Helfen Sie mit, den Divergenzsatz in Bezug auf das Gaußsche Gesetz zu verstehen

Sie missverstehen die Definition der Wörter „Quelle“ und „Senke“. Eine "Quelle" oder "Senke" eines Vektorfelds${\bf F}({\bf x})$ist ein Punkt${\bf x}$Wo${\bf \nabla} \cdot {\bf F} > 0$oder${\bf \nabla} \cdot {\bf F} < 0$In Ihrem Beispiel ist also jeder Punkt eine Quelle. Das Vektorfeld muss an einer Quelle oder Senke nicht radial oder divergierend sein.

In der Elektrostatik erzeugen Punktteilchen an ihrem Ort radiale und divergierende elektrische Felder, aber kontinuierliche Verteilungen elektrischer Ladung erzeugen glatte und nicht unbedingt radiale elektrische Felder mit einer Divergenz ungleich Null.

Ich sehe, mein Kommentar wiederholt nur, was bereits gesagt wurde. Ich werde es explizit ausarbeiten.

Betrachten Sie eine Punktladung am Ursprung. Das Feld von dieser Punktladung ist gleich$\vec E = \hat r / r^2$. An einem Punkt$x=0,y=0,z=R$, das elektrische Feld ist gleich$\vec E = \hat z / R^2$.

Betrachten Sie nun einen kleinen Würfel mit Seitenlänge$a$, zentriert bei$z=R$. Wenn wir über dieses Volumen integrieren wollen, müssen wir berücksichtigen, wie sich das Vektorfeld über das Volumen ändert. Lasst uns machen$a$sehr sehr klein (im Vergleich zu$R$), also müssen wir nur die Bedingungen der niedrigsten Ordnung einhalten.

Die Änderung erster Ordnung bei der Verschiebung in z-Richtung ist auf die Änderung der Größe des Vektors zurückzuführen:

$$\vec E = \frac{\hat z}{R^2} - \frac{2\hat z}{R^3}(z-R)$$

Wenn ich in die schalte$x$oder$y$Richtungen gibt es keine Änderung erster Ordnung in der Größe des Vektorfelds, aber das Feld gewinnt eine Komponente erster Ordnung in der entsprechenden Richtung. Hineinschalten$x$gibt

$$\vec E = \frac{\hat z}{R^2} + \frac{x\hat x}{R^3}$$

beim einschalten$y$gibt

$$\vec E = \frac{\hat z}{R^2} + \frac{y \hat y}{R^3}$$

Also zur niedrigsten Ordnung über den Punkt$\vec r = (0,0,R)$,

$$\vec E = \frac{\hat z}{R^2} + \frac{x \hat x}{R^3} + \frac{y \hat y}{R^3} - \frac{2(z-R)\hat z}{R^3}$$

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Divergenz von$E$bleibt bei unserer Expansion Null (also ist das Volumenintegral Null), aber was ist mit unserem Oberflächenintegral?

Integrieren über die Bodenfläche ($\hat n = -\hat z, z= R-\frac{a}{2}$) gibt uns

$$\int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2} -\left[\frac{1}{R^2} - \frac{2(-a/2)}{R^3} \right]dx dy = -\frac{a^2}{R^2} - \frac{a^3}{R^3}$$

während die Integration über die obere Fläche ($\hat n = \hat z, z=R+\frac{a}{2}$) gibt

$$\int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2}\left[ \frac{1}{R^2} - \frac{2(a/2)}{R^3}\right] dx dy = \frac{a^2}{R^2} - \frac{a^3}{R^3}$$

Sie behaupten, dass die Feldlinien ungefähr parallel sind, also können wir hier aufhören, weil der Fluss durch die Wände Null ist. Die Divergenz unseres Feldes verschwindet, aber das Integral des Feldes über die Ober- und Unterseite summiert sich nicht zu Null, und wir stellen fest, dass der Satz von Gauß falsch ist.

Dies ist jedoch falsch - es gibt einen Beitrag erster Ordnung zum Fluss durch die Seiten! Der gesamte Fluss tritt an den Seiten des Würfels aus (und ist daher positiv), also müssen wir vier Beiträge addieren. Wir brauchen zwei davon ($\hat n = \pm \hat x, x = \pm \frac{a}{2}$):

$$\int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{(a/2)}{R^3} dz dy = \frac{a^3}{2R^3}$$

und zwei davon ($\hat n = \pm \hat y, y = \pm \frac{a}{2}$):

$$\int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{(a/2)}{R^3} dz dx = \frac{a^3}{2R^3}$$

Daher stellen wir fest, dass der zusätzliche Fluss durch die Wände die Variation des Flusses zwischen der oberen und der unteren Oberfläche genau aufhebt und der Satz von Gauß erhalten bleibt.

Tl; dr - seien Sie vorsichtig mit Ihren Annäherungen. Sie müssen konsequent sein – wenn Sie nach der niedrigsten Ordnung arbeiten, müssen Sie alle Bedingungen in dieser Reihenfolge einhalten. In diesem Beispiel ist die radiale Änderung der Feldgröße in der gleichen Größenordnung wie die Richtungsabweichung der Feldlinien. Indem Sie Ersteres beibehalten und Letzteres außer Acht lassen, sind Sie in Ihren Annäherungen inkonsistent, was Sie zu einer falschen Schlussfolgerung führt.

Zum mathematischen Beweis des Satzes

$$\displaystyle\oint_{\partial S=V} \vec{F}\cdot \vec{dS} = \displaystyle\int_V(\nabla\cdot\vec{F}) dV$$ Es besteht absolut keine Notwendigkeit (und kein Sinn), irgendetwas wie Quellen oder Senken aufzurufen. Für eine gute und intuitive mathematische Herleitung siehe dieses Kapitel aus Feynman Lectures.

Die Beziehung von all dem zu den Quellen und Senken kommt hauptsächlich aus der Physik, die ich später erklären werde. Aber auch aus mathematischer Sicht kann man mit Sicherheit definieren$\nabla\cdot\vec{F}$als Feldquelle$\vec{F}$denn wie der oben genannte Satz impliziert, wann immer ein gewisser Fluss des Feldes aus einer geschlossenen Region kommt, dh eine Art Gesamtgenese des Feldes innerhalb dieser Region, das Volumenintegral von$\nabla\cdot\vec{F}$ist genau gleich diesem Fluss. Mit dieser Motivation kann man sicherlich definieren$\nabla\cdot\vec{F}$als Quelle (oder Senke) des Feldes - mathematisch. Und solange es sich um mathematische Definitionen handelt, gibt es nicht viel zu argumentieren. Wenn es eine nicht verschwindende Divergenz des Feldes gibt, sage ich per Definition, dass die Quelle (oder Senke) dort vorhanden ist.

Nun, was das Gaußsche Gesetz der Elektrostatik bewirkt, ist, dass es diese mathematisch definierte Quelle, dh die Divergenz des Feldes, mit der elektrischen Ladungsdichte identifiziert (bis auf eine Konstante, die wir vernachlässigen werden). Und in diesem Fall lohnt es sich (sinnvoll) zu fragen, ob es wirklich einer Ladungsdichte bedarf, damit die Divergenz des elektrischen Feldes nicht Null ist und umgekehrt. Und die Antwort ist, ja. Das Coulombsche Gesetz ist eine experimentelle Tatsache, die (aufgrund ihrer spektakulären$\dfrac{1}{r^2}$Abhängigkeit) in Kombination mit einem einfachen Vektorkalkül impliziert dies eindeutig$\nabla\cdot\vec{F}=\rho$. Wo$\rho$ist die Ladungsdichte. Wenn die Abstandsabhängigkeit des Feldes anders gewesen wäre, würde dies bedeuten, dass Sie Quellen oder Senken der Felder haben (die Orte, an denen eine Divergenz ungleich Null vorliegt), aber die Ladungsdichte muss nicht vorhanden sein.

In dem speziellen Beispiel, das Sie untersuchen, das Feld$\vec{E}=\vec{x}$kann nicht durch eine weit entfernte Punktladung erzeugt werden - wie schön von J. Murray in seiner Antwort illustriert. Sie benötigen eine Ladungsdichte, die über die Region verteilt ist, die Sie in Betracht ziehen, um ein solches Feld zu erzeugen.

Die Erklärung eines Betrügers Da wir wissen , dass elektrische Feldlinien niemals in der Luft enden oder entstehen (so ziemlich dasselbe), muss jede Feldlinie, die in eine geschlossene leere Region eintritt, wieder herauskommen – was es einem geschlossenen leeren Raum unmöglich macht haben ein Oberflächenintegral ungleich Null. Wenn sich jedoch eine Ladung innerhalb des Bereichs befindet, enden oder entstehen dort Feldlinien, wodurch ein von Null verschiedenes Oberflächenintegral über der Oberfläche entsteht, die die Ladung umschließt. (Dies ist die Erklärung eines Betrügers, weil der Grund, warum wir wissen, dass Feldlinien nicht in der Luft entstehen oder enden, genau das elektrostatische Gesetz von Gauß ist. Hier haben wir diese abgeleitete Tatsache verwendet, um ihren Ursprung zu erklären. Aber funktioniert heutzutage für Kinder!)

Ich werde versuchen, eine intuitivere Antwort zu geben, da es bereits mathematisch korrekte Antworten gibt. Wir werden sagen, dass ein Vektorfeld$X$hat in irgendeiner Region ein Waschbecken$\Sigma \subset \mathbb R^n$, wenn man in irgendeiner Richtung weniger "Zeug" bekommt, dann steckt man hinein. Denken Sie an die Analogie einer Pipeline, die einen Riss hat, so dass das Wasser aus dem Riss sickert und Sie daher weniger Wasser auf der anderen Seite bekommen als du einträgst.

Wir werden sagen, dass ein Vektorfeld eine Quelle in der Region hat$\Sigma$, wenn Sie mehr "Zeug" bekommen, als Sie in eine Richtung gesteckt haben. Wenn Sie die Analogie wie zuvor verwenden, stellen Sie sich eine Pipeline vor, bei der jemand heimlich mehr Wasser in einen Teil der Pipeline einfüllt und Sie dadurch mehr Wasser erhalten, als Sie einfüllen.

Denken wir an Ihr Beispiel:$\mathbf k = x \,\hat x$, und wählen wir aus$\Sigma = [0,1]^3$. Ganz klar bei$x=1$Sie haben mehr Zeug als Sie tun$x=0$, also muss jemand Material hineinpumpen, also muss es eine Quelle in dieser Region geben, und tatsächlich pumpt jemand an jedem Punkt Material hinein$x$, wenn auch sehr wenig, so dass Sie mehr Zeug auf den Punkt bekommen$x + \epsilon$.

Ich hoffe, dies hilft Ihnen, das Gesetz von Gaus intuitiv zu verstehen.