Welche Beziehung besteht zwischen der Maxwell-Boltzmann-Statistik und dem großkanonischen Ensemble?

Sie haben absolut Recht, dass die Grenze, in der diese Annäherung gilt, ist

was nicht trivialerweise die "Hochtemperaturgrenze" ist und tatsächlich eher wie die Niedrigtemperaturgrenze aussieht . Es sieht jedoch auch nach der Grenze des großen Negativs aus$\mu$. Wenn wir wissen wollen, wie sich die Temperatur auf den Exponenten auswirkt, müssen wir wissen, wie sich die Temperatur auf das chemische Potential auswirkt. Angenommen, wir haben es mit einem Gas aus nicht wechselwirkenden Teilchen zu tun. Das große Potential ist in dieser Grenze

wo$\mathcal{Z}_\epsilon$ist die dem Energieniveau zugeordnete große Partitionsfunktion$\epsilon$und$g(\epsilon)$ist die Zustandsdichte. Das Integral ist im Wesentlichen nur eine Summe der Partitionsfunktionen aufgrund jedes Energieniveaus. Um zum endgültigen Ausdruck zu gelangen, haben wir angenommen, dass wir die große Partitionsfunktion wie folgt approximieren können:

was der oben angegebenen Grenze entspricht. Als kleiner Abstecher, wenn wir die durchschnittliche Belegung des Energieniveaus finden wollen$\epsilon$, wir können benutzen

das ist die von uns erwartete Maxwell-Boltzmann-Verteilung (in der zweiten Gleichung haben wir den Logarithmus gemäß Taylor entwickelt$\beta(\epsilon - \mu) \gg 1$). Jetzt kann die Zustandsdichte für ein dreidimensionales Gas in einer Box mit Standardmitteln erhalten werden --- ich werde hier nicht darauf eingehen, aber das Endergebnis ist:

wo die thermische Wellenlänge$\lambda$wurde passend definiert. Von hier aus können wir schreiben

und daher

Nun zur Beantwortung Ihrer Frage. Der obere Zustand kann als Grenze von betrachtet werden$\beta \mu$groß und negativ sein. Das sehen wir oben

Diese Größe wird groß und negativ, wenn das Argument des Logarithmus klein ist. Dies wird bei a) niedrigen Dichten der Fall sein$N/V$, b) hohe Temperaturen$T$und/oder c) massereiche Partikel.

Sie sollten sich die zugrunde liegende Situation vorstellen, in der die klassische Grenze gilt, wenn die Anzahl der thermisch zugänglichen Zustände die Anzahl der Teilchen bei weitem übersteigt. Dies liegt daran, dass wir unter solchen Umständen die mehrfache Besetzung von Energieniveaus ignorieren können, was bedeutet, dass wir die feinen Details der Ununterscheidbarkeit von Teilchen ignorieren können. Wenn in der kanonischen Verteilung die Anzahl der Zustände die Anzahl der Teilchen bei weitem übersteigt, können wir die Ununterscheidbarkeit mit einer einfachen (aber ungefähren) Korrektur der Teilung der Zustandssumme durch erklären$N!$--- wir müssen dies auch im klassischen Fall tun, sonst stoßen wir auf alle möglichen Probleme wie das Gibbs-Paradoxon. Wenn jedoch Zustände beginnen, mehrfach besetzt zu werden, versagt diese einfache Vorschrift, und wir müssen in unserer Betrachtung der Ununterscheidbarkeit von Partikeln differenzierter vorgehen.

Stellt man sich unsere Gasteilchen als Wellenpakete mit einer Breite von$\lambda$wie oben definiert, dann können Sie sich vorstellen, dass jedes Teilchen ein Volumen einnimmt$\lambda^3$. Dies hat eine schöne Interpretation --- die Menge$N \lambda^3/V$das im Ausdruck für das chemische Potential erscheint, kann man sich als den von den Teilchen eingenommenen Raumanteil vorstellen. Die klassische Grenze entspricht einer kleinen Größe, so dass es sehr unwahrscheinlich ist, dass sich zwei Teilchen am selben Ort befinden – dh im selben Zustand (hier betrachte ich die Zustände unseres Systems im Wesentlichen als Positionseigenzustände statt der üblichen Energieeigenzustände). Wenn diese Menge größer wird, beginnen wir mit der „Mehrfachbelegung“, und so stellen wir uns vor, dass unsere klassische Annäherung zusammenbricht. Das ist konsequent: wann$N \lambda^3 /V \sim 1$, ist das Argument des Logarithmus im chemischen Potential nicht mehr groß und negativ, und so bricht tatsächlich die Bedingung ganz oben auf dieser Seite zusammen.

Hoffe das hilft!

Die Verwirrung entsteht, weil es je nach untersuchtem System zwei Arten klassischer Grenzen gibt.

Fangen wir mit Fermionen an, welche Verteilung das ist$n_F(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/T}+1}$. Die erste klassische Grenze (entsprechend dem in der Frage genannten Fall) ist$T\gg \epsilon-\mu$. Dies entspricht dem Fall, in dem die Temperatur im Vergleich zu allen Energieskalen im Problem groß ist, und wir erhalten$n_F(\epsilon)=\frac{1}{2}$, was Sinn macht, da man in jedem Zustand nur ein oder kein Fermion haben kann, also bei sehr hoher Temperatur, wenn alle Zustände gleichwahrscheinlich sind, erhalten wir$1/2$. Dieser Fall ist jedoch nicht derjenige, für den Sie erwarten würden, die Boltzmann-Statistik wiederherzustellen, da für ein Gas aus freiem Fermion die kinetische Energie$\epsilon_k$ist nicht gekappt (und daher$T\gg \epsilon$Ist nicht möglich).

Die üblichen klassischen Gase entsprechen dem Limit$\mu<0$und$|\mu|\gg T$, was die erwartete Verteilung wiedergibt, und ein sehr verdünntes Gas. Man zeigt, dass dies tatsächlich diese Grenze ist, die die üblichen klassischen Ergebnisse von Maxwell (z. B. die Virialentwicklung usw.) wiedergibt.

Jetzt Bosonen mit Verteilung$n_B(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/T}-1}$. Das klassische Maxwell-Gas wird in der gleichen Grenze erhalten wie für Fermionen, wobei die$\pm 1$zählt nicht.

Wikipedia nennt die Grenze$T$aus folgendem Grund so groß wie klassisch : für Photonen$\mu=0$, und die Verteilung ist somit$n_B(\epsilon)=\frac{1}{e^{\epsilon/T}-1}$. An der Grenze$\gg \epsilon$, bekommt man$n_B(\epsilon)=\frac{T}{\epsilon}$Dies ist die klassische Verteilung der Lichtenergie und ergibt beispielsweise das Rayleigh-Jeans-Gesetz . Dies ist natürlich nicht die klassische Verteilung punktförmiger Teilchen in einem Gas.

Der einleitende Absatz, den Sie mit Entsetzen zitieren, besagt, dass die Temperatur „hoch genug“ ist, um Quanteneffekte zu vermeiden. (Es stand nicht so etwas wie „willkürlich groß“.) Wenn die Temperatur zu niedrig ist, können Dinge wie Bose-Einstein-Kondensation auftreten, die die Maxwell-Boltzmann-Statistik ungültig machen. Die Temperatur sollte hoch genug sein, damit es unwahrscheinlich ist, dass ein Quanteneffekt auftritt, aber nicht so hoch, dass eine Paarbildung auftritt (noch ein weiterer Quanteneffekt). Diese Bedingungen haben nichts mit Ihrer Analyse der Gültigkeit des Weglassens der Plus- oder Minus-Eins im Nenner zu tun, was eine weitere Bedingung für die Gültigkeit der Maxwell-Boltzmann-Statistik ist. Eine weitere Bedingung ist, dass die Wechselwirkung zwischen den Teilchen schwach sein sollte: Dies sind alles unabhängige Bedingungen.

Die Boltzmann-Konstante ist nach makroskopischen Maßstäben eher klein:$1.3806488 \times 10^{-23} \mathrm{m^2} \mathrm{kg/s^2 K}$damit man das sieht$T$müsste enorm sein, bevor es die Menge erreichen würde, über die Sie sich Sorgen machen,$(\epsilon−\mu)/\mathrm{kT}$, viel weniger als 22.

Die Maxwell-Boltmann-Statistik kann unter Verwendung des kanonischen Ensembles oder des mikrokanonischen Ensembles oder des großkanonischen Ensembles abgeleitet werden. Und auch die Fermi-Dirac-Statistik sowie die Bose-Einstein-Statistik können auch aus einem der mikrokanonischen, kanonischen oder großkanonischen Ensembles abgeleitet werden