Intensität von Nebenmaxima in einem Beugungsgittermuster?

Das Intensitätsmuster für mehrere Schlitze ist ziemlich kompliziert.

Es ist das Ergebnis von zwei Effekten, der "Beugung" des Lichts durch jeden der Schlitze und der Interferenz des Lichts von jedem der Schlitze.

Das Beugungsgitter kann man sich also vorstellen als$N$Schlitze jeweils der Breite$b$und Mitte-zu-Mitte-Trennung$a$.

Die Intensität$I(\theta)$Muster für eine solche Anordnung ist gegeben durch

Wo$I_o$ist die Intensität bei$\theta =0$erzeugt durch einen einzigen Schlitz,$\beta = \dfrac {\pi b}{\lambda}\sin\theta,\;\alpha= \dfrac {\pi a}{ \lambda}\sin\theta$Und$\lambda$ist die Wellenlänge des Lichts.

Der erste Term in Klammern ist die Beugungshüllkurve, die das Interferenzmuster moduliert, das durch die mehreren Schlitze erzeugt wird.
Ich gehe davon aus, dass die Schlitzbreite$b$klein genug ist, so dass das Beugungsmuster sehr breit ist und die nachfolgende Analyse nicht sehr beeinflusst.

Der zweite Term ist derjenige, der die Hauptmaxima und die Nebenmaxima erzeugt.

Hauptmaxima treten auf, wenn$\dfrac{\sin N\alpha}{\sin \alpha}=N$was passiert wann$\alpha = 0,\,\pm\pi,\, \pm2\pi, \pm3\pi . . . .$
Dies ist konsistent mit der normalen Gittergleichung$n\lambda= a \sin \theta$
Die Intensität der Hauptmaxima ist$N^2I_o$.

Sekundäre Minima treten auf, wenn$\dfrac{\sin N\alpha}{\sin \alpha}=0$und das ist wann$\alpha = \pm \frac {\pi}{N},\, \pm \frac {2\pi}{N}, \, \pm \frac {3\pi}{N} . . . .$und es wird geben$N-1$von ihnen.

Zwischen diesen Nebenminima liegen Nebenmaxima bei Werten von ungefähr$\alpha = \pm \frac {3\pi}{2N},\,\pm \frac {5\pi}{2N},\,\pm \frac {7\pi}{2N},\, . . . .$und es wird geben$N-2$von ihnen.

Das nächste Stück überraschte mich.

Wenn$\sin N\alpha=1$,$N$ist groß u$\alpha$ist dann klein$\sin \alpha \approx \alpha$.
Die Intensität des ersten Nebenmaximums ist$N^2I_o \left (\frac{2}{3 \pi}\right)^2$welches ist$5\%$der Hauptmaximalintensität.

Das war eine Überraschung, weil ich immer zu der Annahme verleitet wurde, dass die Intensität dieses Nebenmaximums viel, viel kleiner sein würde als die des angrenzenden Hauptmaximums.

Überrascht von der Analyse, für die ich die Intensitätsfunktion aufzeichnete$N=10,\,100,\,1000,\, 10000$Wie nachfolgend dargestellt.

Es sieht also so aus, als ob die Analyse richtig war.
Das nächste Nebenmaximum ist ungefähr$2\%$und so nimmt das Nebenmaximum ab, wenn sie sich weiter von den Hauptmaxima entfernen.

Nebenbei zeigen die Graphen sehr gut, dass mit zunehmender Anzahl der Schlitze die Intensität der Hauptmaxima zunimmt, siehe$I/Io$Skala, während die Breite der Hauptmaxima abnimmt, betrachten Sie die$\alpha$Skala.

Das Beugungsmuster, das Sie sehen, ist das Quadrat der Fourier-Transformation der Aperturfunktion. Nun sagt uns der Faltungssatz, dass die FT einer Faltung von A und B das Produkt der FTs von A und B ist. Mit anderen Worten – wenn Sie ein Beugungsgitter haben, das aus Schlitzen endlicher Breite besteht, können Sie das Beugungsmuster betrachten das Muster sein, das von einem perfekten Gitter erhalten wird, multipliziert mit dem Muster, das von einem einzelnen Schlitz endlicher Breite erhalten wird (eine Sinc-Funktion, wenn Sie den Überblick behalten).

Googeln "diffraction grating convolution" ergibt https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/diffraction/convolution.php als ersten Treffer. Es enthält mathematische Details und Diagramme, die in die Tiefe gehen.

AKTUALISIEREN

Ich hatte Ihre Frage nicht richtig gelesen - Sie fragten nach dem Effekt eines "perfekten" Beugungsgitters mit endlicher Breite (endliche Anzahl von Schlitzen). Ein solches Gitter kann man sich als Produkt einer "Zylinder"-Funktion und eines unendlichen Gitters vorstellen, und das Beugungsmuster ist die Faltung der Fourier-Transformationen dieser beiden Öffnungen (dies ist der Faltungssatz "in die andere Richtung") ).

Die Fourier-Transformation einer unendlichen Reihe von Schlitzen ist eine unendliche Reihe von Spitzen; die FT der Top-Hat-Funktion ist (wieder) eine Sinc-Funktion - aber jetzt, da der Top-Hat breiter ist als der Abstand zwischen den Schlitzen, passt eine gute Anzahl von Spitzen der Sinc-Funktion zwischen zwei Maxima im Beugungsmuster; ihre Intensität ist jedoch unabhängig von N gleich ( solange N groß genug ist, dass das Muster aufgrund des benachbarten Peaks vernachlässigt werden kann ). Das einzige, was sich ändern wird, ist der Abstand der Spitzen.

Wenn N jedoch nicht "sehr groß" ist, wird es definitiv eine Wirkung haben. Die folgenden Diagramme zeigen dies:

Das Problem hier ist, dass es ein gewisses Maß an konstruktiver Interferenz zwischen den gibt$n^{th}$Spitze eines Maximums und der$(N-n)^{th}$Peak des nächsten ... und sogar einige Interferenzen von Maxima, die weiter entfernt sind. Dies für nur N = 3 zu zeigen, verdeutlicht diesen Punkt:

Wie Sie nun sehen können, sind die sekundären Peaks etwas asymmetrisch, was es schwierig macht, eine genaue Summe für den allgemeinen Fall zu finden (der Fall N = 3 ist etwas einfacher, da sich Peaks derselben Ordnung überlappen und die Asymmetrie aufheben).

Wenn Sie davon ausgehen können, dass sich die Spitze immer in der Mitte zwischen den Nullen befindet, können Sie einen Ausdruck für die Amplitude schreiben – sie ist die Summe der Quadrate der sich überlappenden Spitzen. Die Funktion, die das Grundmuster beschreibt, ist

Die Maxima werden auftreten, wenn$nx = \frac32, \frac52, ...$so werden die Werte sein

Jetzt wird ein gegebenes Submaximum Beiträge von allen anderen Maxima haben - Sie können sehen, dass Sie eine Reihe konstruieren müssten, die die Beiträge summiert. Für das n-te Submaximum bei N Schlitzen wären die ersten vier Terme:

in Wirklichkeit müssen nur ein paar Terme aufgenommen werden, und zwar nur dann, wenn N ziemlich klein ist. Ich überlasse es Ihnen, herauszufinden, ob Sie dies in eine geschlossene (analytische) Summe umwandeln können - aber angesichts der (falschen) Annahme der Symmetrie denke ich nicht, dass es die Mühe wert ist.

Wenn man dies genau auswertet (aus der Faltung), sind die Werte für das Maximum des ersten sekundären Peaks als Funktion von N:

N=  3; max = 0.1019
N=  4; max = 0.0690
N=  5; max = 0.0593
N=  6; max = 0.0550
N=  7; max = 0.0527
N=  8; max = 0.0513
N= 10; max = 0.0497
N= 50; max = 0.0473
N=200; max = 0.0472

Der Wert, den Sie aus dem obigen Ausdruck erwarten würden, würde die erste Spitze auf 0,04509 konvergieren lassen - es sieht nicht so aus, als würde dies passieren, da die Asymmetrie das Maximum ein wenig zur Seite verschiebt.

Der Python-Code, den ich zum Generieren dieser Diagramme verwendet habe:

# finite grating calculations
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

d = 1.     # pick a spacing
ell = 0.01 # pick a wavelength
a0 = ell/d # angle where first max occurs .. small angle approximation
ns = 500   # number of angular steps between major peaks
a = np.arange(-3*ns,3*ns+1)*a0/ns # angle in radians

# the pattern for an infinite grating:
f1 = np.zeros(len(a))
f1[0:-1:ns]=1

fig1=plt.figure()

for jj,N in enumerate([2,3,4,10]):
    # the sinc function for this number of slits:
    f2 = np.sin(N*a*pi/a0)/(N*a*pi/a0)
    f2[np.where(np.isnan(f2))]=1 # get rid of the divide by zero in the middle

    # compute the convolution
    pattern = np.convolve(f1,f2*f2,'same')

    ax=fig1.add_subplot(2,2,jj+1)
    ax.plot(a/a0,pattern)
    ax.set_title('N=%d'%N)
    ax.xaxis.set_ticks(np.arange(-2,3,1))
    ax.set_xlim([-2,2])

fig1.show()

# show the interference more explicitly for a small number of slits
N=3
f2 = np.sin(N*a*pi/a0)/(N*a*pi/a0)
f2[np.where(np.isnan(f2))]=1

fig1=plt.figure()
ax=fig1.add_subplot(1,1,1)
for jj in range(4):
    f1 = np.zeros(len(a))
    f1[(jj+1)*ns]=1
    pattern = np.convolve(f1*f1,f2*f2,'same')

    ax.plot(a/a0,pattern)

ax.xaxis.set_ticks(np.arange(-2,3,1))
ax.set_xlim([-2,2])
fig1.show()