Was bedeutet der Ausdruck "topologischer Standpunkt" in diesem Zusammenhang, wenn er auf Zweikörperbahnen angewendet wird?

Eine aktuelle Frage enthält die Passage:

Aus topologischer Sicht scheint es wahrscheinlich, dass jeder starre Körper unabhängig von der Massenkonzentration mindestens eine stabile niedrige Umlaufbahn zulassen müsste. Ich bin aber nicht auf die Mathematik eingegangen. Wurde es schon gemacht?

Was bedeutet der Ausdruck „topologischer Standpunkt“, wenn er in diesem Zusammenhang auf Zwei-Körper-Umlaufbahnen angewendet wird, Mond oder auf andere Weise?

Ich weiß, dass topologische Konzepte wie Bifurkation in drei oder mehr Körperumlaufbahnen wichtig sind (z. B. dieses Zeug oder das Bild unten von hier ), aber in diesem Zusammenhang ist es nur ein (vermutlich) masseloser Körper in der Umlaufbahn um einen anderen starren Körper.

CR3BP und Bifukation

Ich denke, die Idee ist, den Raum möglicher Umlaufbahnen zu betrachten und zu zeigen, dass, weil es Umlaufbahnen gibt, die (durch die nicht-kugelförmigen Komponenten der Schwerkraft der zentralen Masse) in eine Richtung gestört werden, und andere Umlaufbahnen in die andere Richtung verlaufen, dann irgendwo darin dazwischen muss es einen geben, der nicht gestört wird. Angesichts der Tatsache, dass es mehrere mögliche unabhängige Formen der Störung gibt, ist dies möglicherweise nicht der Fall, aber die Topologie des Raums aller möglichen Umlaufbahnen wird es Ihnen sagen.
@SteveLinton Können Sie ein Beispiel dafür geben, was ein einfaches Beispiel für einen "Raum möglicher Umlaufbahnen" sein könnte? Ich nehme an, dass eine einfache zentrale Kraft fünf Dimensionen haben könnte, wenn man die Zeit ignoriert. Aber wäre die Anzahl der Dimensionen in diesem „Raum“ für ein komplizierteres Gravitationsfeld überhaupt endlich? Oder ist der Raum eigentlich immer nur ein sechsdimensionaler Zustandsvektor bei t=0 (Ausgangspunkt)?

Antworten (1)

Betrachten Sie zunächst eine große Masse mit kugelförmigem Radius R oder Punkt, am Ursprung. Beachten Sie, dass am Perihel oder Aphel die relative Bewegung eines umlaufenden Objekts tangential zum Massenmittelpunkt ist.

Jede Umlaufbahn mit Abstand A > R vom Ursprung bis Aphel und Entfernung P zum Perihel ist vollständig durch einen Punkt auf der Einheitskugel (entspricht beispielsweise dem Punkt des Perihels) zusammen mit einem Punkt auf dem Einheitskreis (der die Richtung der Tangentenbewegung am Perihel angibt) gekennzeichnet.

Wir können daher über die Menge von nachdenken A , P Umlaufbahnen in Form von Einheitsvektorfeldern auf der Einheits-2-Sphäre. Allgemeiner gesagt, die Menge der Umlaufbahnen mit Energie E und Perihelabstand P wird die gleiche Eigenschaft haben.

Für eine sphärische Zentralmasse sind die beiden vollständig äquivalent. Wenn die zentrale Masse nicht kugelförmig ist, gibt es immer noch eine Oberfläche gleicher Energie S E von Perihelien. S E wird nicht mehr kugelförmig sein, aber (normalerweise?) topologisch dasselbe sein wie eine 2-Kugel.

Wenn S E topologisch kugelförmig ist, dann Vektorfelder auf S E unterliegen einer einfachen topologischen Analyse, einschließlich des berühmten "Igelsatzes", der besagt, dass es keine nicht verschwindenden kontinuierlichen Vektorfelder gibt S E .

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Ich halte es nicht mehr für sinnvoll, in Begriffen von Perihel und Aphel zu denken, da dies von vornherein eine Umlaufbahn voraussetzt. Wir können immer noch in Begriffen von Tangenten an einer Äquipotentialfläche denken, müssen aber den gesamten Bereich der kinetischen Energien (Geschwindigkeiten) berücksichtigen. Wir charakterisieren also eine Reihe von Geodäten durch einen Punkt auf der Kugel plus einen Tangentenvektor und nicht nur durch einen Punkt auf dem Einheitskreis.

Es wäre hilfreich, dies etwas weiter auszubauen. Wie hängt dies mit der Stabilität unter Störungen zusammen?
Vielen Dank für Ihre Antwort, ich werde es in ein paar Stunden gründlich lesen.
@Steve Linton Dies ist eine andere topologische Perspektive als die Stabilität unter Störungen, in der ich andeute, dass es möglicherweise einen einfachen Igel-Theorem-Trick gibt. Wenn Igel nicht funktioniert, scheinen Störungen der vielversprechendste Weg zu sein.
Okay, es ist jetzt länger als ein paar Stunden her, aber ich bin fast da. Ich werde heute Abend mal nachschauen, wenn es ruhiger ist. "Hairy Ball Theorem" ist die Antwort auf meine Frage . Gibt es unbedingt immer mindestens zwei Punkte, an denen das Erdmagnetfeld vertikal ist? und ich vermute, dass das einfach ein kugeliger Igel ist?
Was bedeutet der Ausdruck "topologischer Standpunkt" in diesem Zusammenhang, wenn er auf Zweikörperbahnen angewendet wird?
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