Hilfe bei der Ableitung des Lagrange-Skalarmodells von Graviton

Sie müssen vorsichtig mit der Art und Weise sein, wie Sie Ihren Lagrange definiert haben. Sie behandeln die zweite Ableitung von$h$,$\Box h$, als wäre es von beiden unabhängig$h$Und$\partial_\mu h$. Wenn Sie nach Teilen integrieren, erhalten Sie eine neue Lagrange-Funktion, die viel sauberer ist:

Wenn Sie die Euler-Lagrange-Gleichung auf diese neue Lagrange-Funktion anwenden, erhalten Sie das richtige Ergebnis. Beifall!

1. Die korrekte feldtheoretische Euler-Lagrange (EL)-Gleichung lautet allgemein

   $$0~\approx~\frac{\delta S}{\delta h} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial h} -\sum_{\mu} \frac{d}{dx^{\mu}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}h)} + \sum_{\mu\leq \nu} \frac{d}{dx^{\mu}} \frac{d}{dx^{\nu}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\partial_{\nu}h)} - \ldots,\tag{A}$$ bei dem die$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo eoms und die Ellipse$\ldots$bezeichnet mögliche höher abgeleitete Terme. Wenn Sie Terme der zweiten Ableitung einbeziehen, erhalten Sie eine Übereinstimmung mit Schwartz' eom (3.70).

2. Alternativ können Sie damit beginnen, höher abgeleitete Terme in der Aktion durch partielle Integration zu entfernen. Dann enthält die EL-Gleichung (A) keine Terme höherer Ableitung. Das ist die Strategie von Damian Sowinskis Antwort.

Verwenden Sie funktionale Ableitungen und Notationen aus dem Buch von Schwartz