zu erzielen gibt. Solange Sie da drin sind und Dinge planen, könnte es auch interessant sein, sich die Zeit anzusehen, die von jeder dieser Strategien benötigt wird.
Ich kann keinen Fall finden, in dem Verbrennungen während des Kurses die Kosten senken würden, aber sie sind schwierig zu handhaben, da sie außerhalb der Knotenausrichtung liegen. Die Transferzeit ist relativ einfach. 1) ist der momentane Fall und 2) geht gegen unendlich (und tendiert gegen 3) für realistische Fälle). Sowohl 3) als auch 4) sind nur eine einzige elliptische Umlaufbahn. 4) ist schneller als 3) für den größten Teil ihres relevanten Bereichs.
Ich glaube, ich habe eine geschlossene Form für die optimale Apoapsis für 3) finden können. Werde es bearbeiten.

Antworten (1)

Ich werde mein derzeit Bestes geben, um dieses Problem zu lösen, und andere sollten sich frei fühlen, das Argument mit zusätzlicher Mathematik zu verstärken. (Oder Löcher stechen!)

Sie stellen zwei Fragen, ich werde die erste beantworten, da die zweite durch das Update teilweise beantwortet wurde.

Gibt es andere Neigungsänderungsstrategien, die für einige Werte effizienter sind? a ?

Ich sage nein, dass Sie tatsächlich die optimale Lösung gefunden haben. Jede Neigungsänderung (oder jede Bahnänderung für diese Angelegenheit) ist einfach eine Änderung des Drehimpulses L → der Umlaufbahn. Für eine strenge Neigungsänderung beträgt die Größe von L → konstant ist, ändert sich nur die Richtung.

Um nun die Neigungsänderung zu erreichen, können wir uns jede Verbrennung als eine über die Zeit integrierte Änderung des Drehimpulses vorstellen:

Δ L → = ∫ D v ( T ) → D T × R ( T ) → D T
aber im Fall von Impulsverbrennungen ist es die Summe diskreter Komponenten
Δ L → = ∑ Δ v ( T ) → × R ( T ) →
Wo T muss keine Zeit in der zweiten Gleichung sein, sondern nur ein Parameter, der anzeigt, dass eine solche Verbrennung bei dem angegebenen Radius auftritt.

Ihre Gleichungen sind einfach explizite Versionen der zweiten Gleichung. Dann bleibt nur abzuwarten, ob noch weitere Optimierungen möglich sind. Da Sie die Verbrennungen durch Vergrößerung, Neigungsänderung und Verkleinerung (ist das überhaupt ein Wort?) optimiert haben, müssen wir nur prüfen, ob Verbrennungen während des Verlaufs die Gesamtzahl verringern Δ v verbraucht.

Mein Argument ist nein. Solche Verbrennungen wären, wie Sie erwähnt haben, außerhalb der Achse. Mathematisch würden sie Komponenten einführen L → das nirgendwo anders entfernt werden kann als auf der genau gegenüberliegenden Seite der Verbrennung (im Fall von 2 Verbrennungen in der Mitte) oder weitere Verbrennungen in der Mitte hinzufügen, um die unerwünschten Komponenten zu fixieren L → . Ich bin sicher, dass jemand einen besseren Weg finden wird, dies mathematisch zu zeigen, aber die Intuition ist, dass die Knoten um die Umlaufbahn gedreht und nicht in der Größe reduziert werden. Das ist nur Verschwendung Δ v .

Denn warum werden diese Verbrennungen immer mehr beitragen Δ v als sie entfernen, würde ich den Oberth-Effekt postulieren. Solche Verbrennungen während des Kurses würden dort auftreten, wo die Δ v hat weniger Einfluss auf den Radius der Umlaufbahn als an der Periapsis (an der wir bereits gebrannt haben!). Ich habe bereits erwähnt, dass Verbrennungen während des Verlaufs unerwünschte Komponenten haben, aber sie können auch wünschenswerte Komponenten haben. Ich behaupte, dass diese wünschenswerten Komponenten (radial, prograd) aufgrund des Oberth-Effekts bei der anfänglichen Periapsis-Verbrennung besser erreicht werden.

Die Schlussfolgerung ist daher, dass Sie das Problem für die 2-Körper-Impulsverbrennungssituation optimiert haben. Da jedes Brennen notwendigerweise eine endliche Zeit dauern muss, bin ich sicher, dass es viele andere Optimierungsparameter gibt, die für ein Brennen mit endlicher Zeit berücksichtigt werden müssen. Aber das Wesentliche ist das gleiche, eine Neigungsänderung von 3 Brennen ist immer optimal.

Ich habe ein sehr schwammiges Argument ohne zu viel solide Mathematik präsentiert, aber ich hoffe, dass dies den Rahmen dafür schafft, dass jemand die Mathematik in einer überzeugenden und kugelsicheren Form herausarbeitet.

Das ist tatsächlich größtenteils Intuition. Betrachten Sie für einige exotische Fälle innerhalb dieser angenommenen Einschränkungen zum Beispiel a) einen Transfer mit fünf Verbrennungen, mit einer anfänglichen Apoapsis-Anhebung, einer Periapsis-Absenkung, einer zweiten Apoapsis-Anhebung, einem Ebenenwechsel und schließlich der retrograden Verbrennung. Ein solches Schema ist bei planaren Übertragungen nicht vorteilhaft, aber wer weiß, wann die Neigung über all diese Verbrennungen verteilt ist? Zweitens, b) was ist mit dem Fall, wo prograd und retrograd β Winkel sind unsymmetrisch? Meine Intuition sagt in beiden Fällen nein, aber das beweist nichts.
Ich denke, eine 3-Brenner-Lösung ist in vielen Fällen wahrscheinlich optimal, aber ich denke, es besteht eine eindeutige Möglichkeit, dass etwas, das einer bielliptischen Übertragung ähnelt, ein "optimales" Fenster haben könnte. Es können andere glatte Parameter in der Liste fehlen oder die Verwendung eines lokalen, aber nicht globalen Minimums. Interessante Frage. Ich könnte irgendwann einen Stich haben, aber ich vermute, dass es schwierig wäre, etwas als optimal zu beweisen.
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