Ist Beschleunigung relativ?

Ich finde den Ausdruck "Beschleunigung muss nicht relativ sein" umständlich, aber ich kann sehen, woher er kommt.

Für den Moment beschränken wir unsere Betrachtung auf die Galileische Relativitätstheorie (nur um die Mathematik einfach zu halten). Betrachten Sie zwei Referenzrahmen, einen ($S$) in dem der Körper ruht und ein anderer ($S'$), in der es sich mit Geschwindigkeit bewegt$\vec{v'_i} = \vec{u} = u \hat{z}$.

Wir haben also die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers im Rahmen$S$wie$v_i = 0$, und$v' = v + u \hat{z}$

Nehmen Sie nun an, dass der Körper mit der Zeit beschleunigt$t$bei Beschleunigung$\vec{a} = a \hat{Z}$was zu einer Geschwindigkeit im Rahmen führt$S$von$\vec{v_f} = a t \hat{z}$.

Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit im Rahmen$S'$wie$v'_f = v_f + u \hat{z} = (u + a t)\hat{z}$, und daraus die Beschleunigung im gestrichenen Rahmen als$a' = a$.

Die Beschleunigung ist also in allen Frames gleich (Sie können die Fälle für überprüfen$a \not\parallel u$selbst), und es ist vernünftig zu sagen, dass Beschleunigungen nichts Relatives sind.

All dies ist eine Folge der einfachen Form der Transformation zwischen Frames:

Was ist also mit der Einsteinschen Relativitätstheorie?

Hier ist die Transformation zwischen Frames komplizierter, und die Mathematik ist viel komplizierter , was dazu führt, dass Beobachter in verschiedenen Frames unterschiedliche Beschleunigungen sehen, aber sie werden sich alle auf die Beschleunigung einigen, die im eigenen Frame des Körpers gemessen wird . Meiner Meinung nach besteht die Gefahr, dass „die Beschleunigung nicht relativ sein muss“, in diesen Punkten unnötige Verwirrung zu stiften. Die gemessene Größe und Richtung hängt vom Rahmen des Betrachters ab, was oft gemeint ist, wenn Leute sagen, dass es relativ ist.

Die sehr einfache Antwort auf Ihre Frage lautet ja, Beschleunigung ist relativ. Obwohl die Newtonsche Physik in Bezug auf einen bevorzugten Bezugsrahmen geschrieben wurde („die Fixsterne“, wie Newton sagte), behandelt die Allgemeine Relativitätstheorie alle Bezugsrahmen, beschleunigend und nicht, gleichberechtigt. Newtons Rahmen oder der "Trägheitsrahmen" bedeutet einfach "keine Beschleunigung RELATIV zum Großteil der Materie in unserem Universum". Wenn sich beispielsweise lokal genug Masse in eine Richtung bewegt, dann gibt es Frame-Draging-Effekte, wodurch sich das lokale „Trägheits“-Referenzsystem (wo Newtons Gesetze gelten) relativ zu weiter entfernter „fester“ Materie zu verschieben scheint. Das ist im Grunde der Inhalt von Machs Prinzip, das eines von Einsteins

Ich werde irgendwie schummeln und den Relativitätsteil vernachlässigen – stattdessen werde ich mich auf Ihre mathematische Verwirrung in Bezug auf die Differenzierung konzentrieren.

Was Sie vergessen haben, ist, dass wir eine Einschränkung haben. Ihre Argumentation ist also richtig:

Aah, aber wir haben eine Einschränkung:$\vec F=\frac{\rm d\vec p}{\rm d t}=m\frac{\rm d\vec v}{\rm d t}=m\vec{a} _\text{ (for constant mass)}$.

Diese Einschränkung macht kaum einen Unterschied, wenn wir zwischen Frames mit konstanten relativen Geschwindigkeiten wechseln, da die Ableitung der Geschwindigkeit gleich bleibt. Aber in dem Moment, in dem wir versuchen, zu einem beschleunigenden Rahmen zu wechseln, wird es schwierig. Wir bekommen:

Sieht OK aus, oder? Wir könnten schreiben$m\vec a_{b,a}\to\vec F_{b,a}$, und die Gleichung wäre handlich – sie würde zeigen, dass Kraft auch relativ ist. Recht?

Falsch. Nach unserer Annahme sind Beschleunigung und Geschwindigkeit relative Größen. Um eine relative Größe zu messen, muss man einen Referenzrahmen haben. Im Gegensatz dazu ist Kraft etwas, das Sie messen können, ohne einen Rahmen zu benötigen - eine Federwaage reicht aus.

Diese Gleichung zeigt, dass die scheinbare Kraft mit Ihrem Referenzrahmen variiert. Sie wissen das wahrscheinlich, aber das kommt von der Anwesenheit einer „Pseudokraft“ – der$m_{b,a}$Begriff. Es ist keine wirkliche Kraft, aber sie tritt immer dann auf, wenn wir versuchen, die Newtonschen Gesetze auf einen Nichtträgheitsrahmen{*} anzuwenden. Da sie Teil der Scheinkraft ist, kann sie gemessen werden. Da es beim Rahmenwechsel auftaucht, können Sie immer erkennen, dass ein Rahmenwechsel stattgefunden hat. Dies steht im Gegensatz zum Umschalten zwischen Trägheitsrahmen – es sei denn, Sie haben ein festes Objekt außerhalb, Sie können den Unterschied nicht erkennen.

Im Grunde ist es also kein mathematisches Problem, sondern ein Problem damit, was innerhalb eines Rahmens gemessen werden kann und was nicht

Eigentlich ergibt sich das alles aus der Tatsache, dass die Newtonschen Gesetze nur in einem Inertialsystem anwendbar sind. Auf die Frage "Welches der Newtonschen Gesetze ist das wichtigste?" Die meisten Leute würden das zweite und/oder dritte Gesetz sagen. Das erste Gesetz wird immer als Ergebnis des zweiten Gesetzes gezählt. Das ist eigentlich falsch – es gibt kein privilegiertes Gesetz der drei – und sie sind unabhängig . Die Funktion des ersten Gesetzes besteht darin, den Anwendungsbereich der drei zu definieren. In einem Nichtträgheitsrahmen gilt das erste Gesetz nicht (da ein ruhendes Objekt immer noch beschleunigt wird), also gelten die anderen beiden auch nicht. Die Pseudokraft ist nur eine Möglichkeit, die Gesetze zum Funktionieren zu bringen.

Wenn wir also eine Reihe von Gesetzen haben, die nur in einem nicht beschleunigenden Rahmen funktionieren, bedeutet das, dass "nicht beschleunigen" eine absolute Bedeutung hat. Somit ist jede Beschleunigung absolut.

Kurz gesagt: Die „Relativität“ war von vornherein nicht da. Es erscheint nur, wenn wir einen Spezialfall von nehmen$a_{frame}=0$--an sich nützlich, aber nicht verallgemeinerbar.

^{* Trägheit -> konstante Geschwindigkeit, keine Schwerkraft, nicht träge -> Beschleunigung und/oder Schwerkraft}

Das liegt daran, dass die Bewegungsgleichung eine Differentialgleichung 2. Ordnung ist. F=ma. Wenn Sie es integrieren, um r(t) zu erhalten, erhalten Sie zwei willkürliche Integrationskonstanten. Sie haben also zwei Freiheitsgrade, die das absolute r(t) und das absolute v(t) unveränderlich machen, wenn Sie eine Konstante hinzufügen.

Dies gilt für relativistische Bewegungsgleichungen und sogar für relativistische QM. Solange Ihre grundlegende Differentialgleichung der Bewegung 2. Ordnung ist, erhalten Sie zwei Integrationskonstanten.

Ja und nein. Die Koordinatenbeschleunigung muss nicht relativ sein, aber die richtige Beschleunigung ist immer unveränderlich.

Die Beschleunigung muss nicht relativ zu irgendeinem Objekt sein. Es ist relativ zum Raum (/Raumzeit), der wie ein universelles Koordinatensystem ist. Immer wenn Sie beschleunigen, gibt es Zeichen. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie befinden sich in einem Aufzug im Weltraum. Wenn Sie anfangen, mit 9,8 m/s^2 nach oben zu beschleunigen (normal zur Oberseite der Aufzugskabine), werden Sie das Gefühl haben, dass die Schwerkraft der Erde Sie nach unten drückt. Wenn Sie ein Fenster hätten, vor dem Sie eine identische Aufzugskabine sehen würden, würde es scheinen, als würde sie mit 9,8 m/s^2 nach unten beschleunigen. In diesem Sinne beschleunigt es in Bezug auf Sie, aber eine Person im Auto würde frei schweben, was darauf hinweist, dass es in der Raumzeit nicht beschleunigt.

Die spezielle Relativitätstheorie gilt für intertiale Referenzrahmen, was bedeutet, dass die Rahmen nicht beschleunigen, aber es ist sehr selten, Objekte zu finden, die tatsächlich nicht beschleunigen, also machen wir Annäherungen, wie zum Beispiel zu sagen, dass die Erde in Ruhe ist, wenn wir von einer Erde sprechen -Raumschiffsystem. Betrachten Sie als einfaches Beispiel das Zwillingsparadoxon: Al und Bob sind 20 Jahre alte eineiige Zwillinge. Bob fliegt in seinem Raumschiff bei 0,87 °C (was einen Lorentzfaktor von 1/sqrt(1 - v^2/c^2) = 2 ergibt) zu einem 10 Lichtjahre entfernten Planeten, umkreist den Planeten und kehrt zur Erde zurück . Al schaut durch ein Teleskop auf das Schiff seines Bruders und sieht, dass sich Bobs Uhr halb so schnell bewegt wie seine Uhr auf der Erde. Bob schaut jedoch zurück zur Erde und sieht, dass sich Als Uhr halb so schnell bewegt wie die Uhr auf seinem Schiff. Dies liegt daran, dass sich das Schiff mit einer konstanten Geschwindigkeit in Bezug auf die Erde bewegt, wodurch die beiden Trägheitsreferenzrahmen entstehen, die eine spezielle relativistische Zeitdilatation erfahren. Als Bob zur Erde zurückkehrt, ist er 40 Jahre alt, aber Al ist jetzt 60 Jahre alt. Dies liegt daran, dass Bobs Referenzrahmen Beschleunigungen durchlief (zunächst beschleunigt, dann um den Planeten gekreist und in der Nähe der Erde wieder langsamer wurde). Dieses Beispiel zeigt deutlich, dass Beschleunigung im Newtonschen Sinne relativ zu etwas sein muss, aber in der Relativitätstheorie gibt es ein Konzept der absoluten Beschleunigung, das bestimmte Auswirkungen auf das Gewebe der Raumzeit hat. s Bezugsrahmen durchlief Beschleunigungen (zunächst beschleunigt, dann um den Planeten gekreist und in der Nähe der Erde wieder verlangsamt). Dieses Beispiel zeigt deutlich, dass Beschleunigung im Newtonschen Sinne relativ zu etwas sein muss, aber in der Relativitätstheorie gibt es ein Konzept der absoluten Beschleunigung, das bestimmte Auswirkungen auf das Gewebe der Raumzeit hat. s Bezugsrahmen durchlief Beschleunigungen (zunächst beschleunigt, dann um den Planeten gekreist und in der Nähe der Erde wieder verlangsamt). Dieses Beispiel zeigt deutlich, dass Beschleunigung im Newtonschen Sinne relativ zu etwas sein muss, aber in der Relativitätstheorie gibt es ein Konzept der absoluten Beschleunigung, das bestimmte Auswirkungen auf das Gewebe der Raumzeit hat.

Hinweis: In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Schwerkraft keine Kraft, sondern eine Pseudokraft (genau wie die Zentrifugalkraft - wenn Sie mit Ihrem Auto im Kreis fahren, gibt es keine tatsächliche Kraft, die Sie in Ihrem Sitz zur Außenseite des Kreises rutschen lässt; Sie sind nur die Pseudokraft spüren, die entsteht, wenn Sie in Richtung Kreismittelpunkt beschleunigen). GR gibt an, dass das Vorhandensein von Masse das Gewebe der Raumzeit verbiegt, sodass der Raum um massive Objekte beschleunigt wird. Die Schwerkraft, die wir auf der Erde spüren, ist das Ergebnis der Raumzeitstruktur, die mit 9,8 m/s^2 nach oben beschleunigt, genau so, wie Sie es in einer Aufzugskabine im Weltraum spüren würden, die nach oben beschleunigt.