Beziehung zwischen shm und Kreisbewegung

Wir haben zwei harmonische Oszillatoren in senkrechten Richtungen und Phasendifferenz$\pi/2$, also sind die Anfangsbedingungen$x(0) = 0$,$\dot{x}(0) = a$,$y(0) =a$,$\dot{y}(0) = 0$,$a>0$, Und

Stellen Sie sich einen Punkt vor, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt$\omega$:

Zu einer Zeit$t$der Radius zum Bewegungspunkt$(x, y)$macht einen Winkel zum$x$Achse von$\omega t$, also die Koordinaten$x$Und$y$werden gegeben von:

Also die Punkte auf der$x$Und$y$Achsen bewegen sich in einfacher harmonischer Bewegung mit einer Phasendifferenz von$\pi/2$.

Stellen Sie sich einen Punkt vor, der sich mit konstanter Geschwindigkeit um einen Kreis (zentriert am Ursprung) bewegt. Die x-Koordinate des Punktes zeigt eine einfache harmonische Bewegung. Ebenso zeigt die y-Koordinate des Punktes shm. Sie sind phasenverschoben, denn wenn beispielsweise die x-Koordinate 0 ist, ist die y-Koordinate +/- Radius.

Für eine kreisförmige Bewegung in der XY-Ebene sind die beiden gesuchten Kräfte nicht physikalisch (wie die Spannung in der Schnur, an der das rotierende Objekt befestigt ist), sondern die X- und Y-Komponenten der Zentripetalkraft. Versuchen Sie, die Position in Polarkoordinaten zu betrachten, und Sie werden feststellen, dass diese beiden Komponenten wirklich einfach zu berechnen sind.

Die Zahlen, die man durch die Kombination von zwei Shm mit unterschiedlicher Phase und Frequenz erhält, nennt man Lissajous-Figuren . Grundsätzlich ist die Antwort im Wikipedia-Artikel (und die anderen sehr guten Antworten hier), aber vielleicht werde ich dieses GIF ein wenig erweitern:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Circular_Lissajous.gif

Prinzipiell kannst du den Kreis auch so erhalten: Angenommen, du hast zwei Massen, die jeweils an einer Feder befestigt sind. Wenn man die Reibung vernachlässigt, sind die Bewegungen, die die beiden Massen machen, einfache harmonische Bewegungen. Jetzt montierst du die Federn senkrecht zueinander und ziehst Parallelen von einer Masse zur y-Achse und von der zweiten zur x-Achse.

Sie würden die Phasendifferenz von erhalten$\pi/2$zum Beispiel indem die erste Feder bei halbem und die zweite Feder bei null Abstand von dem Punkt beginnt, an dem die Feder montiert ist, unter der Annahme, dass der maximale Abstand, dh die Amplitude für sie gleich ist.

Jedes Mal, wenn sich diese Linien treffen, zeichnen Sie einen Punkt. Am Ende sieht es so aus:

Also am Ende die Kombination von zwei shm mit Phasendifferenz$\pi/2$und gleiche Amplitude gibt Ihnen einen Kreis. Wenn Sie keine Phasendifferenz haben – das heißt, Sie starten die beiden Massen am selben Punkt – erhalten Sie eine Figur wie diese:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ed/Lissajous_1_1_0.svg