Lagrange aus zwei Teilchen, die mit einer Feder verbunden sind und sich frei drehen können

Das ist richtig, und Sie sollten bis später die rechtwinkligen Koordinaten verwenden. Die Bewegungsgleichungen sind kein Durcheinander, da das System ein Gesetz zur Erhaltung des Massenschwerpunkts hat, sodass Sie die Variablen linear verwechseln können:

$$X = m_1 x_1 + m_2 x_2$$ $$Y= m_1 y_1 + m_2 y_2$$

für den Massenmittelpunkt u

$$x = x_1 - x_2$$ $$y = y_1 - y_2$$

das sind die relativen Koordinaten. In Bezug auf diese Transformation (was Sie einfach wissen sollten) wird der Lagrange-Operator für das CM zu dem eines freien Teilchens, während der Lagrange-Operator für die relative Koordinate zu dem eines 2d-Teilchens auf einer Feder endlicher Länge wird

$${m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)\over 2} + {k (\sqrt{x^2 + y^2} - d)^2\over 2},$$

wobei m die reduzierte Masse ist. Nun können Sie die relativen Koordinaten x,y in Polarform umwandeln$r,\theta$und das$\theta$Gleichung drückt die Erhaltung des Drehimpulses aus. Dies reduziert sich auf ein 1d-Problem für r mit einem Potential.

$$V(r) = {k\over 2}(r-d)^2 + {A\over r^2},$$

wobei A eine Konstante für konstanten Drehimpuls ist, eine effektive zentrifugale Abstoßung plus das anziehende Potential.

Ihr Lagrangian hat Recht, aber es ist unnötig kompliziert. Für zwei isolierte Massen ist es immer am besten, sich zu Massenmittelpunkt und relativen Koordinaten zu bewegen,

$$X=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2},$$ $$x=x_2-x_1,$$ und ähnlich für die $y$S. Die kinetische Energie wird dann durch die Gesamtmasse ausgedrückt $M=m_1+m_2$und die reduzierte Masse $m$so dass $\frac{1}{m}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$, und Ihr Lagrangian wird um einiges einfacher: $$L=\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+ \dot{y}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2$$ für $r=\sqrt{x^2+y^2}$.