Impliziert das Coulombsche Gesetz zusammen mit dem Gaußschen Gesetz die Existenz von nur drei räumlichen Dimensionen?

Ja absolut. Tatsächlich wird das Gaußsche Gesetz allgemein als das Grundgesetz angesehen, und das Coulombsche Gesetz ist einfach eine Folge davon (und des Lorentzkraftgesetzes).

Sie können tatsächlich eine 2D-Welt simulieren, indem Sie eine Linienladung anstelle einer Punktladung verwenden und einen Querschnitt senkrecht zur Linie nehmen. In diesem Fall stellen Sie fest, dass die Kraft (oder das elektrische Feld) proportional zu 1 / r ist, nicht zu 1 / r ^ 2, sodass das Gaußsche Gesetz immer noch vollkommen gültig ist.

Ich glaube, dass die gleiche Schlussfolgerung aus Experimenten gezogen werden kann, die in Graphenschichten und dergleichen durchgeführt wurden, die noch bessere Simulationen eines echten 2D-Universums sind, aber ich kenne keine spezifische Referenz, die ich dafür zitieren könnte.

Ich würde Ja sagen !

Tatsächlich verwenden einige Theorien, die die Quantengravitation erklären, auch diese Argumentation: Gravitation ist eine sehr schwache Wechselwirkung auf Quantenebene, weil sie in andere Dimensionen "durchsickert", die auf unserer Skala nicht beobachtbar sind, aber auf dieser Skala vorhanden sind.

Die mathematischen Werkzeuge sind unterschiedlich, aber wenn Sie nur an das Gaußsche Gesetz denken, können Sie sich eine Erklärung vorstellen, warum zusätzliche Dimensionen in diesen Theorien vorhanden sind.

Es ist eher umgekehrt, würde ich sagen. Das Gesetz von Gauß, zusammen mit der Tatsache, dass wir in einer Welt mit 3 räumlichen Dimensionen leben, erfordert, dass die Kraft zwischen Ladungen mit 1/r^2 abfällt. Aber es gibt vollkommen konsistente Analoga der Elektrostatik in Welten mit 2 oder mehr räumlichen Dimensionen, die jeweils ihr eigenes „Coulombsches Gesetz“ haben – mit einem unterschiedlichen Abfall der Kraft mit der Entfernung.

Genauer gesagt ist es viel offensichtlicher, dass wir in einer Welt mit 3 räumlichen Dimensionen leben (sehen Sie sich um!), Als dass die Kraft zwischen Ladungen einem umgekehrten quadratischen Gesetz folgt. Sowohl empirisch als auch theoretisch ist also die Anzahl der räumlichen Dimensionen grundlegender als das Kraftgesetz.

Grob gesagt berücksichtigt die (Super-)Stringtheorie zusätzliche räumliche Dimensionen, die "eingepackt" sind (meiner Meinung nach ungewöhnliche Topologien mit hoher Krümmung haben). Nun ist es natürlich völlige Spekulation, aber wenn diese Dimensionen existieren, würde sich der Elektromagnetismus nicht sehr in diese Dimensionen ausbreiten, daher würde es scheinen, als ob es immer noch nur drei Dimensionen gibt (in sehr guter Näherung).

Wenn Sie das sagen, ist Ihr Argument mehr oder weniger stichhaltig (wenn auch weit davon entfernt, kugelsicher zu sein). Es deutet sicherlich darauf hin, dass wir nicht in einer 2D-Welt leben und dass mögliche zusätzliche Dimensionen vergleichsweise sehr klein sind!

Ja. Tatsächlich entspricht der Fluss nicht der Ladungsdichte in anderen Dimensionen ohne eine ähnliche Modifikation des Coulombschen Gesetzes entsprechend der Dimensionalität.

Insbesondere im$d$Maße, das haben wir

über die Grenze eines räumlichen Bereichs$R$nur wenn der Körper einer Punktladung (die integriert den Körper einer Ladungsverteilung ergibt) die Form hat

wo$\rho$wird als Gebühr pro Einheit gemessen$d$-Volumen.

Das Gaußsche Gesetz schränkt also das Coulombsche Gesetz ein, bestimmt es aber technisch nicht . Um es zu bestimmen, benötigen Sie einige zusätzliche Annahmen über Symmetrie und Homogenität des Raums und / oder elektromagnetische Gesetze zusätzlich zum Gaußschen Gesetz oder einigen der verbleibenden Maxwell-Gleichungen (und diese Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen ist schwieriger, da sie Locken beinhalten. In höher Dimensionalitäten werden diese zu Polyvektoren, glaube ich, wie in der äußeren Algebra), insbesondere zumindest$\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$für Elektrostatik (in 3D).

Interessanterweise glaube ich auch, dass es keine stabil gebundenen Atome in Dimensionen gibt$d > 3$mit den üblichen elektromagnetischen Gesetzen. Insbesondere die$r^{-3}$Das Coulombsche Gesetz für 4D und seine höheren Analoga führen dazu, dass die Schrödinger-Gleichung Energieniveaus hat, die unten unbegrenzt sind, was bedeutet, dass selbst die Quantenmechanik, die wir kennen, ein Atom nicht vor dem Kollaps retten kann. Tatsächlich sind die Wände des Potentialtopfs zu steil. Ein Universum in 4D muss auf andere Weise nach ziemlich anderen Arten von physikalischen Gesetzen arbeiten, damit es stabile Materie, geschweige denn Leben, zulässt, selbst wenn es einige Kräfte hat, die unserem Elektromagnetismus ähneln.

Nicht unbedingt, denn extradimensionale Theorien lassen sich mit dem Prozess der Dimensionsreduktion ausstatten, die das Verschwinden der Extradimensionen auf unserer (tatsächlichen) Energieskala rechtfertigen.“ Kompaktifizierung ist die Notwendigkeit, die ergänzten Dimensionen klein und endlich zu machen oder ‚zusammengerollt‘ “. Das Coulombsche Gesetz wird der Sonderfall einer ultimativen Theorie auf klassischer Ebene sein, wie die Newtonsche Gravitation für die allgemeine Relativitätstheorie.

Obwohl andere bereits darauf geantwortet haben, möchte ich meine paar Gedanken dazu hinzufügen.

Jede Kraft (wie "Coulombs elektrostatische Kraft", "Newtons Schwerkraft"), die:

1. Stammt von einem Punkt.
2. Breitet sich gleichmäßig in alle Richtungen aus.
3. Abnahme der Intensität über die Entfernung.

Hat an allen Punkten im Raum außer dem Ursprungspunkt einen Fluss = 0 (Oberflächenintegral des Feldes).

Dies impliziert, dass die Divergenz an allen Punkten im Raum 0 sein muss.

Wenden wir die Divergenzformel auf Einheitsvektoren an, erhalten wir Folgendes:

1. Für den 3D-Raum

$\nabla \frac{1}{r} \hat{r} = \frac{1}{r}$

$\nabla \frac{1}{r^2} \hat{r} = 0$

$\nabla \frac{1}{r^3} \hat{r} = -\frac{1}{r^3}$

$\nabla \frac{1}{r^4} \hat{r} = -\frac{2}{r^5}$

Im 3D-Raum ist die Divergenz nur 0, wenn der Nenner das Quadrat von r ist. Daher sind Kräfte proportional zum umgekehrten Quadrat des Abstands von der Quelle.

2. Für 2D-Raum

$\nabla \frac{1}{r} \hat{r} = 0$

$\nabla \frac{1}{r^2} \hat{r} = -\frac{1}{r^3}$

Im 2D-Raum ist die Divergenz nur 0, wenn der Nenner gerade r ist. Daher sind Kräfte proportional zu umgekehrt von der Quelle.

3. Für 4D-Weltraum

$\nabla \frac{1}{r^3} \hat{r} = 0$

In einem 4-D-Raum ist die Divergenz nur dann 0, wenn der Nenner eine Kubikzahl von r ist. Daher sind die Kräfte proportional zum umgekehrten Würfel der Entfernung von der Quelle.

Verweise:

https://math.stackexchange.com/questions/2136837/divergence-of-vecf-frac1r2-hatr/2136857#2136857

Ich denke, Ihre Einschätzung ist richtig, wenn das Gaußsche Gesetz in einer zweidimensionalen Welt gilt, dann sollte die elektrostatische Kraft umgekehrt proportional zum Abstand zwischen Ladungen sein. Ich bin jedoch überhaupt nicht davon überzeugt, dass das Gaußsche Gesetz in einer zweidimensionalen Welt wahr sein könnte, weil$F_{q}=k \displaystyle \frac{qq'(r-r')}{|r-r'|^{3}}$ist eine Folge eines 3-dimensionalen Raums und da wir das Gaußsche Gesetz von einem solchen Kraftgesetz (genauer gesagt von seinem elektrischen Feld) ableiten, können wir die Gültigkeit des Gaußschen Gesetzes nicht unabhängig von einem dreidimensionalen Raum annehmen.