Ist TdecayTdecayT_{decay} die Zeit, die es dauert, bis eine Menge radioaktiver Kerne vollständig vollständig\it{vollständig} zerfallen ist?

$T_{decay}$Wie Sie definiert haben, ist dies eine vernünftige grobe Schätzung, wie lange es dauern wird, bis der letzte Kern zerfallen ist. Allerdings kann man nicht mit Sicherheit sagen, dass es so lange dauern wird, denn$N_t = N_0 e^{-t/\tau}$ist nur im probabilistischen Sinne genau. Auch dieser Ausdruck für$N_t$ist nur genau wann$N_t$groß genug ist, dass es vernünftig ist, sie als reelle Zahl statt als ganze Zahl zu behandeln.

Sie können einen genaueren Wert für erhalten$T_{decay}$indem das Problem probabilistisch explizit behandelt wird:

Da ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebener anfangs nicht zerfallener Kern$i$bleibt nach einiger Zeit unzersetzt$t$wird von gegeben

$$\bar{p}_i(t)=e^{-t/\tau}\ \ ,$$ die Wahrscheinlichkeit, dass alle $N_0$anfänglich nicht zerfallene Kerne werden nach einer gewissen Zeit zerfallen sein $t$wird von gegeben $$p(t)=\prod_{i=1}^{N_0}\left[1-\bar{p}_i(t)\right]=\left ( 1-e^{-t/\tau} \right )^{N_0}\ \ .$$ Lösen Sie diesen Ausdruck für $t$gibt an, dass die Zeit benötigt wird, damit es eine Wahrscheinlichkeit gibt $p$dass alle Kerne zerfallen sind $$T_{decay}(p)=-\tau \ln \left ( 1-p^{1/N_0}\right )\ \ .$$

Beachten Sie, dass dieser Ausdruck in der Grenze divergiert$p \to 1$, was die Tatsache widerspiegelt, dass Sie nie 100% sicher sein können, dass alle Kerne zerfallen sind, egal wie lange Sie warten.

Das Obige kann sich auf den Wert von beziehen$T_{decay}$in der Frage gegeben, indem man das vermerkt

$$p\left(\tau(1+\ln N_0)\right)=\left(1-\frac{1}{e N_0}\right)^{N_0}\ \ .$$

Für groß$N_0$das kommt näher

$$\lim_{N_0\to\infty}p\left(\tau(1+\ln N_0)\right)=e^{-1/e}=0.692201\ \ .$$

Dh nach einer Zeit von$T_{decay}$Wie in der Frage angegeben, besteht eine Wahrscheinlichkeit von etwa 69,22%, dass alle Kerne zerfallen sind.

Nach dem zitierten Zerfallsgesetz für den Zerfall sehr vieler radioaktiver Kerne gibt es keine endliche Zeit, bis alle Kerne zerfallen sind. Sie können eine beliebige große Zeit wählen$t$und Sie werden immer noch eine endliche Anzahl von nicht zerfallenen Kernen haben. Sie haben nicht erklärt, wie Sie auf diese Menge kommen$T_{decay}$.$T_{decay}$scheint keine bedeutung zu haben.

Hinweis: Das Gesetz des exponentiellen Zerfalls ist ein Wahrscheinlichkeitsgesetz. Du kannst nehmen$N/N_0=e^{-t/\tau}$um die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt darzustellen$t$dass ein einzelner Kern noch nicht zerfallen ist. Selbst wenn Sie nur einen Kern haben, können Sie daher keine Zeit angeben, bis er zerfallen ist!