Warum ignorieren wir Ableitungen höherer Ordnung der Entropie mit Energie bei der Ableitung der Boltzmann-Verteilung?

Ich mache meinen ersten Kurs in statistischer Mechanik, ein Punkt, den ich nicht wirklich verstehe, ist die Rechtfertigung für das Ignorieren von Ableitungen höherer Ordnung der Entropie bezüglich der Energie.

Wir begannen den Kurs mit der Postulierung der mikrokanonischen Verteilung unter Verwendung des Prinzips gleicher a priori Wahrscheinlichkeiten für Mikrozustände eines isolierten Systems im Gleichgewicht und gelangten dann zur kanonischen Verteilung, indem wir erkannten,

$$\begin{equation} P_r \propto \mathcal{N_{env}}(E_{total} - E_r) \end{equation}$$

Wo,
$r\, :$Mikrozustand des Systems, das mit einer Umgebung bei der Temperatur T wechselwirkt (nur den Austausch von Energie zulässt).
$E_{r}\, :$Mit dem Mikrozustand des Systems verbundene Energie.
$\mathcal{N_{env}}(E_{total} - E_r) :$Anzahl der Mikrozustände der Umgebung, die die Einschränkung erfüllen$E_{total} = E_{r} + E_{env}$

Als nächstes haben wir verwendet$S_{env} =k_{B} \ln (\mathcal{N_{env}}(E_{env}) ) \implies \mathcal{N_{env}}(E_{env}) = e^{\frac{S_{env}(E)}{k_B}}$und Taylor erweitert$S_{env}$um$E_{total}$zu bekommen,

$$\begin{equation} \mathcal{N_{env}}(E_{env}) \approx \,e^{\frac{1}{k_B} \left[S_{env}(E_{total}) - \frac{\partial S_{env}}{\partial E_{env}}E_r \right]} \end{equation}$$

Erkennen$\frac{\partial S_{env}}{\partial E_{env}} = \frac{1}{T}$wir bekommen,

$$\begin{equation} P_r \,\propto \,e^{-\frac{E_r}{k_BT}}. \end{equation}$$

Als Begründung für die Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung wird beispielsweise angegeben$\frac{\partial^2S_{env}}{\partial E_{env}^2} E_r^2$war, dass, da dies alles umfangreiche Größen sind, die Skala mit der Anzahl der Partikel, dh

$$\begin{equation} \frac{\partial^2S_{env}}{\partial E_{env}^2} E_r^2 \rightarrow \frac{\partial^2(N_{env}S_{env})}{\partial (N_{env}E_{env})^2} (N_rE_r)^2 = \frac{\partial^2S_{env}}{\partial E_{env}^2} E_r^2 \left( \frac{N_r}{N_{env}}\right). \end{equation}$$ Und da$N_r << N_{env}$Das ist richtig, aber es fällt mir schwer, mich selbst davon zu überzeugen, da wir uns mit Derivaten befassen und wir in diesem Bereich ziemlich oft auf Diskontinuitäten in Derivaten stoßen. Ich hatte auch mit der Gibbs-Distribution so ziemlich das gleiche Problem.

Ich wäre dankbar für alle Erkenntnisse darüber, warum dies funktioniert, und für einen alternativen Ansatz abgesehen von der oben genannten Skalierung. Ich bin neu in diesem Thema, also wäre ich auch mit einer nicht strengen Erklärung einverstanden.