Ist Crystal Momentum wirklich Momentum?

Fast jedes Lehrbuch der Festkörperphysik besagt, dass Kristallimpuls nicht wirklich physikalischer Impuls ist. Zum Beispiel tragen Phononen immer einen Kristallimpuls, aber sie bewirken überhaupt keine Translation der Probe.

Ich habe jedoch gelernt, dass wir in Halbleitern mit indirekter Bandlücke Phononen benötigen, um den Kristallimpulstransfer bereitzustellen, damit Elektronenübergänge zwischen der Oberseite des Valenzbands und der Unterseite des Leitungsbands stattfinden. Zusammen mit dem Absorbieren oder Emittieren von Photonen natürlich.

Photonen tragen physikalischen Impuls. Zum Zweck der Impulserhaltung scheinen Phononen auch einen physikalischen Impuls zu tragen.

Wie können wir das erklären?

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Um es genauer auszudrücken, habe ich eine Grafik gezeichnet, um die Geschichte zu erzählen:

K (Kapital) ist Kristallimpuls.

Für einen solchen Übergang liefert das Photon den größten Teil der Energieübertragung (und ein wenig Impulsübertragung h k , k in Kleinbuchstaben) liefert Phonon den größten Teil der Impulsübertragung (und ein wenig Energie).

Ähnliche Diagramme finden sich in den meisten Lehrbüchern der Festkörperphysik. Das Bild sagt mir, entweder trägt das am Übergang beteiligte Photon einen Kristallimpuls, dessen Wert gleich dem physikalischen Impuls hk ist, oder der Kristallimpuls selbst ist eine Art physikalischer Impuls.

Man kann aber beweisen, dass ein Phonon keinen physikalischen Impuls trägt (hier zitiere ich Kittels „Introduction to Solid State Physics“):

Wie erklären wir also die Impulsübertragung beim oben erwähnten Elektronenübergang?

Klassisch betrachtet sind Phononen nur Wellen im Gitter. Und sie transportieren Energie und Impuls genauso wie Wellen in jedem anderen Medium (z. B. Wasser). Aber diese Antwort ist zu offensichtlich, also glaube ich, dass ich Ihre Frage falsch verstanden haben muss.
Was den Grund betrifft, warum die Leute sagen, dass Kristallimpuls kein Impuls ist, sagen sie wohl nur, dass Impuls im üblichen Sinne jeden Wert annehmen kann (eine Folge der Tatsache, dass der Raum in Bezug auf beliebige Übersetzungen symmetrisch ist), aber im Gitterfall lebt es in der Brillouin-Zone (weil wir hier nur Gitterübersetzungen haben).
Aber wenn der Kristallimpuls ein physikalischer Impuls mit diskreten Werten ist, sollte die Anregung von Phononen in der Lage sein, die gesamte Probe in Bewegung zu versetzen. Soweit ich weiß, sehen wir das nicht.
Nun, das ist eine Frage, auf die ich gerne eine nette Antwort sehen würde. Ich überlege, vielleicht ein Kopfgeld darauf auszusetzen.
Ich verstehe nicht, warum sich die Probe als Ganzes bewegen sollte. Wenn Sie den Kristall als Ganzes behandeln, können Sie sicher annehmen, dass seine Masse unendlich ist, und Sie können ihm daher sicher einen beliebigen Impuls geben, und er bewegt sich immer noch nicht. Sie können auch Schwung daraus ziehen, ohne dass es sich bewegt. In dieser Hinsicht ist der Kristall wie Vakuum und Phononen sind wie aus dem Vakuum entstandene Teilchen (in genauer Analogie zur QFT).
Für eine experimentelle Überprüfung des Obigen (dass der Kristall aus Sicht der Teilchen eine unendliche Masse hat), siehe zB Mössbauer_Effekt
Mein Verständnis ist, dass das Kristallmomentum das übliche Momentum Modulo etwas ist, weshalb es nur Werte in der Brillouin-Zone annimmt. Aber der Kristallimpuls nimmt aus anderen Gründen diskrete Werte an. Wir sprechen von Phononen, die die Quantenversion von Schwingungen sind, also sind der Impuls (sowie der Impuls modulo sth), die Energie usw. von Phononen diskret.
Wir betrachten den Kristallimpuls, weil die Translationssymmetrie gebrochen ist und damit der Impuls μ ist nicht konserviert. Aber da ist der Kristall immer noch symmetrisch in Bezug auf Übersetzungen von p ∗ a , ∀ p ∈ Z wo a ist eine konstante Länge, μ Mod 2 π a konserviert ist (als nicht strenge Anwendung des Noether-Theorems), definieren wir den Kristallimpuls der Einfachheit halber als μ Mod 2 π a

Antworten (5)

Erstens (wie bereits in meinen Kommentaren erwähnt) ist der Kristallimpuls in jeder Hinsicht derselbe wie der gewöhnliche Impuls, außer der Tatsache, dass er nur Werte in der Brillouin-Zone annimmt (als Folge der diskreten Symmetrie des Gitters; oder genauer gesagt seiner Kontinuumsgrenze). Die Antwort auf Ihre Frage lautet also: Kristallimpuls ist für die meisten Zwecke ein echter Impuls.

Nun, der Begriff Kristallimpuls wird hier in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet, und das ist wahrscheinlich der Punkt, an dem Verwirrung entsteht. Ihr Zitat verwendet es als Gesamtimpuls des Kristalls. Für Phononen (die nur harmonische Modi des Materials sind) ist dies offensichtlich Null, da sich die Atome des Kristalls im Durchschnitt nicht bewegen (sie schwingen nur um stabile Positionen). Und genau deshalb verwendet niemand den Begriff auf diese Weise (und ich verstehe nicht, warum Ihr Buch das tut).

Aber lokal werden immer noch Energie und Impuls übertragen (Springen von einem Atom zum nächsten, wenn sie interagieren). Phonon ist also tatsächlich eine Welle, die sich im Material in eine Richtung ausbreitet und etwas Energie trägt. Offensichtlich ist dies eine sehr physikalische Welle mit physikalischer Energie und physikalischem Impuls. Es ist dieser letztere Impuls, der üblicherweise als Kristallimpuls bezeichnet wird .

Kristallimpuls bezieht sich also typischerweise auf Phononen, die durch den Kristall wandern?

Crystal Momentum kann als "weniger als Momentum" angesehen werden, das einen Teil der Informationen darüber enthält, was das echte Momentum normalerweise aussagt, ob der andere Teil einen Sinn ergibt oder nicht.

Sobald Wellenfunktionswerte nur an Gitterplätzen von Interesse sind, kommt es beispielsweise wie im Fall von Phononen darauf an, wie sich die Phase von einem Ort zum anderen ändert und nicht anderswo im Raum. In einem solchen Fall sind 2pi-Sprünge bedeutungslos, daher ist bekannt, dass "bis zur Addition eines reziproken Gittervektors"

Ich verstehe nicht, warum sich der Kristall als Ganzes bewegen sollte. Ein erstes Argument liefert Marek in den Kommentaren zur Frage. Aber das ist auch das eigentliche Prinzip einer Welle: Übertragung von Energie/Impuls und keine Übertragung von Materie; In diesem Fall schwingen die Ionen um ihre Gleichgewichtsposition im Gitter und die Moden dieser Schwingung sind Phononen.

In Anbetracht dieser "echten Impuls" -ness, was auch immer es bedeutet, erscheint mir das seltsam: Betrachten Sie die Absorption eines Photons (das Impuls und Energie trägt) durch den Kristall. Dieser Prozess kann durch die Erzeugung eines Phonons oder allgemeiner einer Reihe von Phononen geschehen, die ein Wellenpaket erzeugen. Dieses Wellenpaket wird sich im Kristall ausbreiten (als Medium gesehen, aus Sicht des Phonons entspricht dies dem Vakuum aus Sicht des Photons) und den Impuls erhalten.

Allgemein denke ich, dass diese Frage aus physikalischer Sicht nicht wirklich interessant ist, es ist dasselbe wie die Frage, ob die Phononen echte Teilchen sind oder nicht. Ich werde mich darauf verlassen, was Sie "real" nennen, und nach einer pragmatischen Physik nennen wir sie Teilchen, weil sie Eigenschaften haben, die "natürlich echte" Teilchen haben, und sie können auf die gleiche Weise behandelt werden ...

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Ich finde diesen Beweis auch etwas seltsam. Ein echtes sich ausbreitendes Phonon (oder Plasmon, Magnon, was auch immer) muss als Wellenpaket betrachtet werden. In diesem Fall wird der gegebene Beweis zeigen, dass dieses Paket ein Momentum trägt.

Ich bin kein Experte, aber ich sehe keinen Widerspruch zwischen den folgenden Aussagen.

  1. Kristallimpuls ist nicht wirklich ein physikalischer Impuls.
  2. Phononen tragen Kristallimpuls.
  3. Phononen tragen auch physikalischen Impuls.
Hier gilt das gleiche. Ich sehe nicht, wo die eigentliche Komplexität der Frage liegen sollte. Und wenn diese einfache Antwort ausreicht, um sie zu beantworten, dann war es in erster Linie eine ziemlich schlechte Frage.
Ich stimme zu. Entweder ist die Frage trivial, oder sie muss umformuliert werden.

Cristal Momentum ist kein echtes Momentum, da dies kein Einwert des Hamiltonian ist. Tatsächlich definieren Sie den Kristallimpuls gemäß der Periodizität des Bravais-Gitters. Dann ist das System nur unter diskreter Übersetzung invariant und dann ist k keine gute quantitative Zahl.

Das sieht für mich nach völligem Blödsinn aus. Erstens ist der Impuls nicht dadurch definiert, dass er ein Eigenwert des Hamilton-Operators ist. Momentum ist ein Generator der Raumsymmetrie physikalischer Gesetze. Hamiltonian ist ein Generator der Zeitsymmetrie. Es muss keine Beziehung zwischen den beiden bestehen. Zweitens, warum wäre Kristallimpuls keine gute Quantenzahl? Quantenzahlen kommen von Symmetrien und diese Symmetrien müssen nicht kontinuierlich sein.
Wenn der Hamilton-Operator nur unter diskreter Übersetzung invariant ist, pendelt der Operatorimpuls nicht mit dem Hamilton-Operator
Nein, @Andrea. Ich stimme zu, dass es ein kleines Problem gibt, und es ist ein Problem, dass diskrete Transformationen (offensichtlich) keine Generatoren haben. Betrachten Sie jedoch ein 1D-Gitter mit fester Länge und einem Gitterabstand, der auf Null geht (eine Kontinuumsgrenze, die eine gute Annäherung an den tatsächlichen 1D-Kristall darstellt), dann erhalten Sie einen guten Impulsgenerator, der mit Hamiltonian pendelt (und das ist ein Grund, warum Kristallimpuls ist auch eine gute Quantenzahl). Der einzige Unterschied zum Standardimpuls besteht darin, dass der Kristallimpuls dazugehört S 1 -- ein Kreis. In weiteren Dimensionen wird es zur Brillouin-Zone gehören.
@marek: ja, ich stimme dir zu, aber wenn du eine Gitterlänge messen kannst, was meiner Meinung nach für alle bekannten Kristalle möglich ist, kannst du ein periodisches Potential des Gitters und dann einen periodischen Hamiltonian definieren. Im Praxisbeispiel betrachtet man immer das diskrete Gitter und nicht den Kontinuumsgrenzwert, weil man die Gitterlänge kennt. Ist es falsch? Wieso den?
kommt drauf an was genau du machst. Wenn eine nicht verschwindende Gitterlänge für Ihre Berechnung wichtig ist und das Ignorieren zu Problemen führen würde, dann arbeiten Sie sicher in einer diskreten Einstellung. Aber wenn es nicht so wichtig ist, z. B. beim Umgang mit reziproken Gittern, erhalten Sie viele analytische Werkzeuge, wenn Sie zur Kontinuumsgrenze übergehen (und die Grenze selbst ist eine sehr gute Annäherung, da die Gitterlänge im Vergleich zur Größe des gesamten Kristalls so klein ist ).
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