Ist die Gesamtenergie eines kanonischen Ensemble-Systems von NNN-Teilchen mit Einzelteilchen-Energieniveaus gegeben durch ϵiϵi\epsilon_i fest?

Ist die Gesamtenergie eines kanonischen Ensemblesystems von N Teilchen, mit Einzelteilchen-Energieniveaus gegeben durch ϵ ich Fest ?

Wir wissen, dass die Gesamtenergie des Systems gegeben ist durch:

E = ∑ ich N ich ϵ ich

Hier N ich ist die Anzahl der Teilchen in der ϵ ich Energielevel.

Wir kennen jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Teilchen Energie hat ϵ J wird gegeben von:

P ( ϵ J ) = G J e − β ϵ J Z

Hier, G J ist die Entartung dieses Energieniveaus, und Z ist die Einzelteilchen-Partitionsfunktion.

Außerdem wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Teilchen Energie hat ϵ J , ist die Gesamtzahl der Teilchen in diesem Energieniveau, geteilt durch die Gesamtzahl der Teilchen - gemäß der Definition der Wahrscheinlichkeit.

Somit,

N J N = P ( ϵ J ) = G J e − β ϵ J Z

Dies impliziert,

N J = N P ( ϵ J ) = N G J e − β ϵ J Z

Daher können wir leicht finden N J für alle ϵ J . Wenn wir also die Anzahl der Teilchen in jedem dieser Energieniveaus kennen, können wir die genaue Gesamtenergie des Systems bestimmen E , in der ersten Gleichung.

Dies erscheint jedoch problematisch. Wenn wir die Gesamtenergie des Systems und die Anzahl der Teilchen in jedem Energieniveau herausfinden, beschränken wir dieses gesamte System auf einen bestimmten Mikrozustand. Die Wahrscheinlichkeit, diesen bestimmten Mikrozustand zu erhalten, ist 1 . Die Wahrscheinlichkeit, einen anderen Mikrozustand zu erhalten, muss sein 0 .

Sollte jedoch nicht jeder mögliche Mikrozustand des Systems eine endliche Wahrscheinlichkeit haben, dh jeder mögliche Wert der Gesamtenergie eine endliche Wahrscheinlichkeit haben?

Ich habe ein paar verwandte Fragen gestellt, und die erstaunlichen Antworten auf diese Fragen deuten darauf hin N J ist nicht die tatsächliche Anzahl der Teilchen in der ϵ J eben. Vielmehr ist es die erwartete Anzahl von Teilchen in diesem Energieniveau. Viele Antworten auf verschiedenen Websites und Kommentare zu einer meiner vorherigen Antworten stimmen jedoch nicht überein und behaupten dies N J ist in der Tat die genaue tatsächliche Anzahl von Teilchen in dieser Ebene.

Kann jemand etwas Licht ins Dunkel bringen und meine Zweifel ausräumen.

Antworten (1)

Nein, die Energie eines kanonischen Ensembles ist nicht festgelegt. Die drei klassischen Ensembles sind

  • Mikrokanonisch: Feste Energie (denken Sie an ein Gas in einer perfekt isolierten Box): Das System selbst wurde auf eine konstante Energie beschränkt.
  • Kanonisch: Feste Temperatur (denken Sie an ein System, das in ein unendliches, temperaturgeregeltes Wasserbad eingetaucht ist). Energie kann in und aus dem System schwanken.
  • Grand Canonical: Feste Temperatur und festes chemisches Potential. Energie und Teilchen können in das System ein- und ausströmen. Der einzige Unterschied besteht hier darin, dass der Mikrozustandsraum alle möglichen Belegungszahlen enthält.

Die Verwirrung kommt von der Notation, wo Leute schreiben, z. E als Abkürzung für ⟨ E ⟩ im kanonischen Ensemble. Physikalisch ist es jedoch eine andere Situation -- wenn Sie die Möglichkeit haben, thermische Schwankungen zu messen, zB durch Messung der Wärmekapazität, werden Sie deutlich sehen, dass die Energie eines kanonischen Ensembles tatsächlich zufällig um ihren Erwartungswert schwankt. Das Gesetz der großen Zahl unterdrückt diese Schwankungen, daher sind sie normalerweise nicht wichtig. Ein perfekt isoliertes mikrokanonisches Ensemble hat definitionsgemäß keine Energiefluktuationen.

In allen drei Ensembles gibt es wohl keine vernünftige Möglichkeit, über die „Anzahl der Teilchen im Mikrozustand“ zu sprechen ich ". Der Punkt der Thermodynamik ist, dass wir nichts über das System wissen, wir können nur Aussagen über ihre groben statistischen Eigenschaften und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Mikrozuständen machen.

Der N J Sie in der kanonischen Gesamtheit betrachten, sind Erwartungswerte: Zu jedem gegebenen Zeitpunkt kann es gut sein, dass sich in diesem Mikrozustand keine Teilchen befinden. Denken Sie nun daran, dass es bei sehr großen Systemen äußerst unwahrscheinlich ist, dass die tatsächliche Belegung eines bestimmten Energieniveaus weit von seinem Erwartungswert entfernt ist, weshalb einige Quellen dies vermuten lassen N J ist die "tatsächliche" Anzahl von Teilchen im Makrozustand ich .

Danke. Der Erwartungswert der Energie ergibt sich jedoch aus der Wahrscheinlichkeit multipliziert mit der Gesamtenergie und summiert über alle Möglichkeiten. Allerdings habe ich hier die Einzelteilchenenergien mit der Teilchenzahl multipliziert und aufsummiert. Sind das die gleichen?
Es gibt keinen vernünftigen Weg, die "wahre" Anzahl von Teilchen in einem statistischen Ensemble wie diesem zu messen, wir können nur Erwartungswerte nehmen und uns auf das Gesetz der großen Zahl verlassen, um Schwankungen zu unterdrücken. (siehe Bearbeiten)
Ist die Gesamtenergie eines kanonischen Ensemble-Systems von NNN-Teilchen mit Einzelteilchen-Energieniveaus gegeben durch ϵiϵi\epsilon_i fest?
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