Wenn sich Mathematiker „Platoniker“ nennen, meinen sie normalerweise, dass sie das Gefühl haben, ideale Tatsachen zu entdecken, die auf irgendeine Weise ewig existieren. Meine Frage ist, ob dieses Gefühl mit Platons besonderer Form des Idealismus vereinbar ist.
Schon zu Platons Zeiten geriet sie in Konflikt mit der bestehenden mathematischen Praxis. Platon verspottete in Republic das Auftreten des „Werdens“ in der Art und Weise, wie Geometer arbeiteten, „ die Wissenschaft selbst steht den Beweisen, wie sie von ihren Praktikern angegeben werden, völlig entgegen … Sie sprechen, nehme ich an, sehr lächerlich und zwangsläufig, weil sie das Quadrieren erwähnen , anwenden und hinzufügen, und stellen alle ihre Behauptungen auf, als ob sie in Aktion verwickelt wären, und formulieren alle ihre Beweise um der Aktion willen. “ Laut Plutarch sprach er sich auch sehr stark gegen die Verwendung von Bewegung aus, insbesondere gegen mechanisch erzeugte Kurven von Archytas und Eudoxus, „ denn so wird das Gute der Geometrie zerstört und verdorben, das wieder zu Sinnen zurückkehrt und weder aufsteigt noch ewige und unkörperliche Bilder ergreift". Bewegung war nur akzeptabel, um "die Phänomene zu retten", nicht in der reinen Mathematik als solcher.
Mit der bemerkenswerten Ausnahme von Euklid ignorierten griechische Geometer Platons Bewegungsverbote weitgehend, mechanische Kurven vermehrten sich (archimedische Spirale usw.). Platons Idee, dass die Sprache des Werdens „notwendig“ sei, wurde von Menaechmus, dem Begründer der Kegelschnitttheorie, in einer Debatte bestrittenmit Platons Nachfolger Speusippus implizierte, dass Geometer meinten, was sie sagten. Tatsächlich steht der ideale Bereich im Widerspruch zur hierarchischen Organisation der Mathematik, indem komplexe Objekte aus einfacheren konstruiert werden, was sogar in Euklid deutlich vorkommt. Welchen möglichen Stellenwert hätten mathematische Konstruktionen für ewig koexistierende, unveränderliche Objekte? Seitdem hat die Analysis "Bewegung in die Mathematik gebracht", und hierarchische Konstruktionen sind wesentlich für die Gestaltung der Struktur sogar der reinen Mathematik und ein Teil ihrer Anziehungskraft, anstatt "notwendige" Redewendungen.
FRAGE: Hat Platon also seine Philosophie falsch angewendet, und führt das an sich nicht zu seinen Schlussfolgerungen über die mathematische Praxis? Oder ist die platonische Selbstidentifikation eine falsche Bezeichnung, und Mathematiker sind wirklich mit einer anderen Art von Idealismus einverstanden? Wurden die Bewegung und die mathematischen Konstruktionen im Kontext des Platonismus nach der Renaissance diskutiert? Lässt sich ein konsequenter Platonismus überhaupt mit moderner Mathematik vereinbaren?
BEARBEITEN: Ich möchte klarstellen, dass mathematische Konstruktion nicht im engeren Sinne des Konstruktivismus gemeint ist, obwohl diese sicherlich qualifiziert sind. Aber die moderne Mathematik ist auch voller hochgradig nicht-konstruktivistischer Konstruktionen, wie Cantors Generierung von Ordinalzahlen und Kardinalzahlen oder maximalen Idealen, algebraischen Abschlüssen und allem anderen, was mit dem Auswahlaxiom zu tun hat. Die ganze Architektur der reinen Mathematik basiert darauf, Relationen und Funktionen werden aus Mengen konstruiert, Gruppen, Posets usw. sind Mengen mit Relationen und Funktionen, dann gibt es Funktionsräume darauf, Operatoren und Funktionale darauf, und so weiter und weiter an.
Plato zuzustimmen scheint die Bedeutung dieser hierarchischen Konstruktionen zu mindern, wenn nicht sogar als Geschwätz abzutun. Schließlich geht es bei Beweisen darum, Fakten über komplexe Strukturen auf einfachere Stücke zu reduzieren, nicht um ihre „ewigen und körperlosen Bilder“ in ihrer unbewegten Endgültigkeit „aufzusteigen und festzuhalten“.
Mathematischer Platonismus – oder Platonismus allgemeiner (mit dem Kleinbuchstaben „p“) – vertritt die folgenden drei Thesen über mathematische Objekte: Sie (i) existieren, (ii) sind abstrakt und (iii) sind unabhängig von intelligenten Agenten. Das ist typischerweise alles, was Mathematiker meinen, wenn sie sagen, sie seien Platonisten, und sie unterscheiden sich in ihren weiteren Verpflichtungen. Platon würde diese drei Prämissen ebenfalls vertreten (auf diese Weise ist Platonismus mit Platonismus vereinbar ), aber seine Metaphysik wird traditionell so verstanden, dass sie sich weiter ausdehnt und ihn zu Positionen verpflichtet, die die meisten Mathematiker nicht vertreten. Daher würde ich sagen, dass mathematischer Platonismus nicht mit Platonismus vereinbar ist .
Betrachten wir als erstes Beispiel die Ethik und die Existenz moralischer Wahrheiten. Offensichtlich haben für Platon Formen wie das Gute und die Gerechtigkeit die gleiche Art von Existenz wie das Dreieck. Für Mathematiker gibt es viele Variationen. Einige, wie Gödel, werden sich einem gründlichen metaphysischen Platonismus verschreiben, der sich bis zur Ethik erstreckt, daher zum Beispiel sein ontologisches Argument für die Existenz Gottes (obwohl man einen wichtigen Unterschied beachten sollte, Platon würde nicht so weit gehen wie Gödel, um zu sehen, ob irgendeine Form existiert oder nicht). Andere, wie Russell, glauben nicht, dass es ein objektives Gut gab; um dies über sein sehr prägnantes "Gibt es ein absolut Gutes?" zu lesen.. Beachten Sie, dass es bei Russell etwas schwierig ist zu erkennen, ob er gleichzeitig mathematischen Platonismus und seine moralischen Positionen vertrat, da er mindestens drei verschiedene Stadien durchlief und Mathematik hauptsächlich der frühe Russell ist, während Ethik der mittlere und späte Russell ist. Aus meiner persönlichen Erfahrung wären viele Mathematiker jedoch keine Platonisten in Bezug auf Ethik.
Betrachten wir als zweites Beispiel die Erkenntnistheorie. Für Platon „erinnerten“ wir uns einfach an die Formen, wir entdecken sie nicht. Viele Mathematiker könnten dieser Sichtweise widersprechen. Auch hier gibt es wieder eine gewisse Heterogenität, für einige „sehen wir einfach mit unserer Intuition“ (nicht so anders als Platons Erinnerung) eine mathematische Wahrheit und konstruieren dann einen Beweis, um andere zu dem zu führen, was wir gesehen haben, ähnlich wie Sokrates den Sklaven führen könnte Junge.
Betrachten wir als drittes Beispiel Einzelheiten. Für Platon – am bekanntesten in der Allegorie der Höhle – sind Einzelheiten vom gleichen „Typ“ wie die Formen, aber durch ihre Körperlichkeit herabgesetzt. Die Formen sind in gewisser Weise Ursachen der Einzelheiten. Ich glaube nicht, dass sich viele Mathematiker dieser Ansicht anschließen würden. Ich denke, dass viele von ihnen sich implizit einer Form des Dualismus anschließen würden, ähnlich der von Frege – einem weiteren bemerkenswerten mathematischen Platoniker – und an getrennte Welten des Abstrakten und des Empirischen denken, wobei die Wirksamkeit der Mathematik in den Wissenschaften entweder eine Auswahl- Voreingenommenheit oder unvernünftig .
Betrachten wir als viertes Beispiel die Struktur. Wie Sie bemerkt haben, sind die Formen der Mathematiker keine Einsamkeit, und das Universum, das sich Mathematiker vorstellen, ist in gewisser Weise strukturiert, und sie verwenden diese Struktur, um durch dieses Universum zu navigieren. Es ist nicht klar, dass Platons Formen diese Struktur haben, unter den meisten Lesarten sind die verschiedenen Formen ziemlich isoliert voneinander.
Es gibt ein Sprichwort, dass Mathematiker an Werktagen Formalisten und am Wochenende Platoisten sind. Dies deutet darauf hin, dass die meisten "echten" Arbeiten formal sein müssen, aber viele Mathematiker glauben, dass die zugrunde liegenden Objekte "echt" sind. Das ist aus meiner Sicht kein Widerspruch. Es ist einfach eine nützliche Annäherung.
Formalismus erfordert keine Realität und gibt uns alle Maschinen, um unsere Arbeit zu erledigen. Aber das bedeutet nicht, dass wir nicht denken, dass der Formalismus auf eine Möglichkeit hinweist, dass bestimmte mathematische Strukturen tatsächlich existieren müssen. Ich denke, es gibt zum Beispiel starke empirische und heuristische Beweise dafür, dass natürliche Zahlen existieren. Und wenn dem so ist, dann müssten auch viele Konstruktionen aus natürlichen Zahlen (ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen) existieren.
Wir haben also Regeln, die die Unendlichkeit definieren. Aber sie scheinen mit der endlichen Realität übereinzustimmen.
Konifold
Artem Kaznatcheev
David Gudemann