Ist die Gibbs/Boltzmann-Wahrscheinlichkeit die „wahre“ Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen im kanonischen Ensemble in einem bestimmten Zustand befindet?

Basierend auf der klassischen Interpretation der Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Teilchen in der ich ten Energiezustand, in einem N Partikelsystem, sollte durch die Anzahl der Partikel in diesem Zustand geteilt durch die Gesamtzahl der Partikel gegeben sein:

P ( ich ) = N ich N

Hier N ich stellt die tatsächliche Anzahl von Teilchen im System dar. Aufgrund zufälliger Schwankungen und Kollisionen ist die tatsächliche Anzahl der Teilchen in einem bestimmten Energieniveau jedoch niemals konstant und ändert sich ständig, wenn die Gesamtzahl der Teilchen endlich ist. Nach dieser Logik sollte es unmöglich sein, die „wahre“ Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen auf einem bestimmten Energieniveau zu finden, zu bestimmen, da wir sowieso nicht vernünftig über die Anzahl der Teilchen in einem Zustand sprechen können, für einen endlichen Fall.

Daher verwenden wir die Gibbs/Boltzmann-Verteilung und behaupten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen in einem bestimmten Zustand befindet, wie folgt gegeben ist:

P ( ich ) = e − β E ich Z

Dies ist jedoch nicht die genaue wahre Wahrscheinlichkeit, oder? Ist es technisch gesehen nicht eher unsere beste Vermutung, was die wahre Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass sich ein Teilchen im Zustand befindet E ich sollte sein ? Da sich die Anzahl der Teilchen in jedem Zustand ständig ändert, wird es unsinnig, von dieser „wahren“ Wahrscheinlichkeit zu sprechen, das Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem bestimmten Energiezustand zu finden.

Wäre es also richtig anzunehmen, dass die Gibbs-Wahrscheinlichkeit die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit oder die „erwartete“ Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen in einem bestimmten Zustand zu finden? Da dies die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit und nicht die wahre ist, wird es unmöglich, die Anzahl der Teilchen in diesem Zustand herauszufinden. Dadurch wird die Anzahl der Teilchen in einem Zustand zu einer Zufallsvariablen mit einer Verteilung, deren Mittelwert gegeben ist durch N P ( ich ) .

Können wir also sagen, dass die Boltzmann-Wahrscheinlichkeit im wahrsten Sinne der klassischen Wahrscheinlichkeit die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen in einem bestimmten Zustand im System zu finden, nur weil sich die wahre Wahrscheinlichkeit ständig ändert, wenn das System Kollisionen erfährt und was nicht, und die Belegung eines Zustandes ist nie konstant ?

In der unendlichen Teilchengrenze klingen die Schwankungen ab und die tatsächliche Teilchenzahl nähert sich der erwarteten Teilchenzahl, sodass man behaupten kann, dass die Gibbs-Wahrscheinlichkeit ungefähr gleich der klassischen Wahrscheinlichkeit ist.

Wenn wir theoretisch die „wahre“ Wahrscheinlichkeit kennen könnten, ein Teilchen in einem bestimmten Zustand zu finden, was natürlich unmöglich ist, könnten wir die genaue Anzahl von Teilchen in diesem Zustand finden. In diesem Fall wäre die Anzahl der Partikel im Zustand keine Verteilung, sondern eher eine Ja- oder Nein-Frage, genau wie beim Aufheben farbiger Bälle aus einer Tüte - wenn Sie die Wahrscheinlichkeit kennen, eine blaue Kugel aus einer Tüte zu ziehen 100 Bälle, könnten Sie leicht die Anzahl der blauen Bälle finden. Es wäre genau die Wahrscheinlichkeit multipliziert mit der Gesamtzahl der Bälle und nicht eine Verteilung verschiedener Möglichkeiten.

Aber in diesem Fall, da Sie die genaue Wahrscheinlichkeit nicht kennen und sich die Anzahl der Teilchen in dem Zustand ständig ändert, können Sie nur über die erwartete Anzahl von Teilchen in einem Zustand sprechen, dh Sie erhalten eine Verteilung der Gesamtzahl von Teilchen in einem Zustand.

Es tut mir leid, wenn ich zu viel Zeit damit verbringe, eine Interpretation eines ziemlich einfachen Problems zu erzwingen, aber kann mir jemand sagen, ob meine Interpretation der Situation richtig ist oder nicht?

Die klassische Interpretation von P ( ich ) ist die Häufigkeit, mit der sich herausstellte, dass sich Ihr zufällig ausgewähltes Partikel im Zustand befand ich dividiert durch die Gesamtzahl der Versuche. Das ist anders als du es beschrieben hast. Obwohl in nicht interagierenden Systemen, P ( ich ) kann auch als Erwartung von berechnet werden N ich über N . Siehe physical.stackexchange.com/questions/678299/…

Antworten (2)

Ihre Idee ist sinnvoll, aber ich glaube, es wäre besser geeignet, wenn wir sie im Sinne eines Bayes'schen Wahrscheinlichkeitsbegriffs statt einer frequentistischen Sichtweise diskutieren würden.

Die von Ihnen vorgestellte Definition von Wahrscheinlichkeit ist „häufig“, in dem Sinne, dass Sie Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf die Häufigkeit verstehen, mit der ein bestimmtes Ergebnis eintritt. Eine andere mögliche Sichtweise ist, Wahrscheinlichkeit in Bezug auf „Wetten“ zu betrachten: Wenn ich Ihnen sage, dass ich eine Kiste mit 120 Kugeln gefüllt habe und 80 davon blau sind, wie viel würden Sie darauf wetten, dass ich eine blaue Kugel herausziehe? Wenn es blau ist, gewinne ich, sonst gewinnst du. Sie sollten nicht mehr als 1:2 setzen (dh wenn Sie gewinnen, zahle ich Ihnen 2 Dollar, wenn ich gewinne, zahlen Sie mir 1 Dollar), denn wenn ich Ihnen mehr berechne, verlieren Sie wahrscheinlich Geld. Beachten Sie jedoch, dass, wenn Sie wissen, dass ich normalerweise bei der Anzahl der Bälle in einer Box lüge, Ihre Bereitschaft, 1:2 zu setzen, nicht dieselbe sein wird. Stattdessen sollten Sie etwas weniger setzen, weil Sie auch einige zusätzliche Informationen berücksichtigen, die Sie zuvor hatten. Dies zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit kein absolutes Konzept ist, sondern etwas, das von den Ihnen vorliegenden Informationen abhängt.

Betrachten wir als Beispiel ein Gas. Sie möchten dem Mikrozustand, in dem sich das Gas gerade befindet, Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Wie können Sie das tun? Nun, Sie verwenden das Grundpostulat der statistischen Mechanik und sagen aus, dass alle verfügbaren Mikrozustände gleich wahrscheinlich sind.

Aber nehmen Sie an, Sie wissen jetzt, dass sich Ihr Gas im thermischen Gleichgewicht mit einem Reservoir bei einer bestimmten Temperatur befindet T . Die Temperatur ist nur ein Maß für die mittlere Energie der Teilchen in Ihrem Gas, also ist dies gleichbedeutend mit der Aussage, dass Sie einen wohldefinierten Mittelwert für Ihre Energie haben. Dieses Mal haben Sie mehr Informationen als früher und möchten diese verwenden, um Ihre Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, so wie Sie sie beim Wetten gegen mich verwendet haben. Letztes Mal haben Sie eine einheitliche Wahrscheinlichkeit verwendet, was wir damit rechtfertigen können, dass wir keine Informationen darüber hatten, warum ein Zustand einem anderen vorgezogen werden sollte. Dieses Mal wollen wir auch eine Verteilung auswählen, die keine zusätzlichen Informationen annimmt, als wir haben, und deshalb wählen wir eine Wahrscheinlichkeit, die die „Desinformation“ (AKA-Entropie) unseres Systems maximiert, abhängig von den Einschränkungen, die durch die von uns bereitgestellten Informationen bereitgestellt werden haben (Mittelwert der Energie ist festgelegt).

Wird uns dieser Prozess die richtige Wahrscheinlichkeit geben? Ich zitiere DOI: 10.3390/e18070247 's Adaption eines Zitats von Jaynes, um die Frage zu beantworten:

Wenn Sie in einem bestimmten Kontext eine Wahrscheinlichkeitsverteilung formulieren müssen, auf der Ihre Wetten basieren, wählen Sie unter allen möglichen Verteilungen, die mit dem übereinstimmen, was Sie über das Problem wissen, diejenige mit der maximalen Entropie aus . Warum? Ist dies garantiert die "echte" (was auch immer das bedeuten mag) Wahrscheinlichkeitsverteilung? Natürlich nicht! Tatsächlich werden Sie es höchstwahrscheinlich durch ein neues ersetzen, sobald Sie das Ergebnis des nächsten Prozesses sehen – denn bis dahin haben Sie eine weitere Information. Warum denn? Denn jede andere Wahl – die gleichbedeutend damit wäre, einige der Informationen, die Sie haben, wegzuwerfen oder Informationen anzunehmen , die Sie nicht haben – wäre nicht zu rechtfertigen.

Daher haben Sie Recht mit der Idee, dass die Boltzmann-Wahrscheinlichkeit die "beste Schätzung" dafür ist, wie viele Teilchen jeden Zustand angesichts der verfügbaren Informationen besetzen . Wenn Sie mehr Informationen erhalten, werden Sie wahrscheinlich die Boltzmann-Verteilung aufgeben, sobald dies geschieht, und Ihre Wahrscheinlichkeiten entsprechend aktualisieren, genau wie jemand, der Karten beim Blackjack zählt, die Wahrscheinlichkeit aktualisiert, mit jeder neuen Karte, die er sieht, Geld zu verdienen. Beachten Sie, dass die Kenntnis der "wahren Wahrscheinlichkeit" bedeuten würde, vollständige Informationen über das System zu haben, und wie Sie erwähnt haben, führt dies zu einer einzigen Möglichkeit, bei der Sie genau wissen, wie viele Teilchen sich in jedem Zustand befinden.

Wenn Sie diese Ideen interessieren, können Sie sich diesen Beitrag ansehen: Referenz für statistische Mechanik aus informationstheoretischer Sicht .

Vielen Dank dafür. Ich habe hier jedoch eine Folgefrage gestellt, in der es darum geht, welche Verteilung ich für die Anzahl der Teilchen in einem Energieniveau verwenden sollte.
Meine erste Intuition sagt mir, die Binomialverteilung ist gut genug, aber sobald ich ein wenig tiefer grabe, scheint es eine andere mögliche Verteilung zu geben, die das System besser modelliert.

Bayessche Statistik, wie in der Antwort von @NíckolasAlves erläutert, ist der prinzipielle Weg, um das philosophische Problem zu lösen, dass das Messen der Wahrscheinlichkeiten über eine unendliche Anzahl von Messungen unmöglich ist. Beachten Sie jedoch, dass die Bayes'sche Statistik auch kritisiert werden kann, da sie auf Überzeugungen basiert, die im Prior kodiert sind, als unsere vernünftige Annahme, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung aussehen könnte. Letztlich liefern beide Frameworks bei konsequenter Anwendung identische Ergebnisse.

Statistische Physik im frequentistischen Rahmen
Aber auch innerhalb des frequentistischen Rahmens sind die Dinge etwas anders, als sie im OP dargestellt werden. Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit nicht als Quotient definiert N ich / N , sondern als Grenze

P ich = lim N → + ∞ N ich N .
Wir brauchen den Wert dieser Grenze nicht zu kennen – es reicht aus zu glauben, dass eine solche Grenze existiert (und die grundlegenden Einschränkungen für die Wahrscheinlichkeit erfüllt, wie z. B. dass sie positiv ist und sich zu Eins summiert). Dann haben wir für jede Stichprobe endlicher Größe einen Schätzer für die Wahrscheinlichkeit:
P ^ ich = N ich N .
Beachten Sie, dass der Schätzer selbst eine Zufallsvariable ist , deren Mittelwert, Standardabweichung und andere Eigenschaften (z. B. seine Konsistenz, systematische Abweichung usw.) durch Stichproben untersucht werden können N Teilchen aus einem theoretisch unendlich großen System und anschließende Mittelung über die Proben ( Ensemble-Averaging ).

Die statistische Mechanik liefert uns die für vereinfachte Systeme berechneten Mittelwerte solcher Schätzer, bei denen die Wahrscheinlichkeiten explizit im thermodynamischen Grenzfall berechnet werden können . N → + ∞ . Daher haben die eigentlichen Näherungen in der statistischen Mechanik nicht mit den Annahmen über die Größe des Systems zu tun, sondern damit, die Näherungen zu machen, die es ermöglichen, die genauen Grenzen zu ermitteln.

Beispielsweise vernachlässigt das gut untersuchte Beispiel eines idealen Gases die Stöße zwischen den Atomen/Molekülen, was eine genaue Bewertung seiner Eigenschaften ermöglicht. Diese Stöße sind jedoch für die Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts unerlässlich. Ein weiteres Beispiel ist die Ergodizitätsannahme, die darauf hindeutet, dass das System nach langer Zeit alle möglichen Konfigurationen erkunden wird und daher sein Zustand durch die Gesamtdurchschnitte (anstelle der Zeitdurchschnitte) beschrieben werden kann – diese Annahme wird in kritischen Phänomenen gebrochen.

Empfohlene Lektüre: Statistikkapitel aus dem Review of Particle Physics.

Ich habe dazu eine Folgefrage hinzugefügt. Sie haben in einem anderen Beitrag kommentiert, dass die Anzahl der Partikel in einem Zustand eine Zufallsvariable ist und mithilfe der Binomialverteilung wo modelliert werden kann P ich ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein einzelnes Teilchen in diesem Zustand befindet
Glauben Sie jedoch nicht, dass es eine bessere Verteilung geben kann, die wir gegenüber der binomialen verwenden können? Zum Beispiel können wir nicht berücksichtigen N + 1 verschiedene Systeme mit unterschiedlichen Werten von N ich und daher verschiedene "Schätzer", und überprüfen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schätzer dasselbe Ergebnis wie die Boltzmann-Wahrscheinlichkeit erzeugen?
Basierend auf der Boltzmann-Verteilung ist die geschätzte Anzahl von Teilchen in einem Zustand μ = P ich N . Also aus einem System von N Teilchen, können wir erwarten zu sehen μ Teilchen im jeweiligen Zustand. Also jetzt, anstatt die Wahrscheinlichkeit genau zu prüfen N ich Teilchen mit der einfachen Binomialverteilung, wie wäre es, wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Erhaltens überprüfen μ Partikel im Zustand aus N , für jedes dieser Systeme mit unterschiedlichen Werten von N ich und fortan verschiedene Schätzer ?
In beiden Fällen würde ich aber dasselbe bekommen M e A N , also denke ich, dass es am Ende keine Rolle spielen würde. Mir scheint jedoch, dass diese neue Verteilung genauer ist als die einfache Binomialverteilung. Wenn Sie sich bitte diese Folgefrage ansehen würden
Ist die Gibbs/Boltzmann-Wahrscheinlichkeit die „wahre“ Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen im kanonischen Ensemble in einem bestimmten Zustand befindet?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v