Wie kann ich sagen, dass Kreisbewegung eine Lösung für ein Teilchen ist, das auf die Oberfläche eines Kegels beschränkt ist?

Wenn Sie sehen möchten, ob eine bestimmte Funktion$z(t)$eine zulässige Bewegung des Teilchens darstellt, müssen Sie nur prüfen, ob sie die Bewegungsgleichung (die Differentialgleichung in Ihrer Frage) erfüllt. Wenn Sie die Funktion einfügen und einen mathematischen Widerspruch erhalten, ist dies keine Lösung. Ansonsten ist es so. (Manchmal muss man bei Eckfällen aufpassen, aber dies gehört nicht zu diesen Fällen.)

Vielleicht hilft es dir, so darüber nachzudenken: wenn das Problem sagt

es ist zu sehen, dass eine Lösung dafür durch eine kreisförmige Bewegung in konstanter Höhe gegeben ist$z_c$

das heißt, es gibt eine Konstante$z_c$so dass$z(t) = z_c$ist eine Lösung der Differentialgleichung. Theoretisch könnte man nun jede mögliche Höhe systematisch testen, bis man eine gefunden hat, die funktioniert – also Stecker$z(t) = 1\text{ m}$,$z(t) = 2\text{ m}$usw. in die Differentialgleichung ein und sehen Sie, ob es gleich Null ist, aber der klügere Weg ist natürlich, Algebra zu verwenden, um den einzigen Wert zu identifizieren, der funktionieren könnte, was Sie getan haben. Das hast du gefunden

Wenn Sie sich nicht darüber im Klaren sind, wie dies zeigt, dass eine kreisförmige Bewegung eine mögliche Lösung ist, würde ich das Einstecken vorschlagen

in die Differentialgleichung ein und überprüfe selbst, ob sich die linke Seite dabei zu Null vereinfacht.

Nun zum Teil über die Störung. Vergessen Sie für einen Moment den Kegel und stellen Sie sich eine Kugel vor, die auf dem Boden einer Art Tal (eines Grabens oder Kanals oder einer Röhre) rollt. Eine Möglichkeit, wie dies passieren kann, ist natürlich, dass der Ball direkt in die Mitte rollt. Aber eine andere zulässige Bewegung ist, dass der Ball ein wenig außermittig ist und sich beim Rollen leicht von einer Seite zur anderen bewegt und dabei eine Art Schwingungsmuster nachzeichnet, das auf dem Boden des Tals zentriert ist.

Dies ist ein übliches Muster für jede Art von physikalischem System in einem stabilen Gleichgewicht, das um eine Koordinate zentriert ist$x_c$: während eine zulässige Bewegung gerade angehalten wird$x_c$, eine andere zulässige Bewegung ist eine Art kleine Schwingung$x_c$. Anstatt also aufzulösen$x(t)$direkt ändern Sie Variablen zu$\delta(t) = x(t) - x_c$, Es ist häufig einfacher zu lösen$\delta(t)$als es ist für$x(t)$, weil du das weißt$\delta(t)$um Null herum zentriert und somit klein ist, und wenn Sie Ihre Formeln in Bezug auf schreiben$\delta$anstatt$x$Sie können sie in Taylor-Reihen erweitern und alles außer den größten nichttrivialen Termen wegwerfen.

In Ihrem Fall tun Sie dies mit$z(t) = z_c + \eta(t)$, anstatt$x(t) = x_c + \delta(t)$. Unterschiedliche Namen (und Bedeutungen) für die Variablen, aber die Vorgehensweise ist dieselbe. Sie ändern Variablen aus$z$Zu$\eta$. Dann kannst du in eine Taylor-Reihe hinein expandieren$\eta$und behalte nur die nichttrivialen Terme niedrigster Ordnung$\eta$. Beachten Sie, dass ich nicht trivial sage , weil Sie einige Begriffe behalten müssen, die tatsächlich etwas beinhalten$\eta$um es zu lösen. Normalerweise bedeutet dies, sich an die Ordnung zu halten$\eta^1$, aber in einigen Fällen gibt es einen Grund, auch Terme höherer Ordnung beizubehalten - sagen wir, wenn alle$O(\eta^1)$Terme aufheben oder wenn Sie eine bessere Annäherung wünschen.

Jedes Mal, wenn Sie etwas linearisieren (was Sie tun$z = z_c + \eta$), setzen Sie einen konstanten Wert ein$z_c$und eine Störung$\eta$. Die Konstante$z_c$ist dabei zeitunabhängig$\eta$ist eine Funktion der Zeit. Zusätzlich ist der Zeitdurchschnitt von$\eta$ist 0 weil$z_c$ist definiert als der Mittelwert von$z$rechtzeitig.

Wenn Sie das also aus dem Weg geräumt haben, erhalten Sie eine Funktion, die gilt$\ddot{\eta}$drin. Dies ist die maßgebliche Gleichung für die Störung$\eta$um$z_c$.

Dies ist die maßgebliche Gleichung, die Sie verwenden müssen, um die Bewegungsperiode zu finden.