Horizontale und vertikale Beschleunigung einer Kugel am Hang?

Wenn Sie nur die Geschwindigkeit am Fuß des Hangs wollen, ist die Energiemethode in den Antworten von Gert und Dr. Xorille eine elegante und einfache Möglichkeit, dies zu erreichen. Sie scheinen jedoch mit der Auflösung von Vektoren verheddert zu sein.

Bei der Arbeit mit Vektoren sollten Sie ein Koordinatensystem aufstellen und sich bis zum Schluss daran halten. Wenn Sie mehr als einen einrichten müssen und schlimmer noch, häufig zwischen ihnen wechseln müssen (wie es in Ihrem Fall der Fall ist), stellen Sie sicher, dass jede Komponente eines Vektors (in Ihrem Fall Gravitationsvektor$g$) wird im selben Koordinatensystem ausgedrückt.

In Ihrem Beispiel gibt es zwei Koordinatensysteme: XY-System, in dem die X-Richtung parallel zum Boden und die Y-Richtung senkrecht zum Boden und nach unten verläuft; PQ-System, bei dem die P-Richtung parallel zur Neigung und die Q-Richtung senkrecht zur Neigung verläuft.

Schwerkraftvektor im XY-System$\textbf{g}\equiv(0,g)$während im PQ-System$\textbf{g}\equiv(g\sin \theta,g\cos\theta)$. Sie können die Aufgabe nun in einem der beiden Koordinatensysteme Ihrer Wahl lösen.

Was Sie getan haben, ist, Sie haben berechnet$\textbf{g}$'s Komponenten parallel und senkrecht zur Neigung (dh im PQ-System), aber aus irgendeinem Grund möchten Sie zum XY-System zurückkehren. Das ist in Ordnung, aber dann Sie$\textit{must}$Nehmen Sie beide Komponenten ab$\textbf{g}$im PQ-System und drücken sie im XY-System erneut aus. Daher sollte man die senkrecht zur Böschung stehende Komponente nicht weglassen, da beide Komponenten, parallel und senkrecht zur Böschung, zusammen den Gravitationsvektor ergeben$\textbf{g}$. Wenn Sie dies jedoch tun, kehren Sie einfach zu Komponenten von zurück$\textbf{g}$im XY-System, d.h.$(0,g)$und ich sehe den Sinn des Ganzen nicht; Wenn Sie im XY-System bleiben wollten, hätten Sie dies von Anfang an tun können.

Sobald Sie Komponenten von kennen$\textbf{g}$Im XY-System können Sie jetzt die Geschwindigkeit zu jedem anderen Zeitpunkt berechnen, indem Sie die üblichen Bewegungsgesetze verwenden.

Eine andere Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, die Energie zu berücksichtigen (da Sie anscheinend nirgendwo Energie verlieren, z. B. durch Reibung).

Sie haben eine Anfangsgeschwindigkeit (vielleicht 0), die einer kinetischen Energie entspricht, und eine potentielle Energie (die ist$mgh$). Dann wird die potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, und Sie können es einfach von dort aus berechnen.

Ein wichtiger Punkt, auf den @Gert auch anspielte, ist, dass Rollen etwas ganz anderes ist als Gleiten. Beim Rollen haben Sie sowohl kinetische Energie, die mit der Durchschnittsgeschwindigkeit verbunden ist, als auch kinetische Energie, die mit der Rotation verbunden ist. Die Rotationsenergie erfordert das Trägheitsmoment. Wenn die Kugel ohne Schlupf rollt, hängt die Rotationsenergie von der Geschwindigkeit ab.

Angenommen, die Kugel gleitet reibungsfrei den Abhang hinunter und startet aus dem Stand ($v=0$) in einer Höhe über der Horizontalen$h$.

Während des reibungsfreien Gleitens wird die potentielle Energie des Objekts$mgh$wird in kinetische Energie umgewandelt$\frac{mv^2}{2}$, so dass:

$mgh=\frac{mv^2}{2}$Und:

$v=\sqrt{2mgh}$.

Dieser Geschwindigkeitsvektor ist natürlich parallel zum Hang orientiert. Die horizontale Komponente von$v$, sagen$v_x$, Ist:

$v_x=\cos(x) v$.

Während die vertikale Komponente, sagen wir$v_y$, Ist:

$v_y=\sin(x) v$.