Integralkurven, die zu konzentrischen Kreisen führen

Ich möchte die Integralkurven dieses Vektorfeldes herausfinden:

v → = X ∂ / ∂ j − j ∂ / ∂ X .
Gegeben sei die Gleichung für Integralkurven:
D X ich / D λ = v ich ( X J )
Ich bekomme:
D X 1 / D λ = D X / D λ = − j
D X 2 / D λ = D j / D λ = X .
Differenziert man diese beiden Gleichungen bzgl λ Ich bekomme zwei Differentialgleichungen 2. Ordnung:
D 2 X / D λ 2 = − X
D 2 j / D λ 2 = − j .
Die Lösungen dieser Gleichungen sind offensichtlich Sinuskurven. Aber hier bin ich verwirrt: Für ODEs 2. Ordnung brauchen wir zwei Anfangsbedingungen, also haben wir vier Anfangsbedingungen, aber soweit ich weiß, ist die Integralkurvengleichung ein Satz von zwei ODEs erster Ordnung, also sollten sie insgesamt erforderlich sein nur 2 Anfangsbedingungen.

Verwenden X ' = − j Und j ' = X , Ihre zwei Anfangsbedingungen werden zu vier.
Ah ok ich habs. Danke
Wäre Mathematik ein besseres Zuhause für diese Frage?
@Qmechanic vielleicht würde es das. Aber ich tat dies für ein Seminar über geometrische Methoden in der mathematischen Physik.

Antworten (1)

Die Lösungen für die ODEs zweiter Ordnung sind:

X ( λ ) = A C Ö S ( λ ) + B S ich N ( λ )
j ( λ ) = C C Ö S ( λ ) + D S ich N ( λ )
Mit den Ausgangsbedingungen
X ( 0 ) = X 0 j ( 0 ) = j 0
Das bekommt man hin A = X 0 Und B = j 0 . Mit den ODEs erster Ordnung kann man das leicht finden B = − j 0 Und D = X 0

Integralkurven, die zu konzentrischen Kreisen führen
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