Ist die Eigenzeit gleich dem unveränderlichen Intervall oder der im Ruherahmen verstrichenen Zeit?

Question

Ist die Eigenzeit gleich dem unveränderlichen Intervall oder der im Ruherahmen verstrichenen Zeit?

Schaschaank

Betrachten Sie in SR zwei zeitlich getrennte Ereignisse - in einem bestimmten Rahmen

D S^{2} = D T^{2} - D X^{2}

$\begin{equation}ds^2= dt^2 - dx^2\end{equation}$

In einem Frame, in dem die Ereignisse am selben Ort stattfinden ( rest frame; $dx' =0$ ) dann ist nach dem, was ich weiß, die richtige Zeit die in diesem Rahmen verstrichene Zeit, dh $d\tau=dt'$ .

Somit

D S^{' 2} = D τ^{2} = D T^{' 2}

$\begin{equation}ds'^2 = d\tau^2 =dt'^2\end{equation}$ ( seit

d τ = d t^{'}

$d\tau =dt'$ in diesem Rahmen) und da das Intervall unveränderlich ist;

D τ^{2} = D T^{' 2} = D T^{2} - D X^{2} .

$\begin{equation} d\tau^2=dt'^2= dt^2 - dx^2.\end{equation}$

Betrachten Sie dasselbe Ereignis in GR in einem bestimmten Rahmen (Koordinatensystem)

D S^{2} = G_{00} D T^{2} - G_{11} D X^{2} . . . .

$\begin{equation}ds^2= g_{00}dt^2 - g_{11}dx^2....\end{equation}$ In dem Rahmen ( Koordinatensystem), in dem die Ereignisse am selben Ort stattfinden (

d x^{' 2} = 0

$dx'^2=0$ ) dann ist nach dem, was ich weiß, die richtige Zeit die in diesem Rahmen verstrichene Zeit, dh $d\tau=dt'$ , und wir sollten

D S^{' 2} = G_{00} D T^{' 2} = G_{00} D τ^{2}

$\begin{equation} ds'^2= g_{00}dt'^2 = g_{00}d\tau^2\end{equation}$ ( Nach der gleichen Analogie wie in SR,

d τ = d t^{'}

$d\tau =dt'$ ) und da das Intervall unveränderlich ist, sollten wir

G_{00} D τ^{2} = G_{00} D T^{2} - G_{11} D X^{2} . . . .

$\begin{equation} g_{00}d\tau^2 = g_{00}dt^2 - g_{11}dx^2....\end{equation}$ .

Aber von der Zeitdilatationsformel in GR weiß ich das falsch.

Genau genommen ist die Eigenzeit nach dem, was ich unverstanden habe, die Zeit, die im Ruhesystem des Teilchens verstrichen ist, genau wie bei SR , also für das Intervall

D S^{2} = G_{00} D T^{2} - G_{11} D X^{2} . . . .

$\begin{equation} ds^2= g_{00}dt^2 - g_{11}dx^2....\end{equation}$ , wenn zwei Ereignisse am selben Ort stattfinden

D S^{2} = G_{00} D T^{'} = G_{00} D τ^{2}

$\begin{equation}ds^2 = g_{00}dt'=g_{00}d\tau^2\end{equation}$ (per Definition genauso wie im SR-Fall).

Warum ist das falsch. Ist meine Argumentation, dass die richtige Zeit die im Ruherahmen gemessene Zeit ist, falsch?
```
                         Or 
```

2) ist, dass die Zeitkoordinate in einer allgemeinen Metrik nicht die von irgendeiner Uhr gemessene Zeit darstellt .

Schaschaank

Ich habe ein paar Fragen in ähnlicher Richtung gesehen. Aber die Antwort war mir nicht klar und ich konnte sie nicht verstehen. Daher habe ich diese Frage gestellt, um zu verstehen, was an meiner Argumentation falsch ist. Eine ausführliche Erklärung, was ich falsch mache und was die entsprechende richtige Sache ist, wäre sehr hilfreich.

Antworten (2)

Ist die Eigenzeit gleich dem unveränderlichen Intervall oder der im Ruherahmen verstrichenen Zeit?

Ich habe ein paar Fragen in ähnlicher Richtung gesehen. Aber die Antwort war mir nicht klar und ich konnte sie nicht verstehen. Daher habe ich diese Frage gestellt, um zu verstehen, was an meiner Argumentation falsch ist. Eine ausführliche Erklärung, was ich falsch mache und was die entsprechende richtige Sache ist, wäre sehr hilfreich.

Tal · Answer 1

Dies ist kein Widerspruch, sondern lediglich eine Einschränkung der zulässigen Koordinatensysteme, die als Ruhesystem eines Partikels gelten würden. Sie haben festgestellt, dass entlang der Weltlinie des Partikels die Metrik im Ruhesystem des Partikels liegen muss $g_{00}=1$ . Es ist nicht zwingend, solche Koordinaten zu verwenden, aber nur solche Koordinaten werden als Ruhesystem des Teilchens bezeichnet.

Betrachten Sie als Beispiel die Standard-Schwarzschild-Metrik für eine Mannigfaltigkeit mit (-+++)-Signatur und in Einheiten wo $c=1$

G = (\begin{array}{cccc} - (1 - \frac{R}{R}) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {(1 - \frac{R}{R})}^{- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R^{2} Sünde (θ) \end{array})

$g=\left( \begin{array}{cccc} -\left(1-\frac{R}{r}\right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \left(1-\frac{R}{r}\right)^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin (\theta ) \\ \end{array} \right)$ das ist das Linienelement

D S^{2} = - D τ^{2} = - (1 - \frac{R}{R}) D T^{2} + {(1 - \frac{R}{R})}^{- 1} D R^{2} + R^{2} D θ^{2} + R^{2} Sünde (θ) D ϕ^{2}

$ds^2 = -d\tau^2 = -\left(1-\frac{R}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{R}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin (\theta ) d\phi^2$

Nun gilt für ein ruhendes Teilchen $dr=d\theta=d\phi=0$ So

D S^{2} = - D τ^{2} = - (1 - \frac{R}{R}) D T^{2} = G_{00} D T^{2}

$ds^2 = -d\tau^2 = -\left(1-\frac{R}{r}\right) dt^2 = g_{00} dt^2$ Beachten Sie das für

r = \infty

$r=\infty$ wir haben

g_{00} = - 1

$g_{00}=-1$ also die richtige zeit

d τ

$d\tau$ gleich der Koordinatenzeit ist

d t

$dt$ . Diese Koordinaten sind also ein gültiges Ruhesystem für einen ruhenden Beobachter bei

r = \infty

$r=\infty$ . Allerdings z

r = 10 R

$r=10R$ wir haben

g_{00} = - 0.9

$g_{00} = -0.9$ So

d τ^{2} = 0.9 d t^{2}

$d\tau^2 = 0.9 dt^2$ somit ist die Koordinatenzeit nicht gleich der Eigenzeit. Dieselben Koordinaten sind kein gültiges Ruhesystem für einen Beobachter, der an irgendeiner endlichen Stelle ruht

r

$r$ .

Ähm, sorry, ich bin etwas zu verwirrt. Ich konnte nicht verstehen, warum es kein Widerspruch ist. Wäre wirklich toll, wenn Sie das bitte anhand eines Beispiels etwas erläutern könnten. Was ich bekomme, ist wie die Zeitkoordinate, die in der allgemeinen Metrik g erscheint, muss nicht die von irgendeiner Uhr gemessene Zeit sein, und deshalb können wir nicht einfach sagen $dt=d\tau$ wenn die Ereignisse am selben Ort stattfinden, weil sie ursprünglich keine Zeit darstellten. Könnten Sie bitte anhand eines Beispiels erklären, warum dies kein Widerspruch, sondern eine Einschränkung ist
Um genau zu sein, warum tut in $ds^2 = g_{00}d\tau^2 =g_{00}dt^2$ , Die $g_{00}$ muss gleich 1 sein. Und sind die anderen Komponenten der Metrik $g_{ij}$ identisch 0 im Ruhesystem des Partikels. Auch gilt die obige Tatsache NUR LOKAL oder global.
Danke, sieht so aus, als würde es jetzt Sinn machen. Nur 2 kleine Probleme - 1) In SR war dt immer ein physikalisches Zeitintervall. Es scheint mir, dass dt in GR nicht immer ein physikalisches Zeitintervall sein muss. Ist das wahr, ist das nicht seltsam, dass dt in GR 2) keine physikalische Zeit ist, warum g_00 1 sein muss, damit d(tau) gleich dt ist, deshalb schreiben Sie die letzte Gleichung nicht als - $ds^2=(-1-R/r)dt^2=-(1-R/r) d\tau^2$ durch die SR-Überlegung, dass, wenn die Ereignisse an derselben Position stattfinden, dt die eigentliche Zeit selbst ist. Warum Sie die andere Argumentation verwendet haben, dass ds = d (tau).
Ist d(tau) nicht immer gleich dt für simultane Ereignisse. Was ist die strenge Definition der Eigenzeit? Ist es gleich ds oder ist es gleich dt (unabhängig davon, ob g_{00} = -1 oder etwas anderes) für gleichzeitige Ereignisse. Bitte helfen Sie mir auch in diesen 2 Punkten. Ich denke dann werden es mehr.
@Shashaank Du hast das ein bisschen rückwärts. $dt$ ist auch in SR kein physikalisches Zeitintervall, sondern immer eine Koordinatenzeit, weil sie eine nichtphysikalische Gleichzeitigkeitskonvention enthält. Das physikalische Zeitintervall ist immer die Eigenzeit, $d\tau$ , was als die auf einer guten Uhr abgelesene Zeit definiert ist. Es gibt keine Vorstellung von Gleichzeitigkeit, die mit der Eigenzeit verbunden ist. Die richtige Zeit wird nur auf der Weltlinie der Uhr definiert und nicht zwischen den Uhren koordiniert. Mathematisch $\pm c^2 d\tau^2= ds^2$ mit Vorzeichen je nach Signatur entweder (-+++) oder (+---)
Aber in SR haben wir die Beziehung (für ein Ereignis, das gleichzeitig in einem Frame stattfindet) that $d\tau^2 = dt'^2 = dt^2- dx^2$ . Hier sind sowohl dt' als auch dt eine physikalische Sache. dt' ist die Zeit, die von einem Beobachter gemessen wird, für den die Ereignisse am selben Ort stattfanden, und dt ist die Zeit, die ein anderer Beobachter in seiner Uhr an seinem Handgelenk in einem Rahmen misst, in dem die beiden Ereignisse nicht am selben Ort stattfinden. Ich verwende genau dasselbe in GR, während ich nur die allgemeine Metrik von GR verwende. Also wo ist das falsch.
@Shashaank nein $dt$ ist niemals physische Zeit. Es ist immer Koordinatenzeit. Die gleichung $d\tau=dt’$ muss vorsichtig interpretiert werden. Es ist keine allgemeine Tatsache, sondern gilt nur entlang der Weltlinie der Uhr und nur im (grundierten) Ruhesystem dieser Uhr. Aber selbst dann ist die physische Zeit $d\tau$ und die Koordinatenzeit $dt’$ ist darauf abgestimmt. Das macht die gestrichenen Koordinaten zum Ruhesystem der Uhr.
ok, aber das lässt mich fragen, was meinst du mit Koordinatenzeit, wenn es nicht die Zeit ist, die auf einem Clok angezeigt wird. Was ist dann die Koordinatenzeit ... Sie ist das Maß dessen, was ...
@Shashaank Für Diskussionen öffnen Sie bitte einen Thread auf physicalforums.com und verwenden Sie @ Dale (kein Leerzeichen), um mich dort zu warnen. Kommentare hier sind nicht zur Diskussion gedacht. Sie dienen lediglich der Verbesserung der Antwort. Sie brauchen eine Diskussion, die hier nicht im Rahmen ist.
Das Physikforum erlaubt mir nicht, mich für ein Konto zu registrieren. Es zeigt einen technischen Fehler. Daher habe ich hier eine neue Frage zum obigen Punkt gestellt physical.stackexchange.com/q/603020/113699 . Vielleicht möchten Sie dort eine Antwort hinzufügen. Auf diese Weise wird die Diskussion in den Kommentaren nicht fortgesetzt und ich kann eine endgültige Antwort erhalten. Entschuldigung, das Physikforum erlaubt mir nicht, mich zu registrieren.

kaylimekay · Answer 2

Deine zweite Aussage ist richtig. In GR kann man jederzeit zu einem neuen Koordinatensatz wechseln $x'=x'(x)$ , also ist es klar, dass eine bestimmte Wahl der Zeitkoordinate keine absolute physikalische Bedeutung hat. Was unveränderlich ist , ist das Intervall $s$ . Ein Beobachter, der sich entlang eines zeitähnlichen Pfades bewegt, erfährt, wie die Zeit gemäß dem unveränderlichen Intervall entlang des Pfades verstreicht, und dies ist unabhängig von der Wahl der Koordinaten. Nun, wenn Sie dieser Beobachter sind, könnten Sie auf Ihre Uhr schauen und einmal pro Sekunde gemäß Ihrer Uhr "ein Häkchen" auf die Raumzeit zeichnen. Damit hätten Sie eine Zeitkoordinate konstruiert, die die einfache Eigenschaft that hat $ds = dt$ . Aber diese Beziehung gilt nur für diese Wahl der Zeitkoordinate.

Bearbeiten Sie, um einigen Kommentaren nachzugehen: Sie fragen sich, ob / warum in SR $g_{00}$ muss gleich sein $-1$ . Die Antwort ist, dass es egal ist. Oder genauer gesagt, das ist eine bedeutungslose Aussage. Der Grund dafür ist, dass Zeit eine dimensionale Größe ist . Wenn ich die Zeit in Sekunden messe, und ich habe $g_{00}=-1$ , dann könnte ich aber auch die gleiche Zeitkoordinate beibehalten aber einstellen $g_{00}=-1/{3600}$ und dann würde ich die Zeit in Minuten gemessen bekommen. Es ist also wirklich ein strittiger Punkt. Der Unterschied zu GR besteht darin, dass in GR die Metrik über die Raumzeit variiert. Die Weltlinie eines Beobachters kann also durch Punkte verlaufen, an denen die Metrik unterschiedlich ist, und diese relativen Änderungen werden interessante Effekte erzeugen. In GR würden Sie an einem Punkt auf Ihrer Weltlinie eine Auswahl von Einheiten treffen, und Sie könnten diese zum Einstellen verwenden $g_{00}=-1$ an diesem Punkt , aber dann, wenn Sie auf der Weltlinie fortfahren, würden Sie unterschiedliche Werte der Metrik erfahren, und daher werden der Wert der Koordinatenzeit und Ihr akkumuliertes invariantes Intervall beginnen, sich zu unterscheiden.

In SR war das dt IMMER ein Zeitintervall. Ist es also nicht ein bisschen umständlich, dass das dt in GR kein physikalisches Zeitintervall ist? Genauer gesagt meinst du, dass in der Schwarzschild-Metrik das dt kein physikalisches Zeitintervall darstellt... Auch in deiner vorletzten Zeile steht dann ds= dt = d(tau), dh dt in deiner vorletzten Zeile ist das Eigene vom Beobachter gemessene Zeit. Auch dann gilt Folgendes: „Im Ruhesystem des Beobachters ist das Intervall nur ds = d (tau) und die Metrik hat nur die 1. Komponente, die 1 (oder c ^ 2) wäre, und alle anderen Komponenten von Metrik sind 0"..Ist das wahr und richtig.
Um genau zu sein, warum tut in $ds^2 = g_{00}d\tau^2 =g_{00}dt^2$ , Die $g_{00}$ muss gleich 1 sein. Und sind die anderen Komponenten der Metrik $g_{ij}$ identisch 0 im Ruhesystem des Partikels. Auch gilt die obige Tatsache NUR LOKAL oder global. Könnten Sie bitte auch etwas zu diesen Fragen in der Antwort hinzufügen.
Lassen Sie mich wissen, ob dt in SR immer eine physikalische Zeit darstellt und nur in GR nicht unbedingt
@Shashaank hat etwas hinzugefügt, von dem ich hoffe, dass es hilfreich sein wird.
Danke, Ihre letzte Änderung war sehr nützlich. Ich habe die Antwort positiv bewertet, da ich die andere bereits zuvor akzeptiert hatte. Abschließend möchte ich Ihnen nur bestätigen, dass die raumartigen Koordinaten in ähnlicher Weise ähnlich sind $dr$ $\d\theta$ haben keine physikalische Bedeutung (oder sind keine physikalischen Entfernungen) in beispielsweise der Robertson-Walker-Metrik oder sogar der Schwarzschild-Metrik. Natürlich $g_{11}dr$ Eine physische Entfernung wäre bei beiden oben genannten Metriken aber gerechtfertigt $dr$ oder $d\theta$ (Koordinatenentfernungen) sind in beiden Metriken keine physischen Entfernungen. Könnten Sie dies bitte bestätigen, um den Vorgang abzuschließen
@Shashaank ja das klingt richtig. Sie benötigen immer die Metrik, um eine physische Entfernung zu definieren.

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