Ist es möglich, die Erhaltung relativistischer Energie auf diese naive Weise zu schreiben?

Die Erhaltung der Ladung oder Ruhemasse kann auf diese Weise geschrieben werden und ist Lorentz-invariant

∇ ⋅ ( ρ u ) + ∂ ρ ∂ T = 0
Wir könnten also versucht sein, Energieerhaltung auf diese Weise naiv zu schreiben (ich benutze γ u für Partikel in Bewegung mit Geschwindigkeit u um keine Verwirrung zu stiften γ relativ zur Geschwindigkeit von S ' )
∇ ⋅ ( γ u ρ u ) + ∂ ( γ u ρ ) ∂ T = 0
Aber das sieht nicht Lorentz-invariant aus. ich falsch? Vektoridentität ausnutzen ∇ ⋅ ( Ψ A ) = Ψ ( ∇ ⋅ A ) + A ⋅ ( ∇ Ψ ) (weiß Ψ = γ u ) und unter Ausnutzung der Massenerhaltung wurde diese Gleichung
( u ⋅ ∇ + ∂ ∂ T ) γ u = 0
wo Masse seltsamerweise verschwunden ist. Aber Transformation der entsprechenden gestrichenen Gleichung mit
∂ ∂ X ' = γ ( ∂ ∂ X + v C 2 ∂ ∂ T )
∂ ∂ j ' = ∂ ∂ j
∂ ∂ z ' = ∂ ∂ z
∂ ∂ T ' = γ ( ∂ ∂ T + v ∂ ∂ X )
u X ' = u X − v 1 − u X v C 2
u j ' = u j γ ( 1 − u X v C 2 )
u z ' = u z γ ( 1 − u X v C 2 )
γ u ' = γ γ u ( 1 − u X v C 2 )
wir bekommen
( u ⋅ ∇ + ∂ ∂ T ) [ γ u ( 1 − u X v C 2 ) ] = 0
Dass es anders ist als ( u ⋅ ∇ + ∂ ∂ T ) γ u = 0 oben geschrieben. Eine andere Straße könnte ausgebeutet werden
∂ γ u ∂ X ich = γ u 3 C 2 u ⋅ ∂ u ∂ X ich Wo  X ich = X , j , z , T
Umformen ( u ⋅ ∇ + ∂ ∂ T ) γ u = 0 hinein
u ⋅ ( u ⋅ ∇ + ∂ ∂ T ) u = 0
aber auch diese Gleichung führt nicht zur Invarianz (obwohl ( u ⋅ ∇ + ∂ ∂ T ) u = 0 ist eigentlich unveränderlich). Gibt es eine Möglichkeit, die Invarianz zu überprüfen, oder ist es falsch, die Energieerhaltung auf diese einfache Weise zu schreiben?

Antworten (3)

Ihre Vorsicht ist richtig. Energieerhaltung funktioniert so nicht, weil Energie keine skalare invariante Größe ist (im Gegensatz zur elektrischen Ladung). Dies bedeutet, dass die Menge, die Sie als 4-Divergenz des Energieflusses geschrieben haben, keinen 4-Vektor verwendet. Aber wir können die Energieerhaltung ausdrücken, indem wir einen Schritt weiter in die Relativitätstheorie gehen und den Spannungs-Energie-Tensor verwenden . Dies ist ein Tensor zweiter Ordnung T deren Komponenten Energie pro Volumeneinheit, Impuls pro Volumeneinheit, Energiefluss, Druck und Scherspannung ausdrücken. All dies ist an der Betrachtung von Energie und Impuls beteiligt, die von einem Ort zum anderen oder zwischen einem System und einem anderen übertragen werden. Die Erhaltung von Energie und Impuls wird ausgedrückt

∂ μ T μ B = 0
was eine Abkürzung für ist
∑ μ = 0 3 ∂ ∂ X μ T μ B = 0
Die Physik hier ist ziemlich kompliziert; Diese Antwort ist nur ein kleiner Hinweis.

Sie erwähnen in Ihrer Frage etwas, das Sie als "Massenerhaltung" bezeichnen, aber Sie sollten beachten, dass es kein Erhaltungsgesetz für die Masse gibt, es sei denn, Sie meinen die Energieerhaltung, aber dann wäre es besser, es Energie zu nennen.

Ich danke Ihnen allen für die Antworten, aber leider kenne ich das Tensorkalkül nicht (ich habe versucht, es zu studieren, und vor einiger Zeit habe ich eine Frage dazu beim Stack-Austausch gestellt, aber es hat nicht geholfen, ich habe es immer noch nicht verstanden ).

Wir können nicht einfach einfügen γ in die Kontinuitätsgleichung, die in diesem Fall eine Formulierung der Erhaltung der Ruhemasse für ein freies Teilchen ist:

∂ ρ ∂ T + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 ,
und erwarten, dass die resultierende Gleichung immer noch gültig ist.

Obwohl die obige Gleichung in allen Trägheitsrahmen die gleiche Form hat, impliziert dies an sich nicht, dass das 4-Tupel ( ρ C , ρ v ) ist ein Vierervektor. In diesem Fall handelt es sich um einen 4-Vektor, ähnlich wie bei der elektrischen Stromdichte J μ . Aber es gibt andere Fälle, in denen die gleiche Art von Gleichung ∂ μ S μ = 0 gilt in allen Frames, aber wo S ist kein Vierervektor. Bemerkenswertes Beispiel ist der Poynting-Energiedichte- und Impulsdichte-3-Vektor im materiefreien Raum.

Ähnliche Dinge werden für Materieenergie passieren; Selbst wenn (und das ist ein großes Wenn) man eine so einfache Gleichung für diese Energie herleiten könnte, würde dies nicht bedeuten, dass das Energie-4-Tupel ein 4-Vektor ist. Tatsächlich gibt es in der EM-Theorie, die auf den Maxwell-Gleichungen basiert, keine Möglichkeit, die Energieerhaltung zu formulieren, wenn die Energiedichte der Materie oder des EM-Feldes Teil eines 4-Vektor-Feldes ist; man muss einen 4-Tensoren 2. Ranges haben (die durch 4x4 Einträge repräsentiert werden).

Im Allgemeinen müssen Sie den Spannungsenergietensor berücksichtigen. Wenn Sie nur Energieerhaltung wollen (ohne den Spannungs- und Impulsteil des Tensors), können Sie nehmen ∂ v T 0 v = ∂ ∂ T ω + ∇ S → / C = 0 , Wo ω ist die Energiedichte und S → die Energieflussdichte.

Ist es möglich, die Erhaltung relativistischer Energie auf diese naive Weise zu schreiben?
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