Integrieren von log(−ix)exp(−ix)/x2log⁡(−ix)exp⁡(−ix)/x2\log(-ix)\exp(-ix)/x^2

Ich möchte ein paar Integrale wie berechnen

∫ − ∞ ∞ Protokoll ⁡ ( − ich X ) exp ⁡ ( − ich X ) X 2 D X
Um es klar zu sagen, hier ist der Weg der Integration wirklich z = ϵ ich + X , so dass es die Singularität at vermeidet X = 0 , und der Ast abgeschnitten Protokoll . Dieser Ausdruck ist in mehrfacher Hinsicht „brav“: Er fällt schneller ab als 1 / X 3 / 2 auf der realen Linie, so dass es anständig schnell konvergiert; tatsächlich fällt überall in der unteren Halbebene schnell ab z . Exponentiell schnell, dank der exp Begriff. Die Funktion ist überall holomorph, mit Ausnahme des Astschnitts bei X ≤ 0 , also kann ich es ziemlich leicht verformen.

Der Protokoll ⁡ exp ⁡ / X k Form scheint unmöglich, eine Stammfunktion zu finden. Das scheint also etwas zu sein, das mit dem Cauchy-Residuensatz und verwandten Tricks machbar sein sollte. Die Funktion wächst schnell auf der oberen Halbebene, daher kann ich sie nicht einfach "nach oben und weg" verformen und zeigen, dass sie Null ist. Man kann es leicht auf eine Schlüssellochkontur um den Astschnitt reduzieren, aber weder der Term "entlang des Schnitts" noch der Term "um die Stange herum" sind Null, sie hängen beide vom Radius des Schlüssellochs ab und keiner scheint analytisch lösbar zu sein.

Hat jemand Tricks um das in den Griff zu bekommen?

Wie lautet also Ihre Frage in einem Satz?
Wie werte ich dieses Integral aus?
Wenn Sie mit "eine Linie" meinen, den Ast auf und ab zu gehen, ja, das habe ich mit "Schlüsselloch" gemeint. Vielleicht habe ich den Begriff falsch verwendet. Ich sehe nicht, wie das Aufteilen des Protokolls hilft, außer dass es (verwirrenderweise) bedeutet, dass wir einen Zweigschnitt an einer nicht standardmäßigen Stelle verwenden müssen.
Meinen wir dieselbe Zeile? [ − ∞ + ich ε , ∞ + ich ε ] ?
Oh, Entschuldigung, nein. Das Schlüsselloch, auf das ich mich bezog, geht von − ϵ − ich ∞ bis zu − ϵ , dann um den Ursprung herum + ϵ , dann nach unten + ϵ − ich ∞ . Es würde den Astschnitt und die Stange "umarmen" und mir am einfachsten erscheinen, darüber nachzudenken.
Ist dieses Integral gleich Null?
Nein, es geht um -2,65643.

Antworten (1)

Vorausgesetzt ϵ > 0 , das gegebene Integral, nach der Substitution − ich X = z , Ist

ich ∫ ϵ − ich ∞ ϵ + ich ∞ z − 2 e z Protokoll ⁡ z D z = − ich F ' ( 2 ) , F ( S ) = ∫ ϵ − ich ∞ ϵ + ich ∞ z − S e z D z = 2 π ich Γ ( S )
(Die letzte Gleichheit ist im Grunde Hankels Integral ). Das Endergebnis ist dann − 2 π ( 1 − γ ) .

Fantastisch! Danke schön. Und in der Tat ist dies systematisch genug, ich denke, ich kann es schaffen, es an ein paar andere verwandte Integrale anzupassen, die ich auch brauchte.
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