Herleitung des Trägheitstensors

Question

Herleitung des Trägheitstensors

Jannik Pitt

Ich versuche, den Trägheitstensor starrer Körper zu verstehen, aber ich verstehe nicht ganz, wie er abgeleitet wird. Das habe ich versucht:

Betrachten Sie einen starren Körper bestehend aus $N$ Punktmassen, auf die Kräfte wirken, so dass sich der Schwerpunkt nicht bewegt (der Körper dreht sich nur). Lassen $(b_j)_{j=1}^N \subseteq \mathbb{R^3}$ seien die Positionen der Punktmassen zu einem bestimmten Zeitpunkt und $(m_j)_{j=1}^n \subseteq \mathbb{R^+}$ ihre Massen. Dann die Stellung $x_j: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ des $j$ -ten Punktmasse ist gegeben durch $x_j(t)=B(t)b_j$ für einige $B: \mathbb{R} \ni t \mapsto B(t)\in SO(3)$ . Der Drehimpuls ist

L (T) = \sum_{J = 1}^{N} M_{J} X_{J} (T) \times \dot{X_{J}} (T) = \sum_{J = 1}^{N} M_{J} X_{J} (T) \times (ω (T) \times X_{J} (T)) = \sum_{J = 1}^{N} M_{J} (| | B_{J} | |^{2} ω (T) - ⟨ ω (T), B (T) B_{J} ⟩ B (T) B_{J}) .

$L(t)=\sum_{j=1}^{n}m_j x_j(t) \times \dot{x_j}(t)=\sum_{j=1}^{n}m_j x_j(t) \times (\omega(t) \times x_j(t)) = \sum_{j=1}^{n} m_j (||b_j||^2\omega(t) - \langle \omega(t) \ , \ B(t)b_j\rangle B(t)b_j).$ So wie ich es verstehe der Trägheitstensor

I \in R^{3 \times 3}

$I \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ erfüllt

L (t) = I ω (t)

$L(t)=I\omega(t)$ . Das sehe ich als fest an

t \in R

$t \in \mathbb{R}$ die Karte

ω (t) \mapsto L (ω (t))

$\omega(t) \mapsto L(\omega(t))$ ist linear, aber warum ist

I

$I$ unabhängig von

B

$B$ ? Der Ausdruck für

L

$L$ enthält

B (t)

$B(t)$ still. Der Trägheitstensor eines Körpers sollte derselbe sein, egal wie er rotiert.

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Anzeigename · Answer 1

Der Trägheitstensor eines Körpers ändert sich mit der Rotation. Der einfachste Weg, einen Stab zu drehen, ist um seine Achse, und wenn ich den Stab auf die Seite drehe, gilt das Gleiche entlang der neuen Achse.

Hier ist eine Herleitung des Trägheitstensors:

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newtonhtml/node64.html

Betrachten Sie das Integral für die Komponente $I_{xy}$ ,

{ICH}_{X j} = - \int X j D M

$I_{xy} = -\int xy \, \mathrm{dm}$

Wenn ich drehe $x\rightarrow y$ Und $y \rightarrow -x$ , $I_{xy}$ geändert wird $-I_{xy}$ , was darauf hinweist, dass sich der Trägheitstensor mit der Rotation ändert.

Im Allgemeinen gilt es nur sofort, aber ein anderes Beispiel ist wann $\omega$ zufällig ein Eigenvektor von ist $I$ , und dieser Eigenvektor ändert sich nicht mit der Drehung: Dann kann er mit demselben gelten $I$ wenn sich das Objekt dreht. Um auf das Stabbeispiel zurückzukommen, ändert das Drehen des Stabes um seine Achse nicht seinen Trägheitstensor.
Wenn sich der Körper dreht, transformieren Sie die Trägheit mit der Rotationsmatrix $R$ . $I\mapsto R^{T}\left( \overrightarrow {\varphi }\right) IR\left( \overrightarrow {\varphi }\right)$
@DisplayName Okay, jetzt verstehe ich es. Die richtige Gleichung wäre also $L(t)=I(t)\omega(t)$ .

TheDawg · Answer 2

Dein Drehimpuls $L(t)$ weiterhin im nicht rotierenden Koordinatenrahmen dargestellt. Wenn Sie die Koordinaten von transformieren $L(t)$ zum rotierenden Rahmen durch Verwendung der linearen Transformation $B(t)^T$ , das ist,

B (T)^{T} L (T) = L (T)_{R Ö T}

$B(t)^TL(t)=L(t)_{rot}$ Sie erhalten dabei einen konstanten Trägheitstensor

ω (t)

$\omega(t)$ verwandeln zu

B (t)^{T} ω (t) = ω (t)_{r o t}

$B(t)^T \omega(t)=\omega(t)_{rot}$ . Sie müssen mit dem inneren Produkt und dem adjungierten Operator spielen, um das innere Produkt in Bezug auf zu haben

ω (t)_{r o t}

$\omega(t)_{rot}$ Und

b_{j}

$b_j$ .

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