Zweites Keplersches Gesetz: Warum berechnen wir die Fläche eines Dreiecks und nicht die Fläche eines Sektors?

Keplers zweites Gesetz besagt, dass gleiche Flächen in gleichen Zeiten überstrichen werden.

So weit, ist es gut.

Warum verwenden wir bei der Berechnung dieser Fläche die Formel für die Fläche eines Dreiecks und nicht für die Fläche eines Sektors?

Wir nicht. Wir verwenden die Fläche des Sektors und können die Summe kleiner Dreiecke verwenden, um dies zu approximieren.

Die grundlegende Mathematik hier ist die:

$$dA = \frac 1 2 r^2d\theta$$

für einen infinitesimalen Bereich (Grundkalkül).

In diesem Ausdruck die$r$ist die Höhe eines Dreiecks, die$rd\theta$ist die Länge des überstrichenen Bogens und wir verwenden die bekannte Formel für die Fläche eines Dreiecks (die Hälfte der Basis mal der senkrechten Höhe).

Keplers zweites Gesetz lässt sich wie folgt formulieren:

$$\int_{t_1}^{t_1+t_0}dA = \int_{t_2}^{t_2+t_0}dA$$

Um diese Werte nun aus Datenseiten zu finden, verwenden Sie eine Art Näherung, und diejenige, die Sie verwenden werden, ist eine Riemann-Summe .

In der Riemann-Summe kann das Integral durch Summieren kleiner Produkte angenähert werden:

$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{k}f(x_k)(x_k-x_{k-1})$$

Angenommen, unsere Zahlen können genau genug gemacht werden und wir verwenden kleine Werte für die$x_k-x_{k-1}$Intervallen, dies wird so genau sein, wie wir wollen.

Im Fall von Kepler war seine Arbeit älter als der Kalkül, so dass er sich der formalen Mathematik nicht bewusst gewesen wäre, aber die Annäherung für seine Daten verwendet hätte (was nach modernen Maßstäben relativ ungenau war und er nur diskrete Punktmengen hatte, keine kontinuierlichen Formel). Kepler musste eine Dreiecksannäherung verwenden, verwendete sie jedoch mit den kleinsten Intervallen, die er konnte. Kepler war sich bei der Arbeit nicht einmal der Form von Umlaufbahnen bewusst.