Informationen zu den kombinatorischen Konzepten finden (aus der Musiktheorie kommend)

Question

Informationen zu den kombinatorischen Konzepten finden (aus der Musiktheorie kommend)

Mathematik
Musiktheorie
Kombinatorik
zyklische Gruppen
Informationstheorie

Michael Seltenreich

In meiner Musiktheorie-Doktorarbeit über Tonleitern bin ich auf bestimmte Klassen von Tonleitern gestoßen, von denen ich glaube, dass sie Parallelen in der Mathematik haben könnten, und ich hoffe, Sie können mir dabei helfen, mehr über diese Klassen aus mathematischer Sicht zu erfahren (ich bin ziemlich unwissend in Mathematik).

In meiner Arbeit stelle ich Skalen als Sets an einer Kardinalitätskette dar $12$ . Die Knoten der Halskette sind daher markiert $0$ durch $11$ .

Unten ist der Satz[0 2 5 7 10]

Die Struktur kann sich in jedem manifestieren $12$ Erscheinungsformen:

Ich habe (musikalisch) festgestellt, dass bestimmte Scheiben einer Struktur die unterschiedlichen Mengen an Informationen über ihre Drehung offenbaren können.

Wie Sie oben sehen können, kann die Kombination [0 2]in 3 der 12 möglichen Drehungen der Skala erscheinen, während die Kombination [0 4]nur in einer Drehung erscheinen kann. Daher ist bezüglich der Menge [0 2 5 7 10]a [0 4]:

Diagnostische Kombination

Die betreffende Waage [0 2 5 7 10]hat $7$ solche diagnostischen Kombinationen:

[0 4]
[0 2 4]
[0 4 7] 
[0 4 9] 
[0 2 4 7]
[0 2 4 9] 
[0 4 7 9]

Da alle diese Kombinationen enthalten [0 4], sage ich, das [0 4]ist:

Identitätsfragment für diesen Satz.

Es gibt jedoch einige Sets, die zwar diagnostische Kombinationen, aber kein Identitätsfragment haben. Zum Beispiel hat der Satz [0 1 2 3 5]viele diagnostische Kombinationen (zum Beispiel [0 1 5]und [0 2 3]), aber kein Fragment ist allen gemeinsam. Das hat also kein Identitätsfragment.

Und doch gibt es eine andere Klasse von Sets, Sets, die ein Identitätsfragment haben (ein Fragment, das in allen diagnostischen Kombinationen vorkommt), bei denen das Identitätsfragment an sich jedoch nicht diagnostisch ist. Ein solches Beispiel ist der Satz [0 1 3 5 6 8 10], in dem alle diagnostischen Kombinationen enthalten [0 6], aber [0 6]selbst nicht diagnostisch sind (hat $2$ mögliche Manifestationen).

Ich frage mich, ob es in der Mathematik etablierte Arbeiten zu ähnlichen Konzepten gibt:

eine sogenannte diagnostische Kombination
ein sogenanntes Identitätsfragment
Und die Fälle, in denen das Identitätsfragment auch eine diagnostische Kombination ist und nicht.

Mein Bauchgefühl sagt mir, dass entweder Kombinatorik und/oder Informationstheorie mir helfen können, meine Erforschung dieser musikalischen Strukturen zu vertiefen. Habe ich recht?

José Arnaldo Bebita Dris

Zusätzlich zu Vezens Antwort möchten Sie vielleicht die Wikipedia-Seite zu Root of Unity - The besuchen

n^{th}

$n^{\text{th}}$ Wurzeln der Einheit bilden eine zyklische Gruppe. und einen Beweis dieser Tatsache von der entsprechenden Wiki-Seite .

Michael Seltenreich

Sowohl der Wiki-Eintrag als auch der Beweis liegen weit über meiner Gehaltsstufe, aber ich werde einige Zeit damit verbringen. Können Sie in Klartext sagen, was das allgemeine Prinzip einer "n-ten Einheitswurzel" ist? viel Jargon, den ich nicht kenne, aber super neugierig!

José Arnaldo Bebita Dris

Kennst du den Satz von De Moivre , @MichaelSeltenreich?

Michael Seltenreich

Jetzt mache ich. Dem kann ich folgen, aber das ist ungefähr so ausgefeilt, wie es mein schlechtes mathematisches Verständnis tun kann.

José Arnaldo Bebita Dris

Also lass

z = x + y i

$z = x + yi$ eine komplexe Zahl sein. (Das heißt, lass

z \in C

$z \in \mathbb{C}$ .) Dann

z

$z$ ist ein

n^{th}

$n^{\text{th}}$ Wurzel der Einheit, wenn

z^{n} = 1

$z^n = 1$ . Folgen Sie?

Michael Seltenreich

Ah! Ja! Ok, das hilft, danke

José Arnaldo Bebita Dris

Was sind zum Beispiel die Lösungen von

z^{2} = 1

$z^2 = 1$ ? Wir haben

z_{1} = x_{1} + y_{1} i = 1 = 1 + 0 \cdot i

$z_1 = x_1 + {y_1}i = 1 = 1 + 0\cdot{i}$ oder

z_{2} = x_{2} + y_{2} i = - 1 = - 1 + 0 \cdot i

$z_2 = x_2 + {y_2}i = -1 = -1 + 0\cdot{i}$ . Durch Gleichsetzen von Real- und Imaginärteil kannst du dann die Punkte plotten

z_{1} = (x_{1}, y_{1})

$z_1 = (x_1, y_1)$ Und

z_{2} = (x_{2}, y_{2})

$z_2 = (x_2, y_2)$ im Komplex (bzw

x

$x$ -

y

$y$ ) Ebene? Was fällt Ihnen außerdem an der Position der Punkte auf?

z_{1} = (x_{1}, y_{1})

$z_1 = (x_1, y_1)$ Und

z_{2} = (x_{2}, y_{2})

$z_2 = (x_2, y_2)$ relativ zueinander? Zum Schluss die Punkte

z_{1} = (x_{1}, y_{1})

$z_1 = (x_1, y_1)$ Und

z_{2} = (x_{2}, y_{2})

$z_2 = (x_2, y_2)$ erfüllen

z^{2} = 1

$z^2 = 1$ . Sondern der Modul der komplexen Zahl

z = x + y i

$z = x + yi$ Ist

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Somit...?

José Arnaldo Bebita Dris

freut mich, dass ich dir helfen konnte, @MichaelSeltenreich. =)

Richard1941

Indem Sie uns konsultieren, riskieren Sie, sich von der Musikgemeinschaft zu entfremden. Diese erste pentatonische Tonleiter gab mir den Blues ... und erforderte einen Überschlag an Loch 6, um zu spielen.

Michael Seltenreich

Fair genug, obwohl es tatsächlich viele mathematische Abhandlungen über Tonleitern gibt, die Jack Douthett viel über diesen Gelehrten schreibt.google.com/…

Antworten (1)

Informationen zu den kombinatorischen Konzepten finden (aus der Musiktheorie kommend)

Zusätzlich zu Vezens Antwort möchten Sie vielleicht die Wikipedia-Seite zu Root of Unity - The besuchen $n^{\text{th}}$ Wurzeln der Einheit bilden eine zyklische Gruppe. und einen Beweis dieser Tatsache von der entsprechenden Wiki-Seite .
Sowohl der Wiki-Eintrag als auch der Beweis liegen weit über meiner Gehaltsstufe, aber ich werde einige Zeit damit verbringen. Können Sie in Klartext sagen, was das allgemeine Prinzip einer "n-ten Einheitswurzel" ist? viel Jargon, den ich nicht kenne, aber super neugierig!
Jetzt mache ich. Dem kann ich folgen, aber das ist ungefähr so ausgefeilt, wie es mein schlechtes mathematisches Verständnis tun kann.
Also lass $z = x + yi$ eine komplexe Zahl sein. (Das heißt, lass $z \in \mathbb{C}$ .) Dann $z$ ist ein $n^{\text{th}}$ Wurzel der Einheit, wenn $z^n = 1$ . Folgen Sie?
Was sind zum Beispiel die Lösungen von $z^2 = 1$ ? Wir haben $z_1 = x_1 + {y_1}i = 1 = 1 + 0\cdot{i}$ oder $z_2 = x_2 + {y_2}i = -1 = -1 + 0\cdot{i}$ . Durch Gleichsetzen von Real- und Imaginärteil kannst du dann die Punkte plotten $z_1 = (x_1, y_1)$ Und $z_2 = (x_2, y_2)$ im Komplex (bzw $x$ - $y$ ) Ebene? Was fällt Ihnen außerdem an der Position der Punkte auf? $z_1 = (x_1, y_1)$ Und $z_2 = (x_2, y_2)$ relativ zueinander? Zum Schluss die Punkte $z_1 = (x_1, y_1)$ Und $z_2 = (x_2, y_2)$ erfüllen $z^2 = 1$ . Sondern der Modul der komplexen Zahl $z = x + yi$ Ist $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Somit...?
freut mich, dass ich dir helfen konnte, @MichaelSeltenreich. =)
Indem Sie uns konsultieren, riskieren Sie, sich von der Musikgemeinschaft zu entfremden. Diese erste pentatonische Tonleiter gab mir den Blues ... und erforderte einen Überschlag an Loch 6, um zu spielen.
Fair genug, obwohl es tatsächlich viele mathematische Abhandlungen über Tonleitern gibt, die Jack Douthett viel über diesen Gelehrten schreibt.google.com/…

Vezen BU · Answer 1

Danke für den interessanten Austausch! Nach meinem Verständnis hängt dies anscheinend mit der zyklischen Gruppe ( https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group ) zusammen, die sich auf einen einzelnen Punkt konzentriert, während Sie sich für die Kombination von Punkten interessieren.

Ich möchte Ihr Problem wie folgt formulieren: Wir nennen die Menge $\Omega = \{0, 1,2,3,...,11\}$ die vollständige Menge und jede Teilmenge $N \subset \Omega$ stellt ein Muster dar . Wir sortieren immer $N$ so dass $N = \{0 \leq N_1 < N_2 < \ldots < N_{|N|} \leq 11\}$ .

Für die diagnostische Kombination (DC) lassen Sie $DC(N)$ bezeichnen den Satz von diagnostischen Kombinationen von $N$ . Ganz klar, wenn $D$ ist ein DC von $N$ , Dann $(D + x)\mod 12$ ist auch ein DC von $N$ , für alle $x$ .

Daher, WLOG, können wir davon ausgehen, dass jedes Element in $DC(N)$ enthält $0$ . Für den einfachsten Fall, DCs mit zwei Elementen, berechnen wir zuerst alle paarweisen Abstände zwischen den Punkten in $N$ welches ist $(|N_j - N_i| \mod 12)_{i \neq j}$ . Danach können wir sofort DCs für jede einzigartige Entfernung haben. (Hier müssen wir z. B. auf die äquivalenten Distanzen achten $x$ Und $12 - x$ . Wir greifen zunächst nur die allgemeine Idee auf.) Jetzt gehen wir immer nähere Distanzen. Sehen Sie sich die Beispiele an, die Sie zuerst genannt haben.

(1) $N = \{0, 2,5,7,10\}$ . Die paarweisen Abstände sind

(2, 5, 5, 2, 3, 5, 4, 2, 5, 3),

$(2,5,5,2,3,5,4,2,5,3),$ Wo

4

$4$ ist einzigartig. Deshalb,

{0, 4}

$\{0, 4\}$ ist ein DC von

N

$N$ .

(2) Wir verallgemeinern unsere vorläufige Idee und überprüfen das Beispiel $N = \{0,1,2,3,5\}$ . Da Sie zwei DCs mit drei Elementen erwähnt haben , werden wir alle N-Tolen-Abstände überprüfen.

$\{0,1,2\} \rightarrow (0, 1, 2)$
$\{0,1,3\} \rightarrow (0, 1, 3)$
$\{0,1,5\} \rightarrow (0, 1, 5)$
$\{0,2,3\} \rightarrow (0, 2, 3)$
$\{0,2,5\} \rightarrow (0, 2, 5)$
$\{0,3,5\} \rightarrow (0, 3, 5)$
$\{1,2,3\} \rightarrow (0, 1, 2)$
$\{1,2,5\} \rightarrow (0, 1, 4)$
$\{1,3,5\} \rightarrow (0, 2, 4)$
$\{2,3,5\} \rightarrow (0, 1, 3)$

Das sehen wir beide $(0,1,5)$ Und $(0,2,3)$ (und mehr) sind einzigartig. Deshalb sind beide DCs.

(3) Für Ihr letztes Beispiel $N = \{0, 1, 3, 5, 6, 8, 10\}$ , $(0, 6)$ selbst ist aufgrund der äquivalenten Entfernungen, die wir oben erwähnt haben, etwas Besonderes $12 -6 = 6$ .

(4) In Bezug auf das Identitätsfragment (IF) möchten wir zunächst die Frage beantworten: welche Art von $N$ hast du ein IF? Mathematisch, $N$ hat ein IF if $DC(N)$ hat eine minimale Menge, die eine Teilmenge jedes Elements in ist $DC(N)$ , dh die Schnittmenge aller DCs ist auch eine DC.

(*) Wir haben auch eine ähnliche Idee Permutationszyklus ( https://mathworld.wolfram.com/PermutationCycle.html ). In ähnlicher Weise möchte ich den uns interessierenden Begriff Cyclic Cycle nennen .

(**) Kurz gesagt, ein DC ist eine Reihe von Punkten, die nur einmal perfekt aufeinander abgestimmt werden können, wenn Sie die Halskette um einen ganzen Kreis drehen ( $12$ Schritte). Daher glaube ich, dass DCs zyklische Symmetrie zeigen.

(***) Wir können das Problem auch rückwärts sehen. Wir legen eine Reihe von Punkten fest $D$ und studieren, welche Art von $N$ 'rasieren $D$ als DC oder IF.

(****) Seit $2^{12}$ klein ist, habe ich versucht, alle möglichen Fälle aufzuzählen. Zunächst möchte ich darauf hinweisen $N = \{0, 2, 5, 7, 10\}$ Die Aussage des OP muss geklärt werden. Speziell, $\{0, 4\}$ ist streng genommen kein IF, da zB $\{0,2,5,10\}$ ist auch ein DC davon $N$ , Aber $\{0,2,5,10\}$ ist zyklisch äquivalent zu $\{0,2,4,7\}$ durch Bewegung $10$ Zu $0$ . Nach meinem Verständnis ist die Definition von IF durch das OP die maximale $\tilde{D}$ so dass für jeden DC ein zyklisch äquivalenter enthält $\tilde{D}$ . Dieser Idee folgend habe ich folgenden Code geschrieben.

from collections import defaultdict, Counter
from itertools import chain, combinations, cycle
from tqdm import tqdm
import numpy as np


def powerset(iterable):
    # https://stackoverflow.com/a/1482316/14709977
    "powerset([1,2,3]) --> () (1,) (2,) (3,) (1,2) (1,3) (2,3) (1,2,3)"
    s = list(iterable)
    return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in range(len(s) + 1))


N2subpatterns = defaultdict(list)
for N in tqdm(powerset(range(1, 12)), total=2 ** 11):  # we assume 0 is always in N
    N = np.append([0], N)
    for n in N:
        N_with_n_at_0 = (N - n) % 12
        for subp in powerset(np.setdiff1d(N_with_n_at_0, 0)):
            N2subpatterns[tuple(sorted(N.astype(int)))].append(tuple(np.append([0], sorted(subp)).astype(int)))

N2representative = dict()
representative2Ns = defaultdict(set)
# representative2Ns[N2representative[A]] is the equivalent class containing A
for N in tqdm(N2subpatterns):
    N_arr = np.array(N)
    repr_N = min([tuple(np.sort((N_arr - n) % 12)) for n in N_arr])
    N2representative[N] = repr_N
    representative2Ns[repr_N].add(N)

N2DCs = {N: [set(s) for s in subps if subps.count(s) == 1] for N, subps in N2subpatterns.items()}
for N, DCs in N2DCs.items():
    if not DCs:
        continue
    subps_of_DCs = []
    for DC in DCs:
        DC = tuple(sorted(DC))
        subps_DC = set.union(*[set(N2subpatterns[tuple(DC_eq)]) for DC_eq in representative2Ns[N2representative[DC]]])
        subps_of_DCs.append(subps_DC)
    IFs = set.intersection(*subps_of_DCs) - {(0,)}
    IFs = set(N2representative[IF] for IF in IFs)
    if len(IFs) == 1:
        IF = min(IFs)
        print(f'N = {N}')
        print(f'IF = {IF}')
        DC_reprs = set(N2representative[tuple(sorted(DC))] for DC in DCs)
        DC_eq_containing_IF = [tuple(sorted(DC)) for DC in DC_reprs if set(IF).issubset(set(DC))]
        print(f'DCs are {DC_eq_containing_IF}')
        print()

Unten sind die vollständigen Ergebnisse für alle $N$ 's mit einem IF (aufgrund der Längenbegrenzung überprüfen Sie bitte https://docs.google.com/document/d/1XjAfKi6_hxUcu5QKdZIA2wi06u0s9z7JtkWk5mWlVPI/edit?usp=sharing ):

N = (0, 1, 2)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 1, 2}]

N = (0, 1, 11)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 1, 2}]

N = (0, 2, 4)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}]

N = (0, 2, 7)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 2, 7}]

N = (0, 2, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}]

N = (0, 5, 7)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 2, 7}]

N = (0, 5, 10)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 2, 7}]

N = (0, 8, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}]

N = (0, 10, 11)
IF = (0, 2)
DCs are [{0, 2}, {0, 1, 2}]

N = (0, 1, 2, 3)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}]

N = (0, 1, 2, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}]

N = (0, 1, 10, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}]

N = (0, 2, 5, 7)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 10, 3, 5}]

N = (0, 2, 7, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 10, 3, 5}]

N = (0, 3, 5, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 10, 3, 5}]

N = (0, 5, 7, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 10, 3, 5}]

N = (0, 9, 10, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}]

N = (0, 1, 2, 3, 4)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 1, 2, 3, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 1, 2, 10, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 1, 4, 5, 8)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 1, 4, 5}, {0, 1, 4, 5, 8}, {0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}, {0, 3, 4, 7}, {0, 11, 4, 7}]

N = (0, 1, 4, 5, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}, {0, 1, 4, 5}, {0, 1, 4, 9}, {0, 9, 4, 5}, {0, 1, 4, 5, 9}]

N = (0, 1, 4, 8, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 1, 4, 9}, {0, 1, 4, 8, 9}, {0, 9, 4, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}]

N = (0, 1, 5, 8, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 11, 4, 7}, {0, 4, 7, 8, 11}, {0, 3, 4, 7}, {0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}, {0, 1, 4, 5}]

N = (0, 1, 9, 10, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 2, 4, 7, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 2, 5, 7, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 2, 5, 7, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 3, 4, 7, 8)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 7, 8}, {0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}, {0, 1, 4, 5}, {0, 9, 4, 5}]

N = (0, 3, 4, 7, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}, {0, 3, 4, 7}, {0, 11, 3, 4}, {0, 11, 4, 7}, {0, 3, 4, 7, 11}]

N = (0, 3, 4, 8, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 11, 3, 4}, {0, 3, 4, 8, 11}, {0, 11, 4, 7}, {0, 3, 4, 7}, {0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}]

N = (0, 3, 5, 7, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 3, 5, 8, 10)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 2, 4}, {0, 4, 7}, {0, 9, 4}, {0, 2, 4, 7}, {0, 9, 2, 4}, {0, 9, 4, 7}, {0, 2, 4, 7, 9}]

N = (0, 3, 7, 8, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 9, 4, 5}, {0, 4, 5, 8, 9}, {0, 1, 4, 5}, {0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}, {0, 3, 4, 7}]

N = (0, 4, 5, 8, 9)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 9, 4, 5}, {0, 4, 5, 8, 9}, {0, 1, 4, 5}, {0, 3, 4}, {0, 4, 7}, {0, 11, 4}, {0, 3, 4, 7}]

N = (0, 4, 7, 8, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 11, 4, 7}, {0, 4, 7, 8, 11}, {0, 3, 4, 7}, {0, 1, 4}, {0, 4, 5}, {0, 9, 4}, {0, 1, 4, 5}]

N = (0, 8, 9, 10, 11)
IF = (0, 4)
DCs are [{0, 4}, {0, 1, 4}, {0, 2, 4}, {0, 3, 4}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 5)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 2, 3, 10, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 2, 9, 10, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 3, 4, 6, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 1, 3, 4, 9}, {0, 1, 3, 4, 6, 9}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 8, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 8, 3, 11}, {0, 2, 3, 5, 8}, {0, 3, 5, 8, 11}]

N = (0, 1, 3, 4, 7, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 1, 10, 3}, {0, 3, 4, 7}, {0, 10, 3, 4}, {0, 10, 3, 7}, {0, 1, 3, 4, 7}, {0, 1, 3, 4, 10}, {0, 1, 3, 7, 10}, {0, 3, 4, 7, 10}, {0, 1, 3, 4, 7, 10}]

N = (0, 1, 3, 5, 8, 10)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 1, 3, 6, 9, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 10, 3}, {0, 1, 3, 6, 10}, {0, 1, 3, 9, 10}, {0, 1, 3, 6, 9, 10}, {0, 10, 3, 7}, {0, 3, 6, 7, 10}, {0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 6, 7}, {0, 1, 3, 4}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 8, 2, 3}, {0, 11, 3, 5}]

N = (0, 1, 4, 7, 9, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 8, 3, 11}, {0, 3, 6, 8, 11}, {0, 3, 8, 9, 11}, {0, 3, 6, 8, 9, 11}, {0, 8, 3, 5}, {0, 3, 5, 6, 8}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 10, 3, 4}]

N = (0, 1, 8, 9, 10, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 2, 3, 5, 6, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 2, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 2, 3, 5, 9}, {0, 2, 3, 5, 6, 9}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 3, 4, 7}, {0, 10, 3, 4}, {0, 10, 3, 7}, {0, 1, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 7, 10}]

N = (0, 2, 3, 5, 7, 10)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 2, 3, 5, 8, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 11, 2, 3}, {0, 8, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 8, 3, 11}, {0, 2, 3, 5, 8}, {0, 2, 3, 5, 11}, {0, 2, 3, 8, 11}, {0, 3, 5, 8, 11}, {0, 2, 3, 5, 8, 11}]

N = (0, 2, 3, 6, 9, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 11, 2, 3}, {0, 2, 3, 6, 11}, {0, 2, 3, 9, 11}, {0, 2, 3, 6, 9, 11}, {0, 8, 3, 11}, {0, 3, 6, 8, 11}, {0, 8, 3, 5}, {0, 3, 5, 6, 8}, {0, 2, 3, 5}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 7}, {0, 10, 3, 4}]

N = (0, 2, 4, 5, 7, 9)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 2, 4, 7, 9, 11)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 2, 5, 7, 9, 10)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 2, 5, 8, 9, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 10, 3, 7}, {0, 3, 6, 7, 10}, {0, 3, 7, 9, 10}, {0, 3, 6, 7, 9, 10}, {0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 6, 7}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 11, 3, 5}]

N = (0, 3, 4, 6, 7, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 6, 7}, {0, 3, 4, 7, 9}, {0, 3, 4, 6, 7, 9}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 8, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 8}]

N = (0, 3, 5, 6, 8, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 8, 3, 5}, {0, 3, 5, 6, 8}, {0, 3, 5, 8, 9}, {0, 3, 5, 6, 8, 9}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 3, 4, 7}, {0, 10, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 7}]

N = (0, 3, 5, 7, 8, 10)
IF = (0, 1)
DCs are [{0, 1}, {0, 1, 3}, {0, 1, 5}, {0, 1, 8}, {0, 1, 10}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 10, 3}, {0, 1, 5, 8}, {0, 1, 10, 5}, {0, 1, 10, 8}, {0, 1, 3, 5, 8}, {0, 1, 3, 5, 10}, {0, 1, 3, 8, 10}, {0, 1, 5, 8, 10}, {0, 1, 3, 5, 8, 10}]

N = (0, 3, 6, 7, 9, 10)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 10, 3, 7}, {0, 3, 6, 7, 10}, {0, 3, 7, 9, 10}, {0, 3, 6, 7, 9, 10}, {0, 3, 4, 7}, {0, 3, 4, 6, 7}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 2, 3}, {0, 3, 5}, {0, 8, 3}, {0, 11, 3}, {0, 2, 3, 5}, {0, 8, 2, 3}, {0, 11, 3, 5}]

N = (0, 3, 6, 8, 9, 11)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 8, 3, 11}, {0, 3, 6, 8, 11}, {0, 3, 8, 9, 11}, {0, 3, 6, 8, 9, 11}, {0, 8, 3, 5}, {0, 3, 5, 6, 8}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 1, 3}, {0, 3, 4}, {0, 3, 7}, {0, 10, 3}, {0, 1, 3, 4}, {0, 1, 3, 7}, {0, 10, 3, 4}]

N = (0, 7, 8, 9, 10, 11)
IF = (0, 5)
DCs are [{0, 5}, {0, 1, 5}, {0, 2, 5}, {0, 3, 5}, {0, 4, 5}, {0, 1, 2, 5}, {0, 1, 3, 5}, {0, 1, 4, 5}, {0, 2, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}, {0, 1, 3, 4, 5}, {0, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
IF = (0, 6)
DCs are [{0, 1, 6}, {0, 2, 6}, {0, 3, 6}, {0, 4, 6}, {0, 5, 6}, {0, 1, 2, 6}, {0, 1, 3, 6}, {0, 1, 4, 6}, {0, 1, 5, 6}, {0, 2, 3, 6}, {0, 2, 4, 6}, {0, 2, 5, 6}, {0, 3, 4, 6}, {0, 3, 5, 6}, {0, 4, 5, 6}, {0, 1, 2, 3, 6}, {0, 1, 2, 4, 6}, {0, 1, 2, 5, 6}, {0, 1, 3, 4, 6}, {0, 1, 3, 5, 6}, {0, 1, 4, 5, 6}, {0, 2, 3, 4, 6}, {0, 2, 3, 5, 6}, {0, 2, 4, 5, 6}, {0, 3, 4, 5, 6}, {0, 1, 2, 3, 4, 6}, {0, 1, 2, 3, 5, 6}, {0, 1, 2, 4, 5, 6}, {0, 1, 3, 4, 5, 6}, {0, 2, 3, 4, 5, 6}, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 11)
IF = (0, 6)
DCs are [{0, 6, 7}, {0, 8, 6}, {0, 9, 6}, {0, 10, 6}, {0, 11, 6}, {0, 8, 6, 7}, {0, 9, 6, 7}, {0, 10, 6, 7}, {0, 11, 6, 7}, {0, 8, 6, 9}, {0, 8, 10, 6}, {0, 8, 11, 6}, {0, 9, 10, 6}, {0, 9, 11, 6}, {0, 10, 11, 6}, {0, 6, 7, 8, 9}, {0, 6, 7, 8, 10}, {0, 6, 7, 8, 11}, {0, 6, 7, 9, 10}, {0, 6, 7, 9, 11}, {0, 6, 7, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10}, {0, 6, 8, 9, 11}, {0, 6, 8, 10, 11}, {0, 6, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10}, {0, 6, 7, 8, 9, 11}, {0, 6, 7, 8, 10, 11}, {0, 6, 7, 9, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 3, 4, 10, 11)
IF = (0, 6)
DCs are [{0, 6, 7}, {0, 8, 6}, {0, 9, 6}, {0, 10, 6}, {0, 11, 6}, {0, 8, 6, 7}, {0, 9, 6, 7}, {0, 10, 6, 7}, {0, 11, 6, 7}, {0, 8, 6, 9}, {0, 8, 10, 6}, {0, 8, 11, 6}, {0, 9, 10, 6}, {0, 9, 11, 6}, {0, 10, 11, 6}, {0, 6, 7, 8, 9}, {0, 6, 7, 8, 10}, {0, 6, 7, 8, 11}, {0, 6, 7, 9, 10}, {0, 6, 7, 9, 11}, {0, 6, 7, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10}, {0, 6, 8, 9, 11}, {0, 6, 8, 10, 11}, {0, 6, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10}, {0, 6, 7, 8, 9, 11}, {0, 6, 7, 8, 10, 11}, {0, 6, 7, 9, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 3, 6, 7, 8)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 3, 6}, {0, 3, 7}, {0, 8, 3}, {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 6}, {0, 1, 3, 7}, {0, 1, 3, 8}, {0, 2, 3, 6}, {0, 2, 3, 7}, {0, 8, 2, 3}, {0, 3, 6, 7}, {0, 8, 3, 6}, {0, 8, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 6}, {0, 1, 2, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 8}, {0, 1, 3, 6, 7}, {0, 1, 3, 6, 8}, {0, 1, 3, 7, 8}, {0, 2, 3, 6, 7}, {0, 2, 3, 6, 8}, {0, 2, 3, 7, 8}, {0, 3, 6, 7, 8}, {0, 1, 2, 3, 6, 7}, {0, 1, 2, 3, 6, 8}, {0, 1, 2, 3, 7, 8}, {0, 1, 3, 6, 7, 8}, {0, 2, 3, 6, 7, 8}, {0, 1, 2, 3, 6, 7, 8}, {0, 3, 4}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 11, 3}, {0, 3, 4, 5}, {0, 10, 3, 4}, {0, 11, 3, 4}, {0, 10, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 11, 10, 3}, {0, 3, 4, 5, 10}, {0, 3, 4, 5, 11}, {0, 3, 4, 10, 11}, {0, 3, 5, 10, 11}, {0, 3, 4, 5, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 3, 7, 8, 9)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 3, 7}, {0, 8, 3}, {0, 9, 3}, {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 7}, {0, 1, 3, 8}, {0, 1, 3, 9}, {0, 2, 3, 7}, {0, 8, 2, 3}, {0, 9, 2, 3}, {0, 8, 3, 7}, {0, 9, 3, 7}, {0, 8, 3, 9}, {0, 1, 2, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 8}, {0, 1, 2, 3, 9}, {0, 1, 3, 7, 8}, {0, 1, 3, 7, 9}, {0, 1, 3, 8, 9}, {0, 2, 3, 7, 8}, {0, 2, 3, 7, 9}, {0, 2, 3, 8, 9}, {0, 3, 7, 8, 9}, {0, 1, 2, 3, 7, 8}, {0, 1, 2, 3, 7, 9}, {0, 1, 2, 3, 8, 9}, {0, 1, 3, 7, 8, 9}, {0, 2, 3, 7, 8, 9}, {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}, {0, 3, 4}, {0, 3, 5}, {0, 10, 3}, {0, 11, 3}, {0, 3, 4, 5}, {0, 10, 3, 4}, {0, 11, 3, 4}, {0, 10, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 11, 10, 3}, {0, 3, 4, 5, 10}, {0, 3, 4, 5, 11}, {0, 3, 4, 10, 11}, {0, 3, 5, 10, 11}, {0, 3, 4, 5, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 3, 9, 10, 11)
IF = (0, 6)
DCs are [{0, 6, 7}, {0, 8, 6}, {0, 9, 6}, {0, 10, 6}, {0, 11, 6}, {0, 8, 6, 7}, {0, 9, 6, 7}, {0, 10, 6, 7}, {0, 11, 6, 7}, {0, 8, 6, 9}, {0, 8, 10, 6}, {0, 8, 11, 6}, {0, 9, 10, 6}, {0, 9, 11, 6}, {0, 10, 11, 6}, {0, 6, 7, 8, 9}, {0, 6, 7, 8, 10}, {0, 6, 7, 8, 11}, {0, 6, 7, 9, 10}, {0, 6, 7, 9, 11}, {0, 6, 7, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10}, {0, 6, 8, 9, 11}, {0, 6, 8, 10, 11}, {0, 6, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10}, {0, 6, 7, 8, 9, 11}, {0, 6, 7, 8, 10, 11}, {0, 6, 7, 9, 10, 11}, {0, 6, 8, 9, 10, 11}, {0, 6, 7, 8, 9, 10, 11}]

N = (0, 1, 2, 5, 6, 7, 8)
IF = (0, 3)
DCs are [{0, 3, 4}, {0, 3, 5}, {0, 3, 6}, {0, 10, 3}, {0, 11, 3}, {0, 3, 4, 5}, {0, 3, 4, 6}, {0, 10, 3, 4}, {0, 11, 3, 4}, {0, 3, 5, 6}, {0, 10, 3, 5}, {0, 11, 3, 5}, {0, 10, 3, 6}, {0, 11, 3, 6}, {0, 11, 10, 3}, {0, 3, 4, 5, 6}, {0, 3, 4, 5, 10}, {0, 3, 4, 5, 11}, {0, 3, 4, 6, 10}, {0, 3, 4, 6, 11}, {0, 3, 4, 10, 11}, {0, 3, 5, 6, 10}, {0, 3, 5, 6, 11}, {0, 3, 5, 10, 11}, {0, 3, 6, 10, 11}, {0, 3, 4, 5, 6, 10}, {0, 3, 4, 5, 6, 11}, {0, 3, 4, 5, 10, 11}, {0, 3, 4, 6, 10, 11}, {0, 3, 5, 6, 10, 11}, {0, 3, 4, 5, 6, 10, 11}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {0, 3, 7}, {0, 8, 3}, {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 7}, {0, 1, 3, 8}, {0, 2, 3, 7}, {0, 8, 2, 3}, {0, 8, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 7}, {0, 1, 2, 3, 8}, {0, 1, 3, 7, 8}, {0, 2, 3, 7, 8}, {0, 1, 2, 3, 7, 8}]

Vielen Dank für die Formalisierung meiner Frage und das Hinzufügen einiger Informationen. Auch vielen Dank für das Zeigen, wie man DCs identifiziert. Allerdings interessiere ich mich weniger für einen Algorithmus. Vielmehr würde ich gerne wissen, ob ich aus mathematischer Sicht irgendetwas über diese DCs lernen kann, das ich nicht bereits musikalisch enthüllt habe. Verrät die Anzahl der für einen DC notwendigen Elemente etwas über die Menge? Sagt dies etwas über die Komprimierbarkeit der Halskette oder irgendetwas aus der Informationstheorie aus? Was kann ich mathematisch über diese Klassen von Mengen lernen? Hoffe, ich bin nicht zu vage.
Kurz gesagt, ein DC ist eine Reihe von Punkten, die nur einmal perfekt aufeinander abgestimmt werden können, wenn Sie die Halskette um einen ganzen Kreis drehen (12 Schritte). Daher glaube ich, dass DCs zyklische Symmetrie zeigen.
Irgendetwas Interessantes über "Identitätsfragmente" oder wann das Identitätsfragment diagnostisch ist und wann nicht? Das heißt, ich finde es interessant (aber vielleicht trivial), dass in einigen Mengen wie 0 2 5 7 10 DCs 0 4 enthalten müssen. Aber andere Mengen wie 0 1 2 3 5 haben kein Gefühl der Selbstähnlichkeit zwischen ihnen. Bin mir nicht sicher ob es was ist.
Über das Identitätsfragment: Betrachten Sie die Menge [0 3 4 7 8]. Jeder DC dieses Satzes enthält [0 4] (ein Intervall der Größe 4), aber [0 4] selbst ist nicht diagnostisch. Es gibt viele Beispiele, die nicht [0 6] sind. [0 4] wäre auch ein IF für [0 1 4 5 8]
Ich zeige ein Gegenbeispiel in (****). Meinen Sie für Ihre Aussage, dass {0, 2, 5, 10} als {0, 2, 4, 7} ausgedrückt werden sollte?

Informationen zu den kombinatorischen Konzepten finden (aus der Musiktheorie kommend)

Michael Seltenreich

José Arnaldo Bebita Dris

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Vezen BU

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Paradox: Wurzeln eines Polynoms erfordern weniger Informationen zum Ausdrücken als Koeffizienten?

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Random Walk, der bei 0 beginnt, in 2 Schritten, 3 Schritten, 4 Schritten usw. +2 erreicht? [Duplikat]

Wahrscheinlichkeit, dass zwei bestimmte Elemente in einer zufälligen Partition mit festen Größen gruppiert sind

Beweisen Sie: ∑kk(mk)(nk)=n(m+n−1n)∑kk(mk)(nk)=n(m+n−1n)\sum_k k \binom{m}{k} \binom{ n}{k} = n\binom{m+n-1}{n}

Ein zusammenhängender maximaler Graph GGG ohne Zyklen der Länge mindestens k+1k+1k+1 hat |V(G)|≤k|V(G)|≤k|V(G)| \leq k oder hat einen Schnittpunkt, wenn k≥2k≥2k \geq 2

Warum entsteht diese Wiederholungsbeziehung, wenn nnn kkk wählt? [Duplikat]

Fibonacci-Zahlen-Lösung für diese Wiederholungsbeziehung

Wie viele nahezu perfekte Permutationen gibt es?