Kann ein sehr kleiner Teil einer Ellipse eine Parabel sein?

Wir können zeigen, dass, wenn ein Teilchen aus einer bestimmten Höhe (von der Erdoberfläche) mit einer geringeren Geschwindigkeit als der Umlaufgeschwindigkeit und in einer Richtung tangential zur Erdoberfläche an diesem Punkt projiziert wird, es einem elliptischen Pfad mit folgt der Mittelpunkt der Erde als Fokus. Der Prozess zum Ableiten dieses Ergebnisses beinhaltet nicht das Festlegen einer Untergrenze für die Projektionsgeschwindigkeit. Sicher, wenn die Projektionsgeschwindigkeit klein genug ist, würde die Flugbahn tatsächlich die Erde schneiden, aber wir können den Abschnitt der Flugbahn bis zum tatsächlichen Auftreffen auf die Erde dennoch als elliptisch betrachten. Wenn wir jedoch explizit nur die Situationen berücksichtigen, in denen die Flugbahn des Projektils die Erde durch Annäherungen schneidet [1], Wir können zeigen, dass die Flugbahn tatsächlich eine Parabel ist, wenn die Höhe ausreichend kleiner ist (als der Radius der Erde). Bei keiner der beiden Berechnungen haben wir angenommen, dass die Erde ein Punkt oder eine ebene Fläche ist. Stimmt es also, dass ein sehr kleiner Teil einer Ellipse eine Parabel ist, selbst wenn beide per Definition völlig unterschiedliche Kegelschnitte sind?

[1]: Mit "Approximationen" meinte ich, ein angenähertes Gravitationsfeld zu behandeln und die Trajektorie neu aufzulösen, anstatt die Approximation in die bereits ausgewertete ursprüngliche Trajektorie einzubauen. Natürlich würde es die gleiche Antwort geben (wie es sollte), aber ohne zu wissen, wie Taylor eine Kurve erweitert, sah ich in diesem Ergebnis ein Paradoxon, als ich die Frage stellte, wie zwei verschiedene Kegelschnitte in einigen gleich sein könnten Regime.

Man könnte eine Parabel als Ellipse mit unendlicher Exzentrizität sehen. An Ihren Kegelschnitten können Sie sehen, dass eine erhöhte Elliptizität auftritt, wenn Sie den Neigungswinkel der Schnittebene erhöhen. Aber es steigt als tan des Winkels, der asymptotisch unendlich wird, wenn der Winkel derselbe wie der des Kegels wird. Und im "Boden" der Parabel ist der Unterschied zur Ellipse am kleinsten - sogar verschwindend klein. Also, wirklich, ich würde sagen, es hängt von Ihrer Definition ab ...
Tatsächlich sind Ellipsen und Parabeln sehr eng miteinander verbunden. So sind die anderen Kegelschnitte. Wenn Sie mit einem Kreis beginnen und ihn weiter verlängern und seine Exzentrizität erhöhen, erhalten Sie im Grunde eine Ellipse, dann eine Parabel, eine Hyperbel und schließlich ein Linienpaar. :)
Eine vollständige Analyse hier: arxiv.org/pdf/physics/0310049.pdf mit anderen interessanten Beobachtungen.

Antworten (1)

Ein kleiner Teil einer glatten Kurve sieht im Grenzbereich genauso aus wie ein kleines Stück einer Parabel. Wählen Sie ein Koordinatensystem so, dass die tangentiale Richtung in der Mitte des Segments entlang der verläuft X Achse und wählen Sie eine Übersetzung für die Mitte des Segments, auf der Sie sitzen möchten ( 0 , 0 , 0 ) , der Ursprung der Koordinaten. Dann j , z auf der Kurve (Ellipse etc.) können als Funktionen von angesehen werden X und diese Funktionen j ( X ) , z ( X ) kann Taylor-erweitert werden. Der erste nichttriviale Term ist

j ( X ) = A 2 j X 2 + Ö ( X 3 )
weil die absoluten und linearen Terme durch die Wahl der Koordinaten zum Verschwinden gebracht wurden. Aber Vernachlässigung der X 3 und andere Stücke, dies ist nur eine Gleichung für eine Parabel.

(Ein ähnlicher Kommentar würde gelten für z ( X ) und man könnte tatsächlich die koordinaten in den rotieren j z Flugzeug damit A 2 z gleich null.)

Ein „superkurzes Stück“ einer Kurve ist also immer eine Gerade. Bei besserer Annäherung ist ein "sehr kurzes" Stück eine Parabel, und man kann die annehmbar genauen Formeln durch immer bessere Annäherungen verfeinern, indem man eine Potenz nach der anderen hinzufügt.

Aber in der Nähe des Perigäums (die nächste Annäherung an die Quelle des Gravitationsfeldes) können wir tatsächlich einen Begrenzungsvorgang beschreiben, bei dem die „ganze“ Ellipse – und nicht nur ein unendlich kleines Stück – zu einer Parabel wird. Wenn sich die maximale Geschwindigkeit des Satelliten (die Geschwindigkeit am Perigäum usw.) der Fluchtgeschwindigkeit nähert, während der Ort des Perigäums am selben Punkt gehalten wird, nähert sich die elliptische Umlaufbahn einer parabelförmigen Bahn – der ganzen. Beachten Sie, dass bei diesem Begrenzungsverfahren der am weitesten vom Schwerpunkt entfernte Punkt ins Unendliche geht und auch die Exzentrizität divergiert.

Die Parabel ist also eine Grenze einer Klasse von Ellipsen. Ebenso ist eine Parabel auch ein Grenzfall von Hyperbeln. Tatsächlich ist im Raum der Kegelschnitte eine Parabel immer der "sehr seltene Nullpunkt"-Kreuzungspunkt von einer Ellipse zu einer Hyperbel. Das sollte nicht schockieren. Betrachten Sie einfach eine Gleichung in der 2D-Ebene

j − X 2 − C = A j 2
was eine Funktion von ist A . Für ein positives A , erhalten Sie eine Ellipse; für ein Negativ A , erhalten Sie eine Hyperbel. Der dazwischen liegende Sonderfall ist A = 0 was eine Parabel ist. Man kann diese Kurven auch als Kegelschnitte parametrisieren. Die Art der Kurve, die wir erhalten, hängt von dem Winkel ab, um den die Ebene relativ zum Kegel geneigt ist; die Parabel ist wieder der Übergang von Ellipsen mit niedrigem Winkel zu Hyperbeln mit hohem Winkel.

Kann ein sehr kleiner Teil einer Ellipse eine Parabel sein?
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