Integral mit zwei Energie-Green-Funktionen

Wie von Philip Cherian vorgeschlagen, möchten Sie vielleicht im Abschnitt Mathematik nachsehen. Ich möchte jedoch auf eine Sache hinweisen, wie man mit dem Limit umgeht.

Ich gehe davon aus$|\vec{k}|\ne 0$. Das erste, was Sie tun möchten, ist, jeden Propagator in seinen Real- und Imaginärteil zu trennen. Allgemein,

$$\lim_{\delta \rightarrow 0^+}\frac{1}{E-E(q)+i\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+}\left[\frac{1}{E-E(q)}-i\frac{\delta}{[E-E(q)]^2 + \delta^2}\right],$$ wobei ich oben und unten mit dem komplex Konjugierten des Nenners multipliziert und die vernachlässigt habe $\delta^2$im Nenner des Realteils, da er einfach verschwindet, wenn Sie die Grenze nehmen. Dann verwenden Sie die Identität $$\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\frac{\delta}{[E-E(q)]^2+\delta^2} = \pi\delta(E-E(q)),$$ das heißt, das Dirac-Delta. Was Sie bekommen, ist $$\begin{split}&\int d^3q\,\left[\frac{1}{E-E(q)}-i\pi\delta(E-E(q)) \right]\left[\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)}-i\pi\delta(E-E(\vec{q}+\vec{k})) \right]\\ &=\int d^3q\,\frac{1}{E-E(q)}\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)} + i\pi\int d^3q\,\left[ \frac{\delta(E-E(q))}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)} + \frac{\delta(E-E(|\vec{q}+\vec{k}|))}{E-E(q)} \right]. \end{split}$$

Beachten Sie das, da ich annehme$k\ne 0$, muss das Produkt zweier Dirac-Deltas verschwinden, weil ihre Argumente niemals gleichzeitig Null sind. Sie können das Integral leicht mit den Dirac-Deltas auswerten. Erinnern Sie sich daran, da die Dispersion quadratisch ist$q$, müssen Sie bestimmte Regeln beachten, wenn Sie Variablen ändern. Das ergibt den Imaginärteil des Integrals. Ich habe keinen wirklichen Rat, wie man den Realteil auswertet

$$\mathrm{Re}\{I(\vec{k})\}=\int d^3q\,\frac{1}{E-E(q)}\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)},$$ außer um zu überprüfen, ob Sie es wirklich brauchen. Je nachdem, welches Problem Sie lösen, brauchen Sie manchmal nur den Imaginärteil. Andererseits empfehle ich Ihnen auch, zu überprüfen, ob beide Nenner vorhanden sind $I(\vec{k})$haben $+i \epsilon$, statt eines mit $+i \epsilon$und der andere $-i\epsilon$. Ich sage das, weil dieser Ausdruck wie die skelettartige Annäherung an eine Polarisationsblase aussieht, die das Produkt eines retardierten und eines fortgeschrittenen Propagators ist, wobei in diesem Fall ihre imaginären Teile entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Dies ist eine Modifikation klassischer Manipulationen, die bei der Berechnung von Schleifenintegralen durchgeführt werden. Das zu verwendende Werkzeug wird normalerweise als "Feynman-Parameter" bezeichnet. Einfügen in die Definitionen von$E _i$und definieren$m ^2 \equiv 2 E$um eine Verbindung zu den üblichen Berechnungen herzustellen, die ich finde (ich lasse die$\epsilon$da sie hier irrelevant sind):

$$\begin{align} \frac{1}{2} I & = \int d^3q \frac{1}{ ( q ^2 - m ^2 ) ( ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} ) ^2 - m ^2 ) } \\ & = \int _0 ^1 dx \int d^3q \frac{1}{ \left[ ( ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} ) ^2 - m ^2 ) x + ( q ^2 - m ^2 ) ( 1 - x ) \right] ^2 } \end{align}$$ Erweitern und Umschreiben des Ausdrucks ein wenig ergibt, $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \int _0 ^1 d x \int d^3q \frac{1}{ \left[ ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} x ) ^2 - {\mathbf{k}} ^2 x ^2 + {\mathbf{k}} ^2 x - m ^2 \right] ^2 } \end{equation}$$ Jetzt verschiebe ich die Integralvariable, die ich finde: $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \int _0 ^1 d x \int d^3q \frac{1}{ \left[ {\mathbf{q}} ^2 + \Delta \right] ^2 } \end{equation}$$ Wo $\Delta \equiv - {\mathbf{k}} ^2 x ^2 + {\mathbf{k}} ^2 x - m ^2$. Der Winkelteil des Integrals ist jetzt trivial und das Radialintegral ist einfach. Ich finde, $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \pi ^2 \int _0 ^1 d x \Delta ^{ - 1/2} \end{equation}$$ Der $x$integral bleibt normalerweise unberührt, aber ich vermute, dass Sie in diesem Fall auch versuchen könnten, dies auszuführen.