Wann ist Zeit ein Freiheitsgrad?

Was Sie auch ohne die Zeitableitung geschrieben haben, ist falsch; Denken Sie daran, die Divergenz ist,

$$\nabla \cdot \vec F = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z$$

und nicht die Derivate, die auf alle wirken$\vec F$wie du geschrieben hast. Wenn wir nun eine zeitliche Ableitung in die Divergenz einbeziehen wollen, macht es nur Sinn, wenn$\vec F$hat eine Zeitkomponente.

Dies tritt im Fall der allgemeinen Relativitätstheorie auf, wo wir einen Vektor betrachten können$v^\mu$mit einem überlaufenden Index$\mu = 0, \dots, 3$Wo$v^0$ist ein$t$-Komponente (oder die entsprechende zeitähnliche Koordinate).

Wir könnten dann eine Divergenz mit der kovarianten Ableitung schreiben,

$$\nabla_\mu v^\mu = \partial_\mu v^\mu + \Gamma^{\mu}_{\mu \nu}v^\nu$$

und im Fall des flachen Minkowski-Raums reduziert sich dies auf das ursprüngliche Konzept, an das Sie gedacht haben, nämlich einfach:

$$\partial_\mu v^\mu = \partial_t v^t + \partial_x v^x + \partial_y v^y + \partial_z v^z.$$

Im Allgemeinen wirkt sich der Nabla-Operator in all seiner Form nur auf die räumlichen Koordinaten aus. Sie dürfen die Zeitableitung nicht in Gradienten, Divergenzen, Locken oder Laplace-Operatoren einbeziehen. Sie können sie als Definition nehmen; Sie enthalten nur keine Zeitableitungen.

Es ist wahr, dass für die spezielle Relativitätstheorie und höhere Ebenen die Menge$ct$wird als vierte Variable betrachtet, und so wird der Laplace-Operator zu dem verallgemeinert, was "d'Alambertian" genannt wird, was a enthält$-\frac{\partial F}{\partial (ct)}$.

Aber die Zeit ist in der klassischen Physik unabhängig. Es ist eine "andere Art" von Koordinaten und darf nicht verwendet werden, wenn es um "räumliche Operatoren" geht.

Es könnte in die Hand kommen Vier-Gradienten . In der Allgemeinen Relativitätstheorie sollten Zeit und Raum auf die gleiche Grundlage gestellt werden.

Daher kann man in der Relativitätstheorie gemischte Zeit-Raum-Ableitungen verwenden.