Partielle Integration und das Levi-Civita-Symbol

Question

Partielle Integration und das Levi-Civita-Symbol

Noah M

Ich arbeite gerade das Buch Heisenberg's Quantum Mechanics (Razavy, 2010) durch und lese das Kapitel über die klassische Mechanik. Ich interessiere mich für einen Teil ihrer Ableitung einer verallgemeinerten Lorentz-Kraft über ein geschwindigkeitsabhängiges Potential.

Ich verstehe die verallgemeinerte Kraft, die sie von einer Lagrange-Funktion der Form ableiten $L = \frac{1}{2}m|\vec v|^2 - V(\vec r,\vec v,t)$

F_{ich} = - \frac{\partial v}{\partial X_{ich}} + \frac{D}{D T} (\frac{\partial v}{\partial v_{ich}})

$F_i = -\frac{\partial V}{\partial x_i} + \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial v_i}\right)$

Durch eine Reihe von Schritten, die ich immer noch nicht ganz verstehe, leitet der Autor die Identität für die gemischten Geschwindigkeitsableitungen der Kraft ab:

\frac{\partial F_{ich}}{\partial v_{J} \partial v_{k}} = 0

$\frac{\partial F_i}{\partial v_j\partial v_k} = 0$

An dieser Stelle wird bzgl. "durch einmaliges Integrieren dieser Gleichung". $v_k$ , erhalten sie die Gleichung:

\frac{\partial F_{ich}}{\partial v_{J}} = \sum_{k} ε_{ich J k} B_{k} (\vec{R}, T)

$\frac{\partial F_i}{\partial v_j} = \sum_k \varepsilon_{ijk}B_k(\vec r,t)$

Wo $B_k$ ist der $k^{th}$ Bestandteil einer Vektorfunktion $\vec B$ das kommt nicht auf die Geschwindigkeit an.

Ich habe Probleme zu verstehen, wo dieser Ausdruck für das Integral ins Spiel kommt. Die linke Seite kommt eindeutig von der FTC. Wenn ich die Integration selbst durchführen würde, würde ich dasselbe tun und eine beliebige Funktion einfügen

\frac{\partial F_{ich}}{\partial v_{J}} = G (\vec{R}, v_{1}, . . ., v_{k - 1}, v_{k + 1}, . . ., T)

$\frac{\partial F_i}{\partial v_j}=g(\vec r, v_1,...,v_{k-1}, v_{k+1},..., t)$

Wo $g$ ist eine Funktion, die nicht von abhängt $v_k$ ausdrücklich. Auf diese Weise $\frac{\partial g}{\partial v_k} =0$ wie wir brauchen.

Ich habe versucht herauszufinden, wie diese Funktion mit dem Ausdruck zusammenhängt $B_k$ , aber ich kann keine Quelle finden, die mich in die richtige Richtung weisen könnte, besonders weil meine beste Vermutung für $g$ hängt vom anderen ab $n-1$ Komponenten der Geschwindigkeit, während des Autors $\vec B$ Vektor ist nur eine Funktion von Ort und Zeit.

Könnte ich etwas Hilfe haben, um zu verstehen, was hier getan wird?

Bearbeiten: Zusätzlicher wichtiger Kontext

Außerdem geht Razavy einen Schritt weiter und geht davon aus, dass die verallgemeinerte Kraft unabhängig von der Beschleunigung ist, genau wie die Lagrange-Funktion. Unter Verwendung dieser Annahme können wir die zweite Bedingung nehmen, die in einer anderen verwandten Frage aufgeführt ist, die ich gestellt habe, um die Antisymmetriebeziehung zu bilden

\frac{\partial F_{ich}}{\partial v_{J}} = - \frac{\partial F_{J}}{\partial v_{ich}}

$\frac{\partial F_i}{\partial v_j} =- \frac{\partial F_j}{\partial v_i}$

Und dann können wir beginnen, partielle Ableitungen zu nehmen, vorausgesetzt, alle diese Ableitungen sind stetig. Nehmen Sie zuerst die linke Seite:

\frac{\partial}{\partial v_{k}} (L H S) = \frac{\partial^{2} F_{ich}}{\partial v_{J} \partial v_{k}} = \frac{\partial^{2} F_{ich}}{\partial v_{k} \partial v_{J}} = \frac{\partial}{\partial v_{J}} \frac{\partial F_{ich}}{\partial v_{k}} = \frac{\partial}{\partial v_{J}} (- \frac{\partial F_{k}}{\partial v_{ich}}) = - \frac{\partial^{2} F_{k}}{\partial v_{ich} \partial v_{J}}

$\frac{\partial}{\partial v_k}(LHS)=\frac{\partial^2 F_i}{\partial v_j\partial v_k} = \frac{\partial^2 F_i}{\partial v_k\partial v_j} = \frac{\partial}{\partial v_j}\frac{\partial F_i}{\partial v_k}= \frac{\partial}{\partial v_j}\left(-\frac{\partial F_k}{\partial v_i}\right) = -\frac{\partial^2 F_k}{\partial v_i\partial v_j}$

Wir können also den oberen Index und einen unteren Index auf Kosten eines negativen Vorzeichens differenzieren und tauschen. In ähnlicher Weise kann die rechte Seite differenziert werden

\frac{\partial}{\partial v_{k}} (R H S) = - \frac{\partial^{2} F_{J}}{\partial v_{ich} \partial v_{k}} = \frac{\partial^{2} F_{k}}{\partial v_{ich} \partial v_{J}}

$\frac{\partial}{\partial v_k}(RHS)=-\frac{\partial^2 F_j}{\partial v_i\partial v_k}=\frac{\partial^2 F_k}{\partial v_i\partial v_j}$

Somit können wir schreiben: $\frac{\partial}{\partial v_k}(LHS) = -\frac{\partial}{\partial v_k}(RHS)$ .

Weil $LHS=-RHS$ , wir haben

\frac{\partial}{\partial v_{k}} (L H S) = \frac{\partial^{2} F_{ich}}{\partial v_{J} \partial v_{k}} = 0

$\frac{\partial}{\partial v_k}(LHS) = \frac{\partial^2 F_i}{\partial v_j\partial v_k} = 0$

Antworten (1)

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Lukas Baldo · Answer 1

Ja, Integration in Bezug auf eins $v_k$ ergibt eine rechte Seite, die von every abhängt $v_l$ mit $l\neq k$ . Aber beachten Sie, dass wir eine Gleichung für jeden möglichen Wert von haben $k$ , und am Ende ist die linke Seite der Gleichung immer gleich, und die rechte Seite sollte es auch sein. Daraus schließen wir, dass die Funktion auf der rechten Seite von keiner der Variablen abhängen kann $v_l$ .

Etwas präziser:

$\frac{\partial F_i}{\partial v_j}=g(\vec r, v_1,...,v_{k-1}, v_{k+1},..., t) \\ = h_{i,j}(\vec r, v_1,...,v_{k}, v_{k+2},..., t) \\ = m_{i,j}(\vec r, v_1,...,v_{k-2}, v_{k},..., t) \\ = n_{i,j}(\vec r, t)$

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich alles verstehe. Sie sagen also, dass die ursprüngliche Gleichung mit $\frac{\partial F_i}{\partial v_j\partial v_k} = 0$ repräsentiert $n$ Gleichungen, mit jeweils einer $k$ , richtig? Ich hatte diesen Punkt vorher nicht erkannt, das hilft also sehr. Und weil dies für jeden gilt $v_k$ einzeln die partielle Ableitung $\frac{\partial F_i}{\partial v_j}$ ist jedem von diesen einzeln gleich. Da jede eine der Geschwindigkeitskomponenten ausschließt, $\frac{\partial F_i}{\partial v_j}$ kann sich auf keinen von ihnen verlassen. Ist dieses Verständnis richtig?
Meine andere Frage war, ob Sie die Funktionen mit den Indizes benannt haben $ij$ nur um den Bezug zum Besonderen zu betonen $v_j$ Derivat nehmen wir für die $F_i$ Komponente. Ja?
@spanishinquisitor Zu deiner ersten Frage, ja, genau das ist es. Zu deiner zweiten Frage ebenfalls ja. Beachten Sie, dass die linke Seite von {i,j} abhängt, d. h. für jedes Paar gibt es eine entsprechende Funktion $n_{i,j}$ . Ich bin nur ein bisschen verwirrt darüber, warum die Funktion die Form haben muss, die sie oben hat, $\epsilon_{ijk} B_k$ .
Damit diese Form benötigt wird, müssen wir das verlangen $\frac{\partial F_i}{\partial v_i} = 0$ Und $\frac{\partial F_i}{\partial v_j} = -\frac{\partial F_j}{\partial v_i}$ , von dem ich nicht sehen kann, woher es kommt.
Großartig! Ich bin froh, dass ich dir gefolgt bin. Ich bin auch verwirrt darüber, woher diese Symmetrien kommen. Ich vermute, es kommt von der "Reihe von Schritten, die ich immer noch nicht ganz verstehe", die ich erwähnt habe. Ich habe eine andere Frage zu diesem Schritt in dieser Frage hier gestellt . Daraus versuche ich, diese Antisymmetriebeziehungen herauszuarbeiten.
Froh, dass ich helfen konnte :). Ich habe mir Ihren anderen Beitrag angesehen und er scheint eine Herausforderung zu sein. Ich werde einige Nachforschungen anstellen. Was die Antisymmetrieeigenschaft betrifft, kann sie meiner Meinung nach aus der zweiten Helmholtz-Eigenschaft abgeleitet werden, die Sie auflisten: $\frac{\partial F_i}{\partial v_j} + \frac{\partial F_j}{\partial v_i} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F_i}{\partial \dot{v_j}} + \frac{\partial F_j}{\partial \dot{v_i}}\right)$ . Durch die Verwendung der Linearität bei Beschleunigung ( $\dot{v_i}$ ), der Term in Klammern ist eine Konstante (glaube ich), dann ist die rechte Seite Null. Aber es kommt auf die Details dieser „Linearität“ an.
Ich stimme zu! Ich habe den anderen Beitrag bearbeitet, weil ich einen Beweis auf arXiv gefunden habe. Darüber hinaus geht Razavy einen Schritt über die Linearität hinaus und geht davon aus, dass die verallgemeinerte Kraft unabhängig von der Beschleunigung ist, wie die Lagrange-Funktion mit der zweiten Hemholtz-Bedingung, wie Sie sagten. Ich habe meinen Beitrag bearbeitet, um diesen Teil hinzuzufügen.

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