Wie macht das Teilen durch TTT δQrevδQrev\delta Q_{rev} zu einem exakten Differential?

Im Allgemeinen sollte man sich nicht wundern, dass die Pfadabhängigkeit eines Integrals durch Multiplikation des Integranden mit einfachen Funktionen verändert wird. Per Definition haben nur exakte differentielle Einsformen dieses Verhalten, wenn sie integriert sind. Nehmen Sie fast jede exakte Differentialform an, wie z$\nabla\phi(x,\,y,\,z,\,\,\cdots)\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$und multipliziere es mit fast allem anderen, um es zu bekommen$\psi(x,\,y,\,z,\,\,\cdots)\,\nabla\phi(x,\,y,\,z,\,\,\cdots)\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$. Ob es sich bei der Resultierenden um ein exaktes Differential handelt, dessen Integral pfadunabhängig ist, können Sie durch Berechnung feststellen$\nabla\times(\psi\,\nabla\phi)) = \nabla\psi\times \nabla\phi$und prüfen, ob es verschwindet. Sie sollten das leicht sehen, es sei denn, wir haben den ganz speziellen Fall wo$\nabla\psi$ist parallel zu$\nabla\phi$, die Pfadunabhängigkeit des ursprünglichen Integrals von$\nabla\phi$ist ruiniert!

Das ist also ein Teil der Antwort, aber wir brauchen wirklich Physik – Thermodynamik – Einsicht. Der Grund ergibt sich aus der Definition der Temperatur und ihrer Beziehung zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.$T$kann als definiert betrachtet werden, um zu machen$dQ_{rev}/T$ein exaktes Differential.

Wie ich in dieser Antwort hier und hier weiter erörtere, Temperatur wurde von Carnot durch die Wirkungsgrade reversibler Wärmekraftmaschinen definiert. Der Satz von Carnot, dass alle reversiblen Wärmekraftmaschinen den gleichen Wirkungsgrad haben, folgt aus dem zweiten Hauptsatz, denn sonst könnten Sie Ihren effizienteren Motor mit dem am wenigsten effizienten verbinden, letzteren als Wärmepumpe konfigurieren und so spontan Wärme von einem kälteren zu pumpen ein heißeres Reservoir. Angesichts dieses Theorems haben wir eine Möglichkeit, die "Schärfe" von Reservoirs durch die Effizienz einer zwischen ihnen laufenden reversiblen Wärmekraftmaschine zu vergleichen, da die in Arbeit umgewandelten Wärmeanteile für jede reversible Wärmekraftmaschine, die zwischen denselben beiden Reservoirs arbeitet, gleich sind . Wenn wir eine Wärmekraftmaschine zwischen einem heißen Reservoir und einem kälteren, aber normalen Reservoir betreiben und letzteres als "Einheitstemperatur" definieren,$T$, dann definieren wir die Temperatur des heißen Reservoirs zu sein$T$. Beachten Sie, dass uns diese Definition auch die verrichtete Arbeit als Differenz zwischen Ansaug- und Abgaswärme gibt. Der höhere$T$, je größer dieses Verhältnis und desto größer der in Arbeit umgewandelte Anteil der angesaugten Wärme.

Ausgehend von dieser Definition betrachten wir nun jede geschlossene Schleife im Zustandsraum. Wir können trainieren$\oint\frac{\mathrm{d}Q_{rev}}{T}$indem Sie die Schleife in das Durchlaufen kleiner Carnot-Zyklen zerlegen und die Grenze berechnen, wenn die Bereiche der kleinen Zyklen zu Null gemacht werden. Daher geht das nur so$\oint\frac{\mathrm{d}Q_{rev}}{T}$sich von null unterscheiden kann, ist, wenn es sich um mindestens einen der kleinen Carnot-Zyklen von null unterscheidet: Das bedeutet, dass wir eine reversible Wärmekraftmaschine mit einem anderen Wirkungsgrad als beim Carnot-Zyklus hätten, was den Satz von Carnot und damit den zweiten bestätigt Gesetz der Thermodynamik. Wir müssen haben$\oint\frac{\mathrm{d}Q_{rev}}{T}=0$, andernfalls verletzen wir das zweite Gesetz .

Indem wir also Dinge auf diese Weise definieren , erzwingen wir, dass das Differential exakt ist. Die Stichhaltigkeit dieser Definition wird durch den zweiten Hauptsatz impliziert.

Sie sollten jetzt die Antwort auf Ihre andere Frage sehen können:

Und wie betrachtet diese Definition die geleistete Arbeit, da eine Zustandsänderung nicht auf einer Wärmeänderung beruht?

Dies ergibt sich aus dem Satz von Carnot: Die Differenz zwischen Ansaug- und Abgaswärme ist gleich der Arbeitsleistung, und diese muss für jede reversible Wärmekraftmaschine, die zwischen denselben beiden Reservoirs arbeitet, immer gleich sein, da sonst der Satz von Carnot verletzt wird.

Sie berühren etwas Wichtiges, obwohl Ihre Formel nicht genau richtig ist.

Die richtige (siehe Wikipedia) ist

Beachten Sie, dass das zweite Gesetz zeigt, dass die obige Entropie eine Zustandsvariable ist.