Warum gibt es nur 3 additive Bewegungsintegrale?

OK, gemäß Ihrer Anfrage…. Mein Gefühl ist, dass Sie von hier aus alles über Integrierbarkeit lernen und Probleme kombinieren möchten, die sie verwirren, anstatt sie zu trennen…. Wie wäre es, wenn Sie L&L mit Arnolds Buch ergänzen ?

1. Die sieben additiven Integrale von L & L sind die additiven Erhaltungsgesetze des isolierten Massenschwerpunktsystems, und Standardsätze zur Erhaltung des Massenschwerpunkts schreiben vor, dass sie in Abwesenheit externer Kräfte und Drehmomente fixiert sind und somit durch Newtons Ein- / Ausgänge arbeiten Wirkung -Reaktionsgesetze: man summiert alle Energien, oder Impulse, oder Drehimpulse, und ihre Summen, da das System „geschlossen“ ist, bleiben erhalten (wie in einem Schwarzen Loch!). Aber… sie müssen nicht unabhängig sein, wie z. B. für ein freies Teilchen in der Box,$E\propto \vec{P}^2$, dh & ist keine absolute Untergrenze für die Anzahl der erhaltenen Integrale. (und für ein freies Teilchen reduziert J = 0/bedeutungslos die unabhängig erhaltenen Integrale auf 3.) Zum Vergleich mit 2. verwende ich das viel einfachere isolierte System von 2 Teilchen in 2d, sodass die Rotationsgruppe eindimensional ist , und die konservierten additiven Integrale sind statt 7 jetzt nur noch 4: E ,$\vec{P}$, und J.

2. Dies ist eine breite abstrakte Aussage für eine Obergrenze der Anzahl unabhängiger Integrale der Phasenraumbewegung, die nicht unbedingt additiv ist. In einem 2 s -dimensionalen Phasenraum spezifiziert jedes unabhängige konservierte Integral eine unabhängige Hyperfläche, auf der Trajektorien liegen, und spezifiziert den Phasenraumpunkt, der auf ihrem Schnittpunkt verlaufen muss. Der restriktivste Fall sind 2 s - 1 Hyperflächen, deren gemeinsamer Schnittpunkt eine Linie ist, die Trajektorie eines (mehrdimensionalen) Phasenraumpunktes; eine weitere Einschränkung und die Linie wird bis zu einem Punkt geschnitten, sodass sich der Punkt nicht zeitlich bewegt! Systeme mit dieser maximalen Anzahl von Nebenbedingungen heißen maximal superintegrierbar, wie das Kepler-Problem, oder die meisten physikalischen Probleme des Babyneulings. Abgesehen vom Overkill werden all diese Probleme viel symmetrischer durch das äquivalente Bild der Nambu-Mechanik beschrieben : Der klassische Teil drückt einiges davon in PB-Sprache aus. Informationen zu Invarianten in Involution finden Sie hier .

   • Betrachten Sie nun zwei durch eine Feder verbundene Teilchen in 2d , beginnend mit dem Grenzwert k = 0, also freie Teilchen.

     $$L=\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+ \dot{y}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2= \frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2.$$ für Hauptstädte als Schwerpunktkoordinaten,$r=\sqrt{x^2+y^2}$, und θ den Winkel zwischen den relativen Koordinaten. Nun sind die Bewegungsgleichungen für θ bereits zu konstant integriert$r^2\dot{\theta}\equiv J$, also können wir seinen kinetischen Term zugunsten eines Terms streichen$mJ^2/(2r^2)$in den potentiellen Teil des Lagrange verlagert.

   • Lassen Sie uns die Gesamterhaltungsgrößen zählen, zuerst für k = 0, den freien Fall: In kartesischen Koordinaten haben wir 2 Impulskompensationen für 2 Teilchen, also insgesamt 4; plus J und jede der beiden Energien E und ε für die Variablen in Groß- und Kleinschreibung ? Nicht ganz, denn E ist nicht unabhängig von den cm-Impulsen und ε von den inneren. Die unabhängigen Integrale scheinen 5 zu sein. Die externen, additiven sind jedoch E + ε , J und$\vec{P}$, also weniger als die unabhängigen. Das Einschalten der Wechselwirkung (Feder, nicht verschwindendes k ) zerstört die Erhaltung der beiden Komponenten des inneren Impulses, aber$\epsilon_x$,$\epsilon_y$und J bleiben erhalten (2×2-1 für x,y , Oszillatoren sind maximal superintegrierbar) und die unabhängigen Integrale insgesamt sind 5, noch einmal, was Ihrem Paradoxon zuvorkommt.

   • Abschließend noch ein Wort zu Ihrer Frage zum Poisson-Theorem. Wenn Sie mit Faktoren völlig schematisch und unbekümmert umgehen, können Sie das angesichts der Invarianten sehen$\epsilon_x, \epsilon_y, J$dieses Doppeloszillators,$\{ \epsilon_x, J\} \sim K\equiv p_x p_y +xy$, auch leicht als zeitunabhängig zu bestätigen, gemäß der Jacobi-Identität. Gibt es eine vierte Invariante? Das kann nicht sein: Wir haben oben gesehen, dass maximale Superintegrierbarkeit nur 3 zulässt. Aber beachten Sie, dass Zeichen, Faktoren usw. festgelegt werden$\epsilon_x \epsilon_y=J^2+K^2$, also ist einer der vier nichtlinear von den anderen drei abhängig. Puh!....

Es gibt überhaupt keinen Widerspruch und Ihre Fragen können sofort beantwortet werden.

Ein isoliertes System mit$s$Freiheitsgrade hat$2s-1$Integrale der Bewegung seit den Lösungen für die Koordinaten$q_i$einbeziehen$2s-1$Konstanten (bestimmt durch die Anfangsbedingungen). Das$2s$th kann in Bezug auf gelöst werden$t-t_0$wo$t_0$kann beliebig gewählt werden. Jedoch sind nicht alle diese Bewegungsintegrale additiv. Mit additivem Bewegungsintegral ist eines gemeint, das die Summe der entsprechenden Bewegungsintegrale der isolierten Subsysteme ist.

Diese additiven Bewegungsintegrale, die normalerweise als Erhaltungsgrößen bezeichnet werden, stammen von einer kontinuierlichen Symmetrie des Systems und können über das Noether-Theorem berechnet werden. Wenn ich jedoch keine Subtilität übersehen habe, gibt es 10 konservierte Größen: Energie E (im Zusammenhang mit der Zeitverschiebung), Impuls$\vec P$(verbunden mit Dreiraumtranslation), Drehimpuls$\vec L$(zugehörig zu drei Drehungen) und dem Vektor$t\vec P-M\vec R_{cm}$(in Verbindung mit drei Galileo-Boosts). Sie können mehr in Abschnitt drei dieser Referenz lesen .