Warum hat ein System, dessen Bewegungsgleichungen λ2Uα+∂μFμα=0λ2Uα+∂μFμα=0\lambda^2U^{\alpha} + \partial_{\mu}F^{\mu \alpha} = 0 sind, drei Grade von Freiheit?

Weil wenn$\lambda \neq 0$Sie behandeln das massive Vektorfeld, Sie sprechen nämlich von Vektorteilchen (Spin$1$) mit Masse:$W^+$,$W^-$Und$Z^0$Bosonen.

In der Tat, indem Sie die von Ihnen geschriebene Identität verwenden;$F_{\mu \nu}=\partial_{\mu} U_{\nu} - \partial_{\nu} U_{\mu}$, können Sie Ihren Lagrangian in das Formular schreiben

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial_{\mu}U_{\nu}\partial^{\nu}U^{\mu} + \frac{1}{2}\left(\partial_{\mu}U^{\mu}\right)^2 - \frac{1}{2}\lambda^2 U_{\mu}U^{\mu}$$

was dem Klein-Goron-Lagrangian ähnlich ist, aber mit einem Term mehr. Variierend$U_{\mu}$Sie erhalten die Bewegungsgleichung (nachdem Sie die Aktion geschrieben haben$\mathcal{S} = \int\ \mathcal{L}\ dt$) bekommen

$$\partial^{\mu}\partial^{\nu}F_{\mu\nu} - \lambda^2 \partial^{\nu}U_{\nu} = 0$$

und für$\lambda\neq 0$Sie haben die Einschränkung

$$\partial^{\mu}U_{\nu} = 0$$

Unter Verwendung dieser Tatsachen können die Bewegungsgleichungen in der Form geschrieben werden:

$$(\Box - \lambda^2)U_{\mu} = 0$$ $$\partial^{\mu}U_{\mu} = 0$$

Das sagt uns das von den Vieren$U_{\mu}$Felder, nur drei von ihnen sind unabhängige Felder, und sie beschreiben auf kovariante Weise die drei zugehörigen Polarisationen eines Spins$1$Partikel.