Was bedeutet es, wenn man sagt, dass das System NNN-Bewegungskonstanten hat?

Vielleicht lohnt es sich, unabhängige Bewegungsintegrale von Funktionen von Bewegungsintegralen zu unterscheiden? Siehe Gleichungen (2) und (3) in meinem Beitrag . Die Zahl der unabhängigen Bewegungskonstanten ist begrenzt durch die Zahl der unabhängigen Anfangsdaten (bei guter Problemstellung).

BEARBEITEN: Eine andere Möglichkeit, es zu verstehen, besteht darin, unabhängige Freiheitsgrade des Systems zu zählen.

Nehmen wir (der Einfachheit halber in dieser Frage) an, dass der Hamiltonoperator H zeitunabhängig ist. Dann ist jede Funktion f, deren Poisson-Klammer mit H {f, H}=0 eine Bewegungskonstante ist. Der Satz von Poisson besagt auch, dass, wenn f, g beide Bewegungskonstanten sind, {f, g} noch mehr Bewegungskonstanten erzeugt.

Die Klarstellung ist, dass die Funktionen f, g hier kanonische Änderungen von Variablen definieren, also interessieren uns nur diejenigen, die die ersetzen$p_i$Und$q_i$mit neuen Koordinaten$(P_i,Q_i)$. Davon wird es höchstens 2N geben.

Die ideale Anordnung besteht darin, möglichst viele der$Q_i$Es ist möglich, aus dem (transformierten) Hamilton-Operator auszusteigen$H=H(P_i,Q_i)$, wobei nur N maximal verfügbar sind. Ja, viele "Bewegungskonstanten" sind Funktionen voneinander (ähnlich wie wenn nicht nur x (q), y (p) als Koordinaten verfügbar sind, sondern auch x + y,$x^2$, usw.), aber man möchte nur diejenigen verwenden, die zu einem einfacheren Hamiltonoperator führen.

In der klassischen Mechanik gibt es sieben fundamentale additive Konstanten der Bewegung, das sind die Energie und die drei Komponenten Impuls und Drehimpuls. Mit anderen Worten, jede Konstante der Bewegung,$C$, kann eindeutig geschrieben werden als:

$\hspace{3cm} C=a_1E+a_2P_x+a_3P_y+a_4P_z+a_5L_x+a_5L_y+a_7L_z$

Ein Beweis für diese Tatsache findet sich in Landau, Bd. 1.