Delta-V-Diagramm-Mathematik

Dies ist eine große Frage, aber wir können sie sicherlich auf den Punkt bringen. Sie benötigen mehrere Ebenen des erforderlichen Wissens. Ich werde es wie folgt aufschlüsseln:

1. Relevanz von Delta v für das Treibstoffbudget
2. Umrechnung zwischen Gravitationspotential und der entsprechenden Geschwindigkeit
3. Die grundlegende Physik von Hohmann überträgt
4. Nicht ideale Faktoren, die von der Oberfläche in die Umlaufbahn gehen

Nicht alle davon sind vollständig notwendig, daher werden andere Leute einen anderen Weg einschlagen, um es zu erklären. Diese Abfolge von Punkten spiegelt nur meine eigene Intuition wider.

Treibendes Budget

Die Idee einer Delta-v-Karte wäre nutzlos, wenn sie nicht additiv wäre. Denk darüber nach. Das ist der ganze Sinn einer Karte. Wenn ich keine Segmente hinzufügen kann, um die Gesamtentfernung zu berechnen, dann ist es keine "Karte". Aber es gibt eine interessante Kritik an diesem Punkt - dass die "Entfernung" auf dieser Karte nicht linear mit dem benötigten Kraftstoff skaliert.

Wir neigen dazu, den Kraftstoffverbrauch proportional zur zurückgelegten Strecke zu betrachten. Aber das ist eigentlich falsch. Wenn Ihr Benzintank voll ist, entsteht mehr Rollreibung mit der Straße, sodass Ihr Auto mit einem fast leeren Benzintank effizienter ist. Sie und ich vernachlässigen dies, weil unser Energiebudget klein ist im Vergleich zum Gewicht des Autos in Benzin. In der Raketentechnik ist es extrem wichtig. ABER die Berechnung für das Delta-v ist immer noch linear. Auf diese Weise ist es eine starke mathematische Analogie zur Entfernung, die mit dem Auto zurückgelegt wird.

Raketengleichung:

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}$$

In den Delta-V-Karten zählen Sie$\Delta v$, und sie addieren getreu linear.

Gravitationspotential

Aus der Physik sollte Ihnen der Begriff „Potenzial“ bekannt sein$GM/r$. Dies hat Einheiten von$m^2/s^2$. In dieser Form können Sie Energiebilanz anwenden. Wenn Sie an Energieerhaltung denken, die sich in einer Gleichung manifestiert, teilen Sie diese Gleichung durch die Masse Ihrer Testmasse. Dies ist dann die maßgebliche Energiebilanz in einem stationären Bezugssystem.

Wenn wir einen perfekten Referenzrahmen hätten, dann würden wir alle Energiebilanzgleichungen mit dem obigen naiven Gravitationspotential anwenden. Mit anderen Worten, diese Menge wäre additiv. Aber das liegt nicht daran, dass uns das Referenzsystem der Rakete viel mehr interessiert als das der Erde oder der Sonne.

Im Rahmen der Rakete Einheiten von$m/s$machen viel mehr Sinn. Betrachten Sie die Situation:

Eine Rakete ruht relativ zur Erde in der oberen Atmosphäre. Es feuert seine Raketen auf den Erdmittelpunkt ab, die Verbrennung endet schnell und verleiht gerade genug Schwung, um gut aus der Schwerkraft der Erde herauszukommen.

Für diesen Fall ist das Problem relativ einfach zu beantworten.

Energieausgleich:

$$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{GM_E m}{R_E+(200 km)}$$

dividiere durch m.

$$\frac{1}{2} v^2 = \frac{GM_E }{R_E+(200 km)}$$

Hier ist die eigentliche Berechnung

$$\Delta v = \sqrt{\frac{2 GM_E}{R_E+(200 km)}} = 10,925 \frac{m}{s}$$

Das ist eine Fluchtgeschwindigkeitsberechnung , und es ist ein sehr einfaches Beispiel für ein Delta-v-Segment.

Hohmann wechselt

Im wirklichen Leben müssen wir natürlich den effizientesten Weg einschlagen. Es sieht aus wie das:

1. Sie starten in einer Kreisbahn
2. Sie brennen darauf, in eine elliptische Transferbahn zu gelangen
3. Sobald Sie die gewünschte Umlaufbahn erreicht haben, brennen Sie erneut, um Ihren Pfad kreisförmig zu machen

Es macht nie Sinn, "auf dem Weg anzuhalten", und dies wird Sie immer mehr Treibstoff kosten. Das mag Ihnen angesichts des Diagramms mit vielen Haltepunkten etwas verwirrend erscheinen. Aber das sind im Grunde genommen Umlaufbahnen, wie im obigen Diagramm, und bewegen sich dann von einer Skala zur anderen.

Da ein Hohlmann-Transfer zwei Verbrennungen hat, müssen Sie Ausdrücke für das Delta v verwenden. Hier sind sie mit der Notation konsistent mit dem obigen Bild.

$$\Delta v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \left( \sqrt{\frac{2 R'}{R+R'}} - 1 \right),$$

$$\Delta v' = \sqrt{\frac{GM}{R'}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 R}{R+R'}}\,\! \right) ,$$

Diese machen einen großen Teil der Zahlen aus, die Sie im Bild sehen. Diese addieren sich, um die ultimative Anforderung an Ihre Raketentechnik zu erhalten, daher ist es sinnvoll, sie in eine "Karte" aufzunehmen. Um die Umlaufbahn von LEO auf GEO zu erhöhen, könnten Sie beispielsweise 3 Punkte und zwei Segmente haben, wobei der erste Punkt LEO ist, der zweite die Transferbahn und der dritte GEO. Ich denke, sie haben das nicht auf die Karte gesetzt (obwohl sie es hätten tun können), weil sich niemand zu sehr um die LEO-zu-GEO-Transferbahn kümmert.

Nicht ideale Faktoren

Der Übergang von der Erdoberfläche in eine erdnahe Umlaufbahn umfasst weitere Faktoren:

• Schwerkraft
• Luftwiderstand
• einige zusätzliche minimale Höhenzunahmen, um einen schnellen Zerfall der Umlaufbahn zu vermeiden

Diese erklären, warum die Fahrt zu LEO etwa 10 km/s beträgt, anstatt der wörtlichen Geschwindigkeit von LEO, die eher bei 7,9 km/s liegt. Der Schwerkraftwiderstand und die Erhöhung der Höhe tragen jeweils in der Größenordnung von 1 km / s bei, sodass die endgültige Antwort nicht überraschend ist. Nicht alle Körper haben diese gleichen Faktoren. Dies ist nur ein Beispiel für besondere Überlegungen zu dieser Karte.

Mir ist auch klar, dass diese Antwort nicht umfassend ist. Es erklärt vielleicht die Hälfte des Diagramms.

Ich habe einige Zahlen zusammengetragen und mit der Antwort von @AlanSE denke ich, dass ich auf dem richtigen Weg bin. Ich nehme das Beispiel einer Delta-V-Kartenberechnung für den Start einer Rakete zu LEO, gefolgt von einem Hohmann-Transfer zum Mond. Korrigiert mich, wenn ich falsch liege:

Wir haben diese Gleichung für das Delta-V, das erforderlich ist, um abzuheben und eine Höhe von 200 km zu erreichen:

$$\begin{align} \Delta v_{0} & = \sqrt{\frac{\mu}{R}} \\ & = \sqrt{\frac{6.673\times 10^{-11} * 5.97219 \times 10^{24}}{6371000}} \\ & = 7909.034~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\begin{align} v & = \sqrt{2 * Gh} \\ & = \sqrt{ 2 * 9.8 * 200000 } \\ & = 1979.899~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\text{Where } \mu = GR_{earth}$$

Wir haben also ~9888,9 m/s Δv, um 200 km über dem Boden zu erreichen.

Hohmann-Transfer zum Mond

$$\begin{align} r_{1} & = 6571000~\text{m}~\text{(Earth radius plus 200km)} \\ r_{2} & = 362600000~\text{m}~\text{(Moon average position at perigee)} \\ \end{align}$$
$$\begin{align} \mu_{earth} & = 3.98524 \times 10^{14}~\text{m}^3/\text{s}^2 \\ \mu_{moon} & = 4.903120210000 \times 10^{12}~\text{m}^3/\text{s}^2 \end{align}$$
$$\begin{align} \Delta v_{1} & = \sqrt{\frac{\mu}{r_{1}}} * \left(\sqrt{ \frac{2*r_{2}}{r_{1}+r_{2}} } - 1\right) \\ & = 3127.331~\text{m}/\text{s} \end{align}$$
$$\begin{align} \Delta v_{2} & = \sqrt{\frac{\mu}{r_{2}}} * \left(1 - \sqrt{ \frac{2*r_{1}}{r_{1}+r_{2}} }\right) \\ & = 94.345~\text{m/s} \end{align}$$

Die meisten dieser Delta-V-Karten basieren auf Hohmann-Bahnen und gepatchten Kegelschnitten.

Ich werde das Beispiel einer Erde zu Mars Hohmann verwenden:

Die Erde bewegt sich mit 30 km / s, die Transferbahn am Perihel bewegt sich mit 33 km / s, also 3 km / s, um den Geschwindigkeiten zu entsprechen.

Die Transferrate am Aphel beträgt 21,5 km/s und am Mars 24 km/s. Also 2,5 km/s, um den Geschwindigkeiten zu entsprechen.

Woher kommen also die 33, 30, 21,5 und 24?

Die vis viva-Gleichung .

$V=\sqrt{\mu_{sun}(2/r - 1/a)}$

$\mu_{sun}$= Gravitationskonstante * Masse der Sonne

a = große Halbachse der Ellipse

r = Abstand von der Sonne

Im Fall einer kreisförmigen Umlaufbahn ist der Radius der kreisförmigen Umlaufbahn der gleiche wie die große Halbachse, also r = a. Das Einsetzen von r für a reduziert die vis viva-Gleichung auf:

$V=\sqrt{\mu_{sun}/r}$

Die Geschwindigkeit einer Kreisbahn.

Für die Erdumlaufbahn r = ~150.000.000 Kilometer. Für die Marsumlaufbahn r = ~225.000.000 Kilometer

Für die Transferbahn a = (150.000.000 + 225.000.000)/2 Kilometer.

Am Perihel der Transferbahn r = 150.000.000 Am Aphel der Transferbahn r = 225.000.000

Wenn Sie diese Zahlen in die vis viva einfügen, sollten Sie Zahlen in der Nähe von 33 km/s, 30 km/s, 21,5 km/s und 24 km/s erhalten.

Ich habe der Einfachheit halber viel gerundet und auch die Umlaufbahnen von Erde und Mars sind nicht perfekt kreisförmig und koplanar. Das kreisförmige, koplanare Modell ist nicht exakt, aber es kann Ihnen Anhaltspunkte geben.

Sobald sie sich im Einflussbereich eines Planeten befinden, werden die Pfade nicht mehr gut als Ellipsen um die Sonne modelliert, sondern als Hyperbeln um einen Planeten.

Geschwindigkeit einer Hyperbel:

$V=\sqrt{V_{inf}^2+V_{esc}^2}$

Erinnert Sie das nicht an den Satz des Pythagoras? Ich verwende dieses Speichergerät, um mich an die Geschwindigkeit einer Hyperbel zu erinnern:

Was ist$V_{inf}$? Bei Erdabgang sind es 3 km/s. (Erinnern Sie sich an die Perihelgeschwindigkeit des Transfers von 33 km/s und die der Erde von 30 km/s?)

Was ist$V_{esc}$? Fluchtgeschwindigkeit in der Nachbarschaft der Erde ist

$V_{esc} = \sqrt{2\mu_{earth}/r}$

Eine Möglichkeit, sich eine parabolische Fluchtbahn vorzustellen, ist eine Ellipse mit unendlicher großer Halbachse. In diesem Fall wäre 1/a Null. Die vis viva-Gleichung würde sich also auf die obige Vesc-Gleichung reduzieren.

$\mu_{earth}$= Gravitationskonstante * Masse der Erde.

Sie werden vielleicht bemerken, dass die Fluchtgeschwindigkeit die Kreisgeschwindigkeit mal das Quadrat von zwei ist.

Für unser Beispiel setzen wir r auf 300 km über der Erdoberfläche. r = 6678 km.

Wenn Sie dieses r in die obige Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit einsetzen, sollten Sie etwa 10,9 km / s erhalten.

So ist die Hyperbel für Trans Mars Insertion (TMI).$\sqrt{10.9^2+3^2}$was 11,3 km/s entspricht.

Bei r = 6678 km hat eine niedrige, kreisförmige Erdumlaufbahn eine Geschwindigkeit von 7,7 km/s.

11,3 - 7,7 = 3,6. Also 3,6 km/s für TMI.

Bei der Ankunft auf dem Mars würden Sie einen ähnlichen Prozess verwenden. Aber$\mu_{Mars}$wäre Gravitationskonstante mal Masse von Mras. Vinf wäre 2,5 km/s.

Ich habe eine Hohmann-Tabelle erstellt , die die von mir angegebenen Gleichungen verwendet. Es kann Ihnen Delta Vs für verschiedene Szenarien geben. Es ist interessant, die Apoapsis und Periapsis von Parkbahnen um einen Planeten zu ändern.

Ich habe dieselbe Tabelle verwendet, um die meisten Zahlen zu berechnen, die meine eigene Delta-V-Karte sind .

Mit Google oder Wikipedia ist es einfach, Planetenradien, Bahnradien und Massen für verschiedene Körper zu finden.

Wenn Sie sich an die vis viva-Gleichung sowie an das pythagoreische Gedächtnisgerät für hyperbolische Bahnen erinnern, ist es nicht schwer, Kegelschnitte zu patchen.