Welche Einschränkungen gibt es bei der Verwendung dieses "Tricks", um Höhenänderungen (über ihre Geschwindigkeit) quantitativ mit den angewandten Kräften in Beziehung zu setzen, die sie verursachen?

Question

Welche Einschränkungen gibt es bei der Verwendung dieses "Tricks", um Höhenänderungen (über ihre Geschwindigkeit) quantitativ mit den angewandten Kräften in Beziehung zu setzen, die sie verursachen?

äh

In diesem Kommentar habe ich einen "Trick" verwendet, um eine Berechnung im darüber stehenden Post zu überprüfen.

Unter Verwendung der Vis-Viva-Gleichung habe ich zunächst festgestellt, dass die ISS, wenn sie in 86400 Sekunden 10 Meter an Höhe verliert, in diesem Zeitraum 5,68 mm/s an Umlaufgeschwindigkeit gewinnen würde.

Aber dann behandelte ich das Verhältnis dieser beiden Zahlen, als wäre es eine Beschleunigung, und setzte dieses Verhältnis dann gleich $F/m$ :

\frac{Δ v_{Kugel}}{Δ T} = \frac{F_{retro}}{M}

$\frac{\Delta v_{\text{orb}}}{\Delta t} = \frac{F_{\text{retro}}}{m}$

Wo $F_{\text{retro}}$ ist jede durchschnittliche rückläufige Kraft, die diesen Höhenverlust verursacht hätte (in diesem Fall Luftwiderstand), $\Delta v_{\text{orb}}$ ist die Änderung (Zunahme) der Umlaufgeschwindigkeit und $m$ ist die Masse der ISS.

Wenn Sie prograde Kraft haben, werden Sie die Umlaufbahn anheben und $\Delta v_{\text{orb}}$ wird negativ sein.

Ich habe diesen "Trick" vor einiger Zeit gelernt, wahrscheinlich aus einer @MarkAdler-Antwort, und für nahezu kreisförmige Umlaufbahnen und kleine oder langsame Geschwindigkeitsänderungen funktioniert er tendenziell gut.

Frage: Wo liegen die Grenzen dieses „Tricks“? Kann es auf elliptische Bahnen in irgendeiner Weise erweitert werden? Kann es mit großen Impulsen verwendet werden? Kann es mit langsamen Spiralen verwendet werden, die in Sonnensegel- oder Elektroantriebsberechnungen zu sehen sind? Wird es in anderen Universen funktionieren?

Benutzer39728

Sie haben also eine kreisförmige Umlaufbahn angenommen und das zweite Newtonsche Gesetz verwendet, um die Nettokraft abzuschätzen, die die durch vis-viva gegebene Verzögerung erzeugt hätte? Wenn die Ellipse nahezu kreisförmig ist, kann ich mir nicht vorstellen, dass der Fehler signifikant ist, und selbst wenn dies der Fall wäre, könnten Sie wahrscheinlich immer noch eine nützliche Größenordnungszahl erhalten, wie es scheint?

Benutzer39728

Aber es scheint, dass der einzige Unterschied in der Widerstandskraft von einem Unterschied in Geschwindigkeit und Luftdichte herrührt. Wenn die Umlaufbahn nicht stark elliptisch ist, scheint die Änderung der Luftdichte (eine Funktion der Höhe) gering zu sein. Und während die momentane Geschwindigkeit variieren würde, ist es auf langen Zeitskalen die durchschnittliche Geschwindigkeit, die zählt. Wäre diese Durchschnittsgeschwindigkeit nicht dieselbe wie bei einer kreisförmigen Umlaufbahn mit einem Radius gleich Ihrer großen Halbachse? Ich vergesse. Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Fehler für nur leicht elliptische Umlaufbahnen wie die der ISS sehr groß ist.

äh

@ user39728 Ja, es funktioniert genau in dem sehr spezifischen und eingeschränkten Beispiel, auf das ich verlinkt habe, und ich weiß nicht, wie schnell es zusammenbricht, wenn die Einschränkungen gelockert werden. Eine Antwort wird hoffentlich darauf eingehen, wie schnell und auf welche Weise sich dieser Zusammenbruch auf mathematische Weise entfaltet.

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Welche Einschränkungen gibt es bei der Verwendung dieses "Tricks", um Höhenänderungen (über ihre Geschwindigkeit) quantitativ mit den angewandten Kräften in Beziehung zu setzen, die sie verursachen?

Sie haben also eine kreisförmige Umlaufbahn angenommen und das zweite Newtonsche Gesetz verwendet, um die Nettokraft abzuschätzen, die die durch vis-viva gegebene Verzögerung erzeugt hätte? Wenn die Ellipse nahezu kreisförmig ist, kann ich mir nicht vorstellen, dass der Fehler signifikant ist, und selbst wenn dies der Fall wäre, könnten Sie wahrscheinlich immer noch eine nützliche Größenordnungszahl erhalten, wie es scheint?
Aber es scheint, dass der einzige Unterschied in der Widerstandskraft von einem Unterschied in Geschwindigkeit und Luftdichte herrührt. Wenn die Umlaufbahn nicht stark elliptisch ist, scheint die Änderung der Luftdichte (eine Funktion der Höhe) gering zu sein. Und während die momentane Geschwindigkeit variieren würde, ist es auf langen Zeitskalen die durchschnittliche Geschwindigkeit, die zählt. Wäre diese Durchschnittsgeschwindigkeit nicht dieselbe wie bei einer kreisförmigen Umlaufbahn mit einem Radius gleich Ihrer großen Halbachse? Ich vergesse. Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Fehler für nur leicht elliptische Umlaufbahnen wie die der ISS sehr groß ist.
@ user39728 Ja, es funktioniert genau in dem sehr spezifischen und eingeschränkten Beispiel, auf das ich verlinkt habe, und ich weiß nicht, wie schnell es zusammenbricht, wenn die Einschränkungen gelockert werden. Eine Antwort wird hoffentlich darauf eingehen, wie schnell und auf welche Weise sich dieser Zusammenbruch auf mathematische Weise entfaltet.

asdfex · Answer 1

TL;DR Es funktioniert für eine sehr große Anzahl von Umlaufbahnänderungen

Lassen Sie uns zuerst Ihre Gleichung nehmen und sie neu anordnen, um unbequeme Werte wie Kraft, Zeit und Masse loszuwerden.

\frac{Δ v_{Kugel}}{Δ T} = \frac{F_{retro}}{M}

$\frac{\Delta v_{\text{orb}}}{\Delta t} = \frac{F_{\text{retro}}}{m}$

Δ v_{Kugel} = \frac{F_{retro} Δ T}{M} = - Δ v_{Manöver}

$\Delta v_{\text{orb}} = \frac{F_{\text{retro}} \Delta t}{m} = - \Delta v_{\text{maneuver}}$

$\frac{F\cdot t}{m}$ ist nichts anderes als eine Geschwindigkeitsänderung, diesmal durch das Abfeuern einiger Raketen. Sie behaupten also, dass die Änderung der Orbitalgeschwindigkeit dieselbe Größe hat wie die für den Orbitaltransfer erforderliche Geschwindigkeitsänderung, nur mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Nehmen wir an, der Transfer erfolgt mit einem Hohmann-Transfer - für kleine Änderungen in der Umlaufbahn sollte dies nahezu optimal sein und einem Manöver mit niedrigem Schub sehr ähnlich sein. Weiterhin nehmen wir zwei Kreisbahnen an.

Die Vis-Viva-Gleichung für Kreisbahnen ist einfach $v = \sqrt{\mu \over r}$ und der Unterschied zwischen zwei Umlaufbahnen ist $\Delta v_O = \sqrt{\mu \over r_2} - \sqrt{\mu \over r_1}$

Die Summe $\Delta v$ einer Hohmann-Überweisung ist gegeben

Δ v_{H} = \sqrt{\frac{μ}{R_{1}}} (\sqrt{\frac{2 R_{2}}{R_{1} + R_{2}}} - 1) + \sqrt{\frac{μ}{R_{2}}} (1 - \sqrt{\frac{2 R_{1}}{R_{1} + R_{2}}})

$\Delta v_H = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} \left( \sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right)+ \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} \left(1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\right)$

Wenn wir das umstellen:

Δ v_{H} = - \sqrt{\frac{μ}{R_{1}}} + \sqrt{\frac{2 μ R_{2}}{R_{1}^{2} + R_{1} R_{2}}} + \sqrt{\frac{μ}{R_{2}}} - \sqrt{\frac{2 μ R_{1}}{R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}}}

$\Delta v_H = -\sqrt{\frac{\mu}{r_1}} + \sqrt{\frac{2 \mu r_2}{r_1^2+r_1r_2}} + \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} - \sqrt{\frac{2\mu r_1}{r_2^2+r_1r_2}}$

Der erste und der dritte Begriff zusammen sind gleich $\Delta v_O$ !

Δ v_{H} = Δ v_{Ö} + \sqrt{\frac{2 μ R_{2}}{R_{1}^{2} + R_{1} R_{2}}} - \sqrt{\frac{2 μ R_{1}}{R_{2}^{2} + R_{1} R_{2}}}

$\Delta v_H = \Delta v_O + \sqrt{\frac{2 \mu r_2}{r_1^2+r_1r_2}} - \sqrt{\frac{2\mu r_1}{r_2^2+r_1r_2}}$

Der Unterschied der beiden zusätzlichen Terme ist für kleine Änderungen des Bahnradius sehr klein, aber wie klein? Nehmen wir eine anfängliche Umlaufbahn mit an $r = 6700~\text {km}$ :

Tatsächlich ist der Unterschied so gering, dass es in diesem Diagramm kein einziges violettes Pixel gibt. Lassen Sie uns das Verhältnis überprüfen:

Tatsächlich müssen wir zwischen einer Umlaufbahn von 300 km und einer Umlaufbahn von 3000 km wechseln, um einen Fehler in der Größenordnung von 1 % zu erreichen!

Welche Einschränkungen gibt es bei der Verwendung dieses "Tricks", um Höhenänderungen (über ihre Geschwindigkeit) quantitativ mit den angewandten Kräften in Beziehung zu setzen, die sie verursachen?

äh

Benutzer39728

Benutzer39728

äh

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asdfex

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