Helmholtz-Zerlegung für ein Vier-Vektor-Feld

Question

Helmholtz-Zerlegung für ein Vier-Vektor-Feld

Quantum Eyedea

Ein großes Ergebnis der Vektorrechnung ist die Helmholtz-Zerlegung : für jede vektorwertige Funktion $\mathbf{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^3$ das ist brav genug, wir können es immer wie folgt zerlegen:

F (R) = - \nabla Φ (R) + \nabla \times C (R)

$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = - \boldsymbol{\nabla} \Phi(\mathbf{r}) + \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{C}(\mathbf{r})$

Es gibt immer Funktionen $\Phi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ Und $\mathbf{C} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ für jede Wahl von solchen $\mathbf{F}$ .

$\$

Meine Frage ist, gibt es ein ähnliches Ergebnis für $4$ -Vektoren? Ich lese über Eichfelder in QFT .... gibt es eine Möglichkeit, jedes Eichfeld zu zerlegen $A_{\mu}(x) = A_{\mu}(x_0,x_1,x_2,x_3)$ in eine ähnliche Summe wie oben?

Ich denke da an etwas in der Art: $A_{\mu}(x) = \partial_{\mu} \lambda(x) + \mathrm{something}$

Ich kann mir nicht vorstellen, wie der Curl-Begriff hier aussehen würde.

AccidentalFourierTransform

Sie haben den Satz von Hodge,

f = d f_{1} + d^{⋆} f_{2} + f_{3}

$f=\mathrm df_1+\mathrm d^\star f_2+f_3$ , Wo

f_{3}

$f_3$ ist harmonisch.

Christoph

@AccidentalFourierTransform: Jetzt bitte in Physikersprache übersetzen ;) Wie würde der zweite Term aussehen? Etwas wie

ϵ_{μ}^{α β γ} \partial_{[α} B_{β γ]}

$\epsilon_\mu{}^{\alpha\beta\gamma} \partial_{[\alpha}B_{\beta\gamma]}$ ?

JamalS

@Christoph Für viele von uns sind Formen jetzt auch Physikersprache :)

DanielC

@Christoph, es ist üblich, den metrischen Tensor zu verwenden und alle 4 Indizes des Levi-Civita-Pseudotensors auf der gleichen Position zu belassen, dh entweder alle „oben“ oder alle „unten“.

lalala

@AccidentalFourierTransform hast du eine Referenz für das Theorem

AccidentalFourierTransform

@lalala Wikipedia zitiert Warner (1983), Theorem 6.8, aber das Ergebnis ist ziemlich Standard, daher sollte jedes Buch über Differentialgeometrie ausreichen.

lalala

@AccidentalFourierTransform Der Wiki-Artikel gibt an, dass dies auf geschlossenen Manifokds steht (geschlossen bedeutet kompakt ohne Begrenzung für Verteiler). Dies gilt nicht für

R^{4}

$R^4$ .

Larry Harson

Gemäß Kapitel 2, Seite 21 von Prof. Wheelers Notizen zur klassischen Feldtheorie wird das Hodges-Theorem zu:

V_{μ} = S_{μ} + I_{μ} + V_{μ}^{0} where \partial^{μ} S_{μ} = 0, \partial_{μ} I_{ν} - \partial_{ν} I_{μ} = 0, ◻ V_{μ}^{0} = 0

$V_\mu=S_\mu + I_\mu + V^0_{\mu} \;\text{where} \;\ \partial^{\mu}S_{\mu} = 0, \;\partial_{\mu}I_{\nu}-\partial_{\nu}I_{\mu}=0, \;\Box V^0_{\mu}=0$ Vielleicht könnte jemand, der kompetenter ist als ich, dies als akzeptierte Antwort zeigen?

Antworten (1)

Helmholtz-Zerlegung für ein Vier-Vektor-Feld

Sie haben den Satz von Hodge, $f=\mathrm df_1+\mathrm d^\star f_2+f_3$ , Wo $f_3$ ist harmonisch.
@AccidentalFourierTransform: Jetzt bitte in Physikersprache übersetzen ;) Wie würde der zweite Term aussehen? Etwas wie $\epsilon_\mu{}^{\alpha\beta\gamma} \partial_{[\alpha}B_{\beta\gamma]}$ ?
@Christoph Für viele von uns sind Formen jetzt auch Physikersprache :)
@Christoph, es ist üblich, den metrischen Tensor zu verwenden und alle 4 Indizes des Levi-Civita-Pseudotensors auf der gleichen Position zu belassen, dh entweder alle „oben“ oder alle „unten“.
@AccidentalFourierTransform hast du eine Referenz für das Theorem
@lalala Wikipedia zitiert Warner (1983), Theorem 6.8, aber das Ergebnis ist ziemlich Standard, daher sollte jedes Buch über Differentialgeometrie ausreichen.
@AccidentalFourierTransform Der Wiki-Artikel gibt an, dass dies auf geschlossenen Manifokds steht (geschlossen bedeutet kompakt ohne Begrenzung für Verteiler). Dies gilt nicht für $R^4$ .
Gemäß Kapitel 2, Seite 21 von Prof. Wheelers Notizen zur klassischen Feldtheorie wird das Hodges-Theorem zu: $V_\mu=S_\mu + I_\mu + V^0_{\mu} \;\text{where} \;\ \partial^{\mu}S_{\mu} = 0, \;\partial_{\mu}I_{\nu}-\partial_{\nu}I_{\mu}=0, \;\Box V^0_{\mu}=0$ Vielleicht könnte jemand, der kompetenter ist als ich, dies als akzeptierte Antwort zeigen?

John Donne · Answer 1

Die Hodge-Zerlegung besagt, dass beliebig $1$ -form $\omega$ kann geschrieben werden als

ω = D a + * D * β + γ

$\omega = d\alpha+\ast\, d\ast\beta +\gamma$ Wo

α

$\alpha$ ist eine Funktion,

β

$\beta$ ist ein

2

$2$ -Form und

γ

$\gamma$ ist eine Harmonische

1

$1$ -form. Hier

d

$d$ ist die äußere Ableitung und

*

$\ast$ ist das Hodge-Dual.

In Koordinaten bedeutet dies, dass wir einen Covektor schreiben können $A_\mu$ als

A_{μ} = P_{μ} + Q_{μ} + R_{μ}

$A_\mu = P_\mu + Q_\mu + R_\mu$ Die entsprechenden Bedingungen sind wie folgt.

P

$P$ entspricht

d α

$d\alpha$ und in der Minkowski-Raumzeit

P = D a F Ö R S Ö M e a ⟺ D P = 0

$P = d\alpha\,\,\, \mathrm{for\,\,some}\, \alpha \iff dP=0$ In Koordinaten bedeutet dies das

\partial_{ν} P_{μ} - \partial_{μ} P_{ν} = 0

$\partial_\nu P_\mu -\partial_\mu P_\nu=0$ . Ähnlich

Q

$Q$ erfüllt

d * Q = 0

$d\ast Q =0$ , was in Koordinaten übersetzt heißt

\partial^{μ} Q_{μ} = 0

$\partial^\mu Q_\mu=0$ . Endlich

R

$R$ muss harmonisch sein, also

\partial^{ν} \partial_{ν} R_{μ} = 0

$\partial^\nu \partial_\nu R_\mu = 0$ .

Diese Frage zu Math Overflow könnte auch von Interesse sein.

@Greg.Paul Verzeihung, was ist der 3D-Grundsatz der Analysis?
Entschuldigung, ich meine das Ergebnis, das ich in der Frage zitiert habe - die Helmholtz-Zerlegung. Das sagt das $F_{\mu} = \partial_{\mu} \Phi + \epsilon_{\mu\nu\sigma} \partial_{\nu} C_{\sigma}$ für 3D-Funktionen $F$ für einige $\Phi$ , $C$ . Gibt es eine Möglichkeit, dieses spezifische Ergebnis der Hodge-Zerlegung zu sehen?
@Greg.Paul Grob gesagt ja: Nimm dein 3D-Vektorfeld $F$ und wende die Hodge-Zerlegung an. Sie erhalten einen Farbverlauf plus eine Locke plus einen harmonischen Begriff. Dann wenn $F$ verschwindet ausreichend schnell im Unendlichen (schneller als $1/r$ ) Sie wissen, dass die harmonische Funktion schneller auf Null geht als $1/r$ , muss also identisch Null sein (dies ist ein Standardergebnis in der Analyse). Daher bleibt Ihnen Farbverlauf + Locke. Die Details sind jedoch komplizierter; Siehe die Frage, die ich in der Antwort verlinkt habe. Dieses Papier kann auch hilfreich sein: arxiv.org/abs/1404.3679

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