Elektrisches Feld und elektrisches Potential einer Punktladung in 2D und 1D

Das Coulomb-Potential hat für eine positive Ladung in jeder Dimensionalität folgende Formen:

$$\begin{align} \Phi_{\operatorname{1-d}}(r) &= -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} r, \\ \Phi_{\operatorname{2-d}}(r) &= -\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln(r),\ \mathrm{and} \\ \Phi_{\operatorname{3-d}}(r) &= \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{1}{r}\right). \end{align}$$ Der Grund dafür ist, dass das elektrische Feld, definiert als $-\nabla\Phi$allgemein u $-\dfrac{\partial\Phi}{\partial r} \hat{r}$in diesem Fall muss mal das Maß der Begrenzung eines "Balls" eine Konstante sein. In 1-d ist ein Ball eine Linie und das Maß seiner Grenze ist einfach die Anzahl der Punkte an seinen Enden (dh 2). In 2-D ist der Ball ein Kreis und das Maß seiner Begrenzung ist der Umfang (dh $2\pi r$). In 3-D ist der Ball eine Kugel und das Maß seiner Begrenzung ist die Oberfläche der Kugel ( $4\pi r^2$). Beachten Sie, dass dies genau die Größen im Nenner sind, wenn wir das elektrische Feld aus den Potentialen berechnen: $$\begin{align} \vec{E}_{\operatorname{1-d}}(r) &= \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left(\frac{\hat{r}}{2}\right), \\ \vec{E}_{\operatorname{2-d}}(r) &= \frac{\lambda}{\epsilon_0} \left(\frac{\hat{r}}{2\pi r}\right),\ \mathrm{and} \\ \vec{E}_{\operatorname{3-d}}(r) &= \frac{q}{\epsilon_0} \left(\frac{\hat{r}}{4\pi r^2}\right). \end{align}$$

Der Name des Gesetzes, das dies impliziert, ist als Gaußsches Gesetz bekannt.

Der Trick besteht darin, das Gaußsche Gesetz zu verwenden.

Angenommen, der Weltraum ist eine 2D-Ebene (Flachland!) Und es gibt eine Ladung$q$am Ursprung sitzen. Das Gesetz von Gauß besagt, dass, wenn wir die Ladung in eine 1-Sphäre einschließen$S$(alias ein Kreis), dann müssen wir haben$\int_S \langle \vec{E} , \vec{n}\rangle = 2 \pi q$(in bequemen Einheiten), wo$\vec{n}$ist der Normalenvektor zum Kreis. Wenn Sie davon ausgehen$\vec{E}$ist rotationssymmetrisch, d.h.$\vec{E} = E(r) \hat{r}$, daraus wird$E(r) 2\pi r = 2\pi q$, implizieren das$E(r) = q/r$. Integrieren eines Feldes, das wie geht$1/r$gibt Ihnen ein logarithmisches Potenzial.

Sie können auch das Gaußsche Gesetz in 1d verwenden und die Ladung in a einschließen$0$-Sphäre (zwei Punkte, gleich weit vom Ursprung entfernt). Ich überlasse es Ihnen, das zu versuchen.

Das Ableiten des elektrischen Felds für eine 2D-Welt kann auf verschiedene Weise erfolgen. Es würde davon abhängen, welches Verhalten der elektrostatischen Wechselwirkung Sie in dieser Welt bewahren möchten.

Wenn Sie Coulomb gefragt hätten, als er seinen Ausdruck für die Wechselwirkung veröffentlichte, hätte er wahrscheinlich gesagt, dass der Ausdruck derselbe sein sollte ($1/r^2$) nur dass die Entfernung$r$würde nur die beinhalten$x$Und$y$Maße$r^2=x^2+y^2$.

Wenn Gauß jedoch herausfand, dass das Flussintegral proportional zu der darin eingeschlossenen Ladung ist, dann ist das nicht so einfach zu beantworten. Denn wenn Sie davon ausgehen, dass ein 2D-Elektron a hat$1/r^2$Feld, dann würde eine solche Welt dem Gaußschen Gesetz nicht gehorchen. Und wenn Sie dieser Welt auferlegen, dem Gaußschen Gesetz zu folgen, dann hätte Coulomb, der in dieser 2D-Welt lebt, eine gefunden$1/r$Gesetz statt.

Welche der beiden Eigenschaften ist also grundlegender? Meiner Meinung nach ist das Gaußsche Gesetz, aber ich habe keine Möglichkeit, das zu beweisen, da es keine 2D-Welt gibt, mit der man experimentieren kann.

Meine Antwort auf Ihre Frage, das Buch, das Sie gelesen haben, basiert auf seiner Aussage über das elektrische Potential der Punktladung in 2D, indem stillschweigend angenommen wird, dass das Gaußsche Gesetz für jede Welt unabhängig von den Dimensionen gilt. Aber es gibt keinen Beweis für seine Richtigkeit.

Unabhängig von den Dimensionen ist die Poisson-Gleichung immer wahr. Das heißt, wenn$\phi$ist das elektrische Potential und$\rho$ist die Ladungsdichte dann,$\nabla^2\phi = \rho/\epsilon_0$. Die Green-Funktion dieser Gleichung erfüllt$\nabla^2 G(\vec{x},\vec{x}^\prime) = \delta(\vec{x} - \vec{x}^\prime)$.

Eine Fourier-Transformation dieser Gleichung ist$k^2G(\vec{k}) = 1$oder$G(\vec{k}) = 1/k^2$. Eine inverse 3D-Transformation ergibt$1/r$und eine inverse 2d-Transformation ergibt$\log r$Abhängigkeit. Man kann die Mathematik auch für den 1d-Fall machen, um a zu erhalten$r$Abhängigkeit.

Der entscheidende Punkt ist, dass die Fourier-Transformation der Green-Funktion der Laplace-Operator in beliebigen Dimensionen ist$1/k^2$. Das Potential aufgrund einer Punktladung ist nur die inverse Fourier-Transformation von$1/k^2$in entsprechend dimensioniertem Raum.