Berechnen von dV zum Anheben der Apoapsis an einem beliebigen Punkt einer Umlaufbahn

Question

Berechnen von dV zum Anheben der Apoapsis an einem beliebigen Punkt einer Umlaufbahn

Taub

Dies ähnelt einem anderen StackExchange-Beitrag (bis hin zu den Erwähnungen des Kerbal Space Program), jedoch mit einem anderen Ansatz. Die Frage, die ich zu lösen versuche, lautet also:

Gegebene aktuelle Orbitalzustandsvektoren für Position ( $\overrightarrow{r}$ ) und Geschwindigkeit ( $\overrightarrow{v}$ ) (und man kann davon ausgehen, dass alle Keplerschen Elemente der aktuellen Umlaufbahn ebenfalls bekannt sind), versuche ich, die zu bestimmen $\Delta v$ erforderlich, um eine Zielapoapsis zu erreichen $R_{a}$ . Die Lage in der Umlaufbahn ist beliebig; es könnte nicht bei Apoapsis oder Periapsis sein; damit die angestrebte große Halbachse $a$ und Exzentrizität $e$ sind nicht bekannt und die Verwendung der Vis-viva-Gleichung für die angestrebte große Halbachse ist keine Option für sich.

In meinem speziellen Fall habe ich eine Einschränkung hinzugefügt, die die Richtung von $\overrightarrow{v}$ wird sich nicht ändern – nur seine Größe. Mit anderen Worten, die resultierende Verbrennung erfolgt entlang des prograden / retrograden Vektors, und ich versuche im Wesentlichen nur, die Größe dieses Vektors zu bestimmen.

Meine Idee war, einen kleinen Teil der Formeln für die programmatische Berechnung von Orbitalelementen unter Verwendung von Positions-/Geschwindigkeitsvektoren in umgekehrter Richtung zu verwenden – nämlich diejenigen, die Exzentrizität und große Halbachse beinhalten – und dann die resultierende Gleichung für die Größe von zu lösen $\overrightarrow{v}$ . Dazu habe ich ersetzt $\overrightarrow{v}$ mit $\overrightarrow{d}m$ , wo $d$ der normierte aktuelle Geschwindigkeitsvektor und m seine Größe ist. Die resultierende Formel sieht nach einiger Vereinfachung so aus:

R_{a} = \frac{μ + 1 + | (m - g) \vec{r} - \vec{d} (\vec{r} \cdot \vec{d}) m |}{2 g - m}

$R_{a} = \frac{\mu + 1+|(m-g)\overrightarrow{r} - \overrightarrow{d}(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{d})m|}{2g-m}$ wo

m

$m$ ist die Größenordnung von

\vec{v}

$\overrightarrow{v}$ quadriert und

g = \frac{μ}{| \vec{r} |}

$g = \frac{\mu}{|\overrightarrow{r}|}$ . Diese Definition von

g

$g$ ist technisch falsch, funktioniert aber für diese Gleichung – mehr dazu gleich.

Diese Gleichung gibt mir eine Formel, die meine aktuelle Apoapsis korrekt bestimmt, wenn ich die anderen Parameter hinzufüge. Ich konnte jedoch nicht herausfinden, wie ich es lösen könnte $m$ allein ... also habe ich Wolfram Alpha gefragt , was mir Folgendes gibt:

m = \frac{2 a g + g r - μ - 1}{a - d r \cdot r + r}

$m = \frac{2ag+gr-\mu-1}{a-dr\cdot r + r}$ oder

m = \frac{2 a g - g r - μ - 1}{a + d r \cdot r + r}

$m = \frac{2ag-gr-\mu-1}{a+dr\cdot r + r}$ (Ich konnte keinen Weg finden, es davon zu überzeugen

d

$d$ und

r

$r$ waren Vektoren; daher werden sie hier nicht als solche dargestellt.

r

$r$ ist

R_{a}

$R_{a}$ ).

Das Einsetzen der Zahlen in diese Formel führte jedoch zu falschen Ergebnissen. Aber!

Ich habe das gefunden, wenn ich die "richtige" Formel für verwendet habe $g$ ( $g = \frac{\mu/}{|\overrightarrow{r}|^2}$ ), würde es bei anderen bekannten Variablen völlig falsche Werte für die Apoapsis ergeben ... aber das Einstecken dieser "falschen" Apoapsis in die andere Formel ergab den richtigen Wert für $m$ für die 'richtige' Apoapsis. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich diese Tatsache ausnutzen soll – und ich weiß nicht, wo ich von hier aus weitermachen soll, nachdem ich mehrere Tage daran herumgestochert habe.

Also ein paar Fragen:

Was fehlt mir hier?
Gibt es eine andere Methode, um dies zu lösen, die ich nicht vermisse? Ich habe über etwas nachgedacht, das die Erhaltung des Drehimpulses beinhaltet, stieß aber auf dasselbe Problem, bei dem die Formeln, die ich finden konnte, die Kenntnis des Werts der großen Halbachse erfordern.

SF.

Ich analysiere jetzt nicht Ihre Mathematik (mit anderen Dingen beschäftigt), aber haben Sie berücksichtigt, dass sich die Apoapsis "seitwärts" bewegt, wenn die Verbrennung nicht an der Periapsis liegt? Sie skalieren zB original

\vec{R_{a}} \cdot k

$\overrightarrow{R_a} \cdot k$ (k = irgendein Skalierungsfaktor), statt der neuen Apoapsis bei einer ganz anderen

\vec{R}

$\overrightarrow R$ ?

Taub

@SF

R_{a}

$R_{a}$ ist ein Skalar, kein Vektor. Eine Formel zum Verschieben von Apoapsis an einen festgelegten Ort in kartesischen Koordinaten ist wahrscheinlich eine viel kompliziertere Frage (und eine, die angesichts der zusätzlichen erwähnten Einschränkungen wahrscheinlich überhaupt keine Lösung hat).

Antworten (1)

Berechnen von dV zum Anheben der Apoapsis an einem beliebigen Punkt einer Umlaufbahn

Ich analysiere jetzt nicht Ihre Mathematik (mit anderen Dingen beschäftigt), aber haben Sie berücksichtigt, dass sich die Apoapsis "seitwärts" bewegt, wenn die Verbrennung nicht an der Periapsis liegt? Sie skalieren zB original $\overrightarrow{R_a} \cdot k$ (k = irgendein Skalierungsfaktor), statt der neuen Apoapsis bei einer ganz anderen $\overrightarrow R$ ?
@SF $R_{a}$ ist ein Skalar, kein Vektor. Eine Formel zum Verschieben von Apoapsis an einen festgelegten Ort in kartesischen Koordinaten ist wahrscheinlich eine viel kompliziertere Frage (und eine, die angesichts der zusätzlichen erwähnten Einschränkungen wahrscheinlich überhaupt keine Lösung hat).

Markus Adler · Answer 1

Wir haben die spezifische Energie und den spezifischen Drehimpuls:

E = - \frac{μ}{2 a} = \frac{v^{2}}{2} - \frac{μ}{r}

$\mathcal{E}=-{\mu\over 2a}={v^2\over 2}-{\mu\over r}$

M^{2} = μ a (1 - e^{2}) = r^{2} v^{2} \cos^{2} γ

$\mathcal{M}^2=\mu a\left(1-e^2\right)=r^2 v^2\cos^2\gamma$

wo $\mu$ ist der $GM$ des Zentralorgans, $v$ und $r$ sind die Beträge der jeweiligen Vektoren und $\gamma$ ist der Flugbahnwinkel.

Du kannst bekommen $\cos\gamma$ gegeben $\vec{r}$ und deine Initiale $\vec{v_i}$ direkt aus der Definition des Drehimpulses – ein Vektor ohne Pfeil ist seine Größe (wir brauchen uns keine Gedanken über das Vorzeichen von zu machen $\gamma$ hier):

\cos γ = \frac{| \vec{r} \times \vec{v_{ich}} |}{r v_{ich}}

$\cos\gamma={\left|\vec{r}\times\vec{v_i}\right|\over r\,v_i}$

Wir nennen die gewünschte finale Apoapsis $z$ , welches ist:

z = a (1 + e)

$z=a\left(1+e\right)$

Der Schlüssel ist, dass Ihre Position und Ihr Flugbahnwinkel vor und nach einem sofortigen Manöver in Richtung der Geschwindigkeit unverändert bleiben. Sie können dann nach der endgültigen Geschwindigkeitsgröße als Funktion der endgültigen Apoapsis am festen Wert auflösen $r$ und $\gamma$ :

v_{f} = \sqrt{\frac{2 μ z (z - r)}{r z^{2} - r^{3} \cos^{2} γ}}

$v_f=\sqrt{2\mu z(z-r)\over r z^2-r^3\cos^2\gamma}$

Die Differenz zwischen dieser und Ihrer anfänglichen Geschwindigkeitsgröße, $v_f-v_i$ , ist dein $\Delta V$ in Geschwindigkeitsrichtung.

Du musst haben $z\ge r$ . Da Umlaufbahnen geschlossen sind, wird es zurückkehren $r$ . Wenn $r$ ist nicht weniger als $z$ , dann $z$ ist nicht die Apoapsis. Wann $z=r$ und $\gamma\ne 0$ , Sie haben einen degenerierten Fall, in dem $v_f=0$ , also fällt der Körper dann in gerader Linie auf den Körpermittelpunkt, mit unendlicher Geschwindigkeit auf den Körper und dann wieder nach oben $r$ . Also wirklich, du solltest es besser haben $z>r$ . Wenn $z=r$ und $\gamma=0$ , dann sind Sie bei Apoapsis oder Periapsis. Wenn Sie bei Apoapsis sind, dann fertig. Nichts tun. Wenn Sie an der Periapsis sind, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Das Minimum $\Delta V$ wäre, die aktuelle Apoapsis auf die aktuelle Periapsis abzusenken, wodurch die Umlaufbahn kreisförmig wird.

Beachten Sie, dass das Manöver im Allgemeinen auch die Periapsis und das Argument der Periapsis ändert. Es gibt keine Garantie dafür, dass sich die neue Periapsis über der Oberfläche oder Atmosphäre des Körpers befindet, seien Sie also vorsichtig.

Betreff: die Einschränkungen zwischen z und r: Erreicht das Auflösen nach z<r lediglich dasselbe, jedoch mit einer Zielperiapsis und nicht mit einer Zielapoapsis? Und so wie ich es verstehe, bedeutet die Art der Verbrennung entlang des fortschreitenden Vektors (ohne normale oder radiale Komponenten), dass eine Erhöhung der Geschwindigkeit die Periapsis nicht senkt - daher ist es nur ein Problem, wenn z > aktuelle Apoapsis. Für den Fall z = r Periapsis sollte es aufgrund der Richtungsbeschränkung nur eine Lösung geben (technisch zwei, wenn die Größe negativ ist).
Drei Kommentare in einem! 1) Nein. Tatsächlich für $r\cos\gamma<z<r$ , das Ergebnis ist imaginär. 2) Ja, die Periapsis sinkt nur, wenn Sie die Geschwindigkeitsgröße verringern. 3) Nein. Für $z=r$ und $\gamma=0$ An der Periapsis der ursprünglichen Umlaufbahn wird dieser Punkt in der Umlaufbahn zur neuen Apoapsis , sodass die gegenüberliegende Apsis auf einen beliebigen Radius kleiner oder gleich geändert werden kann $z$ .
Ich hatte die Gelegenheit, dies in KSP zu testen und kann bestätigen, dass die Formel wie geschrieben funktioniert, aber: 1) Wie sich herausstellt, funktioniert es , die Periapsis anzupassen, wenn z> r: Es gibt keine imaginäre Komponente, da beide Hälften des Bruchs wird negativ sein. (Obwohl ich dies nicht für alle Fälle beweisen kann; der absolute Wert könnte funktionieren). $\gamma = 1$ , nicht 0, bei Apoapsis/Periapsis, $\gamma = 0$ gilt nur auf radialer Flugbahn . 3) Ich verstehe; Denn sobald z die aktuelle Periapsis erreicht, gibt es eine unendliche Anzahl von Größen, bei denen dieser Punkt unter das geht, was jetzt Apoapsis ist.
Nein, $\gamma=0$ bei Periapsis und Apoapsis. Sie müssen verwirrend sein $\gamma$ mit $\cos\gamma$ , wo letzteres tatsächlich ist $1$ bei Periapsis und Apoapsis.
Du meinst wenn $z<r$ . Es ist leicht, Fälle zu finden, in denen das Ergebnis imaginär ist. Ich sagte genau wie. Für diese Fälle führt die Annahme des Absolutwerts dazu, dass weder die Apoapsis noch die Periapsis werden $z$ .
Sie haben in allen Punkten Recht - ich habe Begriffe verwechselt.
Beim Punkt Periapsis lag ich nicht richtig. Diese Formel funktioniert tatsächlich, um auf die Periapsis abzuzielen. Ich dachte, die Formel funktioniert im Allgemeinen nicht, weil ich die Tatsache nicht zu schätzen wusste, dass der Flugbahnwinkel das Erreichen bestimmter Periapsen wirklich verhindert. Eine Umlaufbahn mit einer Periapsis $z$ ist nur erreichbar, wenn $z<r\cos^2\gamma$ . Beachten Sie das Quadrat. Es reicht nicht aus, dass das Ergebnis echt ist, was durch versichert wird $z<r\cos\gamma$ .

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