Angenommen, wir untersuchen den Fall einer gleichförmigen Kreisbewegung. Die Analyse einer solchen Bewegung erfolgt normalerweise unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes . Selbst wenn die Bewegung nicht rein kreisförmig ist, wie es bei Zentralkraftproblemen der Fall ist, verwenden wir in unserer Analyse immer noch das bekannte zweite Newtonsche Gesetz. Außerdem wird das betreffende Objekt als Punktmasse behandelt.
Die Bewegung eines Körpers auf einer Umlaufbahn kann jedoch als Sonderfall der Rotationsmechanik betrachtet werden. Angenommen, wir haben eine Kugel, die sich um ihre Achse dreht. Wir analysieren dies mit dem rotatorischen Analogon des zweiten Newtonschen Gesetzes - unter Verwendung von Drehmomenten und Trägheitsmomenten - . Diese Gleichung sagt uns im Grunde, wie schnell sich ein Körper drehen würde, wenn wir ein Drehmoment darauf anwenden.
Wenn sich ein Körper um eine Achse dreht, können die verschiedenen Massenelemente, die den gesamten Körper bilden, als sich auf einer Umlaufbahn um die Achse bewegend angesehen werden. Für die nötige Zentripetalbeschleunigung sorgen die Kräfte, die dafür sorgen, dass sich der Körper nicht verformt - elektrostatische Kräfte, nehme ich an. Das Drehmoment ist daher die Manifestation dessen, wo wir die Kraft auf unseren gestreckten Körper anwenden. Analog beschreibt der Drehimpuls den Impuls einzelner Massenelemente von der Achse weg.
Ist es prinzipiell möglich, die Rotationsbewegung eines Körpers statt mit Drehmoment, Drehimpuls und Trägheitsmoment nur mit Kraft, Masse, Impuls usw. zu analysieren? Etwas in der Art, die Kräfte auf jedes dieser kleinen Teilchen zu finden und dann über den gesamten Körper zu integrieren und die Bewegungsgleichungen zu lösen, um zu beschreiben, wie sich der Körper als Ganzes dreht? Ich bin mir sicher, dass wir während einer solchen Analyse gezwungen wären, das Trägheitsmoment und das Drehmoment irgendwo in der Ableitung neu zu erfinden. Ist es aber prinzipiell möglich, die Drehung eines Körpers zu beschreiben, indem man (beginnend mit) , oder eher ?
Im Fall von Punktteilchen verwenden wir die Newtonschen Gesetze direkt, um die Bewegung zu analysieren. Bei ausgedehnten Objekten verwenden wir die Rotationsanaloga unserer linearen Konzepte. Ist es theoretisch möglich (definitiv unpraktisch), die Bewegung starrer ausgedehnter Körper zu beschreiben, indem man mit beginnt , und dann Ableitung aller Rotationsanaloga von diesem Ausgangspunkt?
Wie in einem Kommentar ausgeführt: Alle Ausdrücke der Rotationsdynamik können aus den Ausdrücken der linearen Dynamik konstruiert werden.
Der einzige wirkliche Unterschied besteht darin, dass eine lineare Dynamik mit einem räumlichen Freiheitsgrad möglich ist, während die Dynamik mindestens zwei räumliche Dimensionen erfordert.
Zum Beispiel gibt es das Demonstrationsgerät für lineare Mechanik im Klassenzimmer namens " Air Track ". Die Bewegung wird effektiv auf eine räumliche Dimension beschränkt.
Zur Demonstration der Umrundungsbewegung um einen Anziehungs- oder Abstoßungspunkt herum wird ein Lufttisch verwendet.
Im Fall einer kreisförmigen Bewegung gibt es zwei Möglichkeiten, diese Bewegung zu zerlegen, die einen praktischen Nutzen haben. Eine Möglichkeit besteht darin, die Bewegung entlang der Achsen eines rechteckigen Gitters zu zerlegen. Dann kann eine Kreisbewegung als lineare Kombination zweier harmonischer Schwingungen dargestellt werden , die um 90 Grad phasenverschoben sind.
Natürlich erfolgt die am häufigsten verwendete Zerlegung nach Polarkoordinaten : radialer Abstand zum Anziehungs-/Abstoßungszentrum und Winkel in Bezug auf eine Bezugslinie.
In beiden Fällen wird die Bewegung in zwei Komponenten zerlegt. Die Komponentenbewegungen sind um 90 Grad zueinander versetzt.
Drehimpuls
Das Konzept des Drehimpulses hatte einen Vorläufer: das Keplersche Flächengesetz.
Der allererste Satz in Newtons Principia ist ein Beweis dafür, dass Keplers Flächengesetz logisch aus den Bewegungsgesetzen folgt, wie sie in den Principia niedergelegt sind.
Ich habe diese Ableitung in einer Antwort hier auf Stackexchange auf eine Frage mit dem Titel „ Intuition für Drehimpuls “ dargestellt. Die Elemente, die in diese Ableitung einfließen, stammen alle aus der linearen Mechanik.
Punktmassen versus ausgedehnte Objekte.
Wenn in der Mechanik die Bewegung eines Festkörpers mit einer Gleichung modelliert wird, wird die Bewegung des Massenmittelpunkts verfolgt . Unabhängig von der Form eines Objekts A wird dieses Objekt A effektiv als Punktmasse behandelt, wenn es keine anderen Objekte berührt (daher die Bewegung nicht beeinträchtigt wird). So ist es möglich, ein ausgedehntes Objekt mit einem einzigen Wert für seine Trägheit zu beschreiben; Sie behandeln es, als ob es eine Punktmasse wäre .
In der Winkelmechanik gibt es das Konzept des Trägheitsmoments . Wenn Sie ein Rad haben, können Sie das Trägheitsmoment dieses Rads in einer Berechnung verwenden.
Das wirft die Frage auf: Es gibt keine Möglichkeit, dieses Rad als Punktmasse zu behandeln, es ist von Natur aus ein ausgedehntes Objekt . Wie kann man dem Trägheitsmoment einen einzigen Wert zuweisen?
Die Einheiten der Winkelmechanik werden unter Ausnutzung der Rotationssymmetrie konstruiert.
Ein Rad ist (für den Zweck der Berechnung) rotationssymmetrisch. Der Einfachheit halber zählen wir nur die Masse der Felge (wobei wir die Masse der Speichen als vernachlässigbar behandeln). Für die Größe des Trägheitsmoments behandeln wir die gesamte Masse der Felge so, als ob sie in einem Punkt in einiger Entfernung 'r' vom Rotationszentrum konzentriert wäre. Dies gilt, weil für die Größe des Trägheitsmoments nur der Abstand zum Rotationszentrum zählt.
Ja, es ist möglich, aber sehr kompliziert im Vergleich zu einfachem Drehmoment und Trägheitsmoment und allem. Sie können eine einfache Situation annehmen und nur die drei Newtonschen Bewegungsgesetze und einige Einschränkungen verwenden, z Beziehungen die gleichen wie die der Drehmomentgleichungen. Probieren Sie es aus, es wird Ihre mathematischen Fähigkeiten verbessern und Ihnen einen breiteren Einblick in diese einfachen Dinge geben.
Marius Ladegard Meyer
Nuklearer Hoagie